函数思想在解题中的应用一.

高考主要涉及：①直接通过具体函数考查某些性质；②以导数为工具围绕函数、不等式、方程综合考查③函数与解析几何、数列等内容综合在一起，出现曲线方程的变换、参数范围的探求及最值问题等综合性强的新颖试题。考情分析函数是整个高中数学的核心内容，处于主干性地位，所有知识都可与函数建立联系。函数思想，是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。下面我们用函数思想来解决两类问题：（一）解决“方程有解、无解及若干个解的问题”（二）解决“不等式有解、无解及恒成立问题”。例1已知方程sin2x–4sinx+1–a=0有解，则实数a的取值范围是A、[-3，6]B、[-2，6]C、[-3，2]D、[-2，2]设t=sinx,则t[-1,1].由已知方程t2–4t+1–a=0在[-1,1]上有解.0)1(0)1(ff记f(t)=t2–4t+1–a,其对称轴为t=2，从而可得a[-2，6]解：（一）用函数思想解决“方程有解、无解及若干个解的问题”选B由已知即求函数a=t2–4t+1,t[-1,1]的值域.设t=sinx,则t[-1,1].引申：若题中方程无解呢？可得a[-2，6]例1已知方程sin2x–4sinx+1–a=0有解，则实数a的取值范围是A、[-3，6]B、[-2，6]C、[-3，2]D、[-2，2]（一）用函数思想解决“方程有解、无解及若干个解的问题”解：方程有解、无解问题可以用“变量分离法”转化为求函数的值域；或直接“构造函数”。小结:例2（2006江西）若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈21,0成立，则a的最小值是（）A、0B、－2C、－25D、－3（构造函数法）设f(x)=x2+ax+1,x21,0,其对称轴为x=－2a.0)0(02fa或0)2(2120afa或0)21(212fa解得a25.选C解：（二）用函数思想解决“不等式有解、无解及恒成立问题”21xy02a2a21y0xyx02a21图象例2（2006江西）若不等式x2+ax+10对于一切x21,0成立，则a的最小值是（）A、0B、-2C、-25D、-3（变量分离法）由x0得a≥－(x+x1)对于0x21恒成立，只需求函数f(x)=x+x1,0x21的最小值。由图象得解：f(x)min=25,a25.选C（二）用函数思想解决“不等式有解、无解及恒成立问题”图象_y_2_0_x_1_1_2例2（2006江西）若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈21,0成立，则a的最小值是（）A、0B、－2C、－25D、-3引申：①若将题改为“x2+ax+1≤0对于x21,0有解”呢？（二）用函数思想解决“不等式有解、无解及恒成立问题”有解210,)对于xx1(x(变量分离法)a答案：210,x),x1(x只需求函数g(x)的最大值引申：②若将题改为“x2+ax+1≥0对于a21,0恒成立,求x的范围”呢？（二）用函数思想解决“不等式有解、无解及恒成立问题”则其图象为一条线段，],21[0,a1,x2ax设g(a)答案：例2（2006江西）若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈21,0成立，则a的最小值是（）A、0B、－2C、－25D、-30)21g(0g(0)只需]2,1[)()4(]2,1[)()3()2,1()()2()2,1()()1(xfaxfaxfaxfa1a1a1a1a小结:(1)此类问题有两种解法:变量分离法、构造函数法。(4)区分清楚不等式有解、恒成立。▲a≤f(x)对于x恒成立，则▲a≤f(x)对于x有解，则a≤f(x)minxa≤f(x)max(3)恒成立要注意端点值（验证法）(2)关键是审题，分清主元。高考链接：（2006四川高考21文）已知函数13)(3axxxf，5)()(/axxfxg，其中)(/xf是)(xf的导函数.（1）对满足11a的一切a的值，都有0)(xg，求实数x的取值范围；（2）设2ma，当实数m在什么范围内变化时，函数y=f(x)的图像与直线y=3只有一个公共点.高考链接：（2006四川高考21文）已知函数13)(3axxxf，5)()(/axxfxg，其中)(/xf是)(xf的导函数.（1）对满足11a的一切a的值，都有0)(xg，求实数x的取值范围；解：（1）由题意，53aax3xg(x)2令11,53)3()(2axaxa.对1a1，恒有0g(x)，即有0(a)0)1(0)1(，即08302322xxxx解得：132x故)1,32(x时，对满足11a的一切a的值，都有0)(xg.高考链接：（2006四川高考21文）已知13)(3axxxf，5)()(/axxfxg，其中)(/xf是)(xf的导函数.（2）设2ma，当实数m在什么范围内变化时，函数)(xfy的图像与直线3y只有一个公共点.解：（2）f＇(x)=3x2—3m2①当m=0时，f(x)=x3—1的图像与直线y=3只有一个公共点；②当0m时，列表x),(mm),(mmm),(m)(/xf+0—0+)(xf↗极大↘极小↗当x|m|时，恒有f(x)≤f(-|m|).由题意得，3)(mf，即3123m，解之得：)2,0()0,2(33m综上，m的取值范围是)2,2(33又因为f(x)的值域是R，且在(|m|,+∞)上单调递增，所以当x＞|m|时，y=f(x)的图像与直线y=3只有一个公共点.3xoy||m||mf(x)极小值11m2)mf(34、对于恒成立问题，要注意是否应包括端点。区分清楚恒成立与有解问题的不同。1.用函数思想解决方程与不等式问题的两种解法是：变量分离法、构造函数法。关键是分清主元。2、定义域优先考虑。3、在解决函数问题时要多用图象和性质，特别是图象。1、(2006全国高考Ⅱ)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1)，若对所有的x0都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围。2、已知函数f(x)=21x2+lnx.当x1时，求证:21x2+lnx32x3作业: