函数性态的研究(极值最值篇).ppt

09-10-2作业讲评7表扬：A有进步朱松松02-2；郝思男杨晨姚思宇林享伟02-4赵霁文王霖铁李帅吴竞张迪何添业储天闻王峥02-5谈适汪佳江婷袁万富徐磊宋洋飞聂彤李潇潇吴子然李阳何天02-6吴仕飞04；李晓松12；李乾19仲洁21；王丰26集体表扬02-6提醒解：设t时刻漏斗中水深为)(1th，桶中水深为)(2th．则漏斗中减少的水的体积=圆柱形水桶中增加的水的体积由1618hr，得13hr，41P91深为18cm，顶直径12cm的正圆锥形漏斗，直径为10cm的圆柱形水桶，水由漏斗流入水桶．？漏斗中水深为12cm，水面下降速率为1cms时，桶中水面上升的速率2h1hr从而21211259dhdhhdtdt，将121h，11dtdh代入，得216()25cmsdhdt．即圆柱形容器中液面上升的速率为1625cms．依题意2221211412533rhh，解：设0时周期为0T，则每天慢的时间T7P972Tg，010cm时时间精确，10.01cm．？每天慢多少000243600243600TTTtTT．0()dTT01g将010，00.01代入15P118[,](,)(),()ababfxCfxD，0ab．？存在,(,)ab，使()()2abff．证：[,](,)(),()ababfxCfxD，由Lagrange中值Thm知，至少(,)ab，使()()()fbfafba．2[,](,)(),()ababgxxCgxD，且在(,)ab内()0gxx由Cauchy中值Thm知，至少(,)ab，使()()()fbfafba由Cauchy中值Thm知，至少(,)ab，使22()()()2ffbfaba(1)故由(1)(2)得()()2abff．1()()fbfaabba．(2)[,](,)(),()ababfxCfxD，0ab．？存在,(,)ab，使()()2abff0ab.？存在,(,)ab，使222()()3aabbff例20设[0,2]x时，()1,()1fxfx．证：在[0,2]上，()2fx．0000()()()()()()2!fftfxfxtxtx例21设()fx在[0,1]上存在，(0)(1)0ff．()fx在[0,1]上的最小值为1．证：(0,1)，使()8f．§6函数性态的研究一、单调性yxo)(xfyabyxoab)(xfy曲线上升时)(xfy.0)(xf曲线下降时)(xfy.0)(xfThm1(一般单调的充要条件)设函数)(xf在区间I可导，则(1))(xf在I区间单增对Ix，都有0)(xf．(2))(xf在I区间单减对Ix，都有()0fx．Corol.1若)(xf在I可导，()0fx（或()0fx），则)(xf在I上严格单增（或严格单减）．Corol.2若)(xf仅在(,)ab内的孤立点0x处不可导或0()0fx，在(,)ab内的其它点处()fx保持不变．则()fx在(,)ab内严格单调．Corol.1若)(xf在I可导，()0fx（或()0fx），则)(xf在I上严格单增（或严格单减）．2()31293(1)(3).fxxxxx解：01函数)(xf的定义域为(,)．例1讨论32()693fxxxx的单调性．02在定义域内找出()0fx或()fx不存在的点．令()0fx，得1,3x．03用这些点将定义域分成若干小区间．x(,1)1(1,3)3(3,)()fx＋0－0＋()fx↗↘↗03用这些点将定义域分成若干小区间．在每个小区间上任取一点0x，判断0()fx的符号()fx的单调区间．()fx在(,1)及(3,)内严格单增，(1,3)内严格单减．例2证不等式(1)5x时，22xx；(2)对xR，有2cos12xx，且等号仅在0x处成立．二、极值极大值点和极小值点，统称为极值点．极大值和极小值，统称为极值．Def.1设)(xf在区间I上有定义，0xI．若存在0，使对0(,)oxNxI，都有0()()fxfx，则0x――()fx的极大值点，0()fx――()fx的极大值；0()()fxfx，则0x――()fx的极小值点，0()fx――()fx的极大值．极大值：)(1xf，)(4xf，极大值点：14,xx；yxoa1x2x3x4x5xb)(xfy1M2M3M4M5M极小值：2()fx，5()fx，极小值点：25,xx．几点说明：(1)极值是局部的，它不一定是函数在整个定义域上的最值．(2)极大值未必大于极小值．(3)极值只能在区间内部取得，不能在区间端点处取得；而最值可能在区间内部取得，也可能在区间端点处取得．若0()fx存在，且0x为极值点，则必有0()0fx（驻点）．Note：(1)Thm2不充分，如3()fxx，0x为驻点，(2)()fx可能在()fx不存在的点处取得极值．Thm2（0x为极值的必要条件）例yx在0x处取得极小值，但0x不是极值点．但||yx在0x处不可导．可能的极值点：(1)0()0fx的点，即驻点；(2)0()fx不存在的点．设()fx在0(,)Nx内连续，在0(,)Nx内可导，01()fx由时，0x为极大值点；Thm3（第一充分条件）若()fx在点0x左右两侧附近变号，则0x为()fx的极值点．02()fx由时，0x为极小值点．思考：若()fx在点0x左右两侧同号，结论怎样？例3求函数32)1()(xxxf的极值点和极值．01()fx由时，0x为极大值点；02()fx由时，0x为极小值点．解：01定义域()(,)Df；02在定义域内找出所有使得()0fx的点以及()fx不存在的点352()3xfxx，驻点25x，不可导点0x；03逐个判别是否是极值，是极大值还是极小值？01()fx由时，0x为极大值点；02()fx由时，0x为极小值点．设()fx在0x处二阶可导，且00()0,()0fxfx．则01若0()0fx，02若0()0fx，则0()fx为极小值．Thm4（第二充分条件）则0()fx为极大值；Note：若0()0fx且0()0fx，则0x可能为极值点，也可能为非极值点．可推广到一般情况：(1)000()()()0nfxfxfx，且()0()0nfx．则推广到一般情况：设()fx在0x处有n阶导数，01n为奇数时，点0x为非极值点；02n为偶数时，()0()0nfx，则0x为极大值点；()0()0nfx，则0x为极小值点．EXE.求函数xxycossin在[0,2][0，2]上的极值．三、最值(1)最值存在：(2)何处取得最值：(3)如何判定：若[,]abfC，则在[,]ab上f取得最大值和最小值．（充分非必要）可能最值极值点处端点处ff驻点不存在的点（应是的连续点）(3)如何判定：可能最值极值点处端点处ff驻点不存在的点（应是的连续点）若()fxC，则只要比较f在驻点、f不存在的点、端点处的值，最大者为最大值，最小者为最小值．两个结论：两个结论：(1)若[,]()abfxC，且在(,)ab内有唯一极值点0x，则当0()fx为极大值时，即为()fx在[,]ab的最大值；当0()fx为极小值时，即为()fx在[,]ab的最小值．(2)应用题中，若已知必存在最大（小）值，且在(,)ab内取得，而在(,)ab内仅有唯一极值点0x（或驻点0x），则这个唯一的极值点0x（或驻点0x）即为所求的最值点．可能最值可能的极值点：驻点（0f的点）；f不存在的点（应是连续点）极值点处端点处例6(1)22(),0xfxxex，求最值；改为2210,0xxexe；(2)证1,0,01xxx．若[,]()abfxC，且在(,)ab内有唯一极值点0x，则0()fx为极大值时，即为()fx在[,]ab的最大值；0()fx为极小值时，即为()fx在[,]ab的最小值．EXE1p时，11(1)1,012pppxxx．例7建造一个具有已知容积V的无底有盖的圆柱形煤气柜．问：怎样选择底与高，使得所用材料最省？应用题中，若已知必存在最大（小）值，且在(,)ab内取得，而在(,)ab内仅有唯一极值点0x（或驻点0x），则这个点0x即为所求的最值点．例8证利用函数的最值证不等式和讨论方程的根．(1)1,xx其中0,01x；分析：只要证()10fxxxmax0f．若[,]()abfxC，且在(,)ab内有唯一极值点0x，则0()fx为极大值时，即为()fx在[,]ab的最大值；0()fx为极小值时，即为()fx在[,]ab的最小值．思考：1p时，11(1)12pppxx，01x．例9讨论方程xxke（k为正常数）有几个根．最大值ef1)1(．解：xxke的实根即为0xxek的实根．令0)(xf，得唯一驻点1x．∵1x时，0)(xf()fx在)1,(内严格单增；∴1x为)(xf的唯一极大值点，且是最大值点，令()xfxxek，),(x，则()(1)xfxxe．1x时，0)(xf()fx在),1(内严格单减又xxxxexflim)(lim，,0lim)(limxxxxexf∴)(xf的值域为]1,(e．xyo1kea1(1)1(1)0fke，即1ke时，()fx无零点，原方程无根．(2)1(1)0fke，即1ke时，函数)(xf有唯一零点，原方程有唯一实根1x．xyok1xyoa11ke)(xf在1],(内连续且严格单增，且0)1()(1fxf，故)(xf在1],(内有唯一零点．同理)(xf在),1[内有唯一零点，从而原方程有两个实根．(3)1(1)0fke，即1ke时，ykxxey1e1yxo也可采用令()xgxxe去求解．例9讨论方程xxke（k为正常数）有几个根．