函数极限运算法则

第一章函数极限与连续第四节函数极限运算法则定理.0)(lim,)(lim)(lim)()(lim)3();(lim)(lim)]()(lim[)2();(lim)(lim)]()(lim[)1(,)(lim,)(limxgxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfBxgAxf其中则设证：一.极限的四则运算下面证明（2），其它证法类同..)(lim,)(limBxgAxf.0,0.)(,)(其中BxgAxf）（BAABBAxgxf))(()()(系，得再由极限与无穷小的关0BA由无穷小的性质知).(lim)(lim)]()(lim[xgxfBAxgxf∴（2）成立.推论１).(lim)](lim[,,)(limxfcxcfcxf则为常数而存在如果常数因子可以提到极限记号外面..)]([lim)](lim[,,)(limnnxfxfnxf则是正整数而存在如果推论2二、求极限方法举例解：.2342lim2221xxxx求例1lim4lim3lim2222xxxxx1limlim4)lim(32222xxxxx505)23(lim21xx解：)143(lim22xxx2342lim221xxxx23lim42lim2121xxxxx.53143lim:122xxx求例1122231xxxxlim计算所以因为,lim)lim()(lim021112121xxxxx解)(lim)(limlim112112212312231xxxxxxxxx例221212131xxxxlim)lim()lim(则有设,)(.1110nnnaxaxaxfnnxxnxxxxaxaxaxf110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa10100).(0xf则有且设,0)(,)()()(.20xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000xQxPxfxxxxxx)()(00xQxP).(0xf.,0)(0则商的法则不能应用若xQ类型:(一)有理函数在时的极限0xx.45127lim.3224xxxxx求例)4)(1()4)(3(4512722xxxxxxxx解：因，)00(型约去零因子法.不一定是无穷小小的商由此知：无穷小与无穷当ｘ＝4时，分子分母都为0，故可约去公因子（ｘ－4）.45127lim224xxxxx)4)(1()4)(3(lim4xxxxx13lim4xxx31(二).对x→∞时的极限,可用分子,分母中x的最高次幂除之,然后再求极限..2332lim.422xxxxx求例2332lim.22xxxxx解22213312limxxxxx.32)(型例5.147532lim2323xxxxx求332323147532lim147532limxxxxxxxxxx解:.72结论.为非负整数时有和当nmba,0,000,,0,,,,lim00110110nmnmbanmbxbxbaxaxammmnnnx当当当无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.()的情形此法只适用于,,xxx(三).其它类型的极限求法.).1113(lim.531xxx求例（∞－∞型）分析:当x→1时，上式两项极限均不存在（呈现∞－∞形式）)1113(lim.31xxx解)1)(1()1(3lim221xxxxxx)1)(1()1)(2(lim21xxxxxx2112limxxxx1方法是：可先通分,再求极限.xxx11lim60求例)11()11)(11(lim0xxxxx原式解111lim)11(lim00xxxxxx21)00(型分析：当ｘ→0时，分子分母极限均为0，不能直接用商极限法则.方法是：可先对分子有理化，然后再求极限.31coslim7xxxx例01lim1lim),1cos(cos,,cos,:23xxxxxxxxxxxxx又为因有界注意到也不能直用极限法则极限不存在时因为当解01coslim1coslim,33xxxxxxxx得无穷小的性质由有界量乘无穷小仍是解)32(lim21xxx,0商的法则不能用)14(lim1xx又,031432lim21xxxx.030例8.3214lim21xxxx求由无穷小与无穷大的关系,得.3214lim21xxxx例912331545)()()(limxxxx计算32121123315545)()()(limxxxxxxxxxeeee11110lim计算解例10解11111112211110tttttteeeettxxxxxlimlimlim,,,txetx时则当令01从而有,tex11例11已知极限.lim的值，并求这个极限存在，试确定kxkxxx1221限存在，时极限为零，且原式极因为分母当1xkxxkxxxxxx11212122lim)lim()lim()(lim解时极限也为零，即所以分子当1x，从而所求极限为由此得3k431131321121)(lim))((limlimxxxxxxxxxx.021k总结:(1).运用极限法则时,必须注意只有各项极限存在(除式,还要分母极限不为0)才能适用;(2).若所求极限呈现等形式不能直接用极限法则,必须先对原式进行恒等变形(约分,通分,有理化,变量代换等),然后再求极限.(3).利用无穷小的运算性质求极限.,00二、两个重要极限ACxoBD),(:如图所示作单位圆证明O,tan,,sinxADxABxBC弧于是有.OADAD，得作单位圆的切线,xOAB的圆心角为扇形,BCOAB的高为)20(,xxAOB圆心角取1sinlim0xxx1.,tansinxxx,1sincos,sinxxxx有除以.02也成立上式对于x,20时当x,1coslim0xx,11lim0x又OADOABOABSSS＜＜由图得扇形xxxtan121121sin121＜＜ACxoBD.1,0sin极限也是时当函数于它们之间的由极限的夹逼准则知介xxx.1sinlim0xxx.1sinlim0xxx1.3,)00(0:.2:1.:极限值型分母极限过程与分母相同。分子是正弦函数，变量函数个极限我们从三方面来认识这1)()(sinlim0(x)xfxffxx22sinlim0x如xx11sinlimx1)1sin(lim1xxx111)(0x1sinlim:xfxxx换成说明.1sinlim0或形象地写成例题：xx4sin3sinlim.10x求例kxkxkxkxksinlimsinlim0x0x解xkxsinlim20x例0kxx4sin3sinlim:0x解xxxx4sin4lim33sinlim430x40x31cos1.sinlim0xxxxxxxtanlim0)434sin433sin(lim0xxxxxxx43k.cos1lim.320xxx求例解2202sin2limxxx原式220)2(2sinlim21xxx2022sinlim21xxx2121.21.sintanlim.430xxxx求例30)cos1(tanlim:xxxx原式解2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx20cos1sincos1limxxxxxx.212111例xxxarcsinlim0计算所以时当则令,,,sin,arcsin00txtxtx解100ttxxxxsinlimarcsinlimexxx)11(lim)71828.2(.3)1.(2..;:.1:eex其中极限值型极限过程是指数第二项与指数互为倒数中间是函数个极限我们从三方面来认识这e)11(lim可形象地表示为2.exfxfxf)()())(11(limexxx2)211(lim:如exxx)11(limexxx10)1(lim1)1ln(lim0xxxexxx)11(limexxxsec2)cos1(lim)1(型例6.)21(limxxx求解22])211[(limxxx原式.2exx)31(lim.5x求例33x31lim:xx）（原式解法二xx20x1lim）（请大家做2e)1(型,3uxu,3x:则令法一解3e3e)1(型uuu311lim）（原式3]11[limuuu）（33x]31[limxx）（例7.xxxx)32(lim求3)11(lim)32(limuuxxuxxuxx1132解：令3)11(lim)11(limuuuuu)1(型于是时，当.ux得x=u+3ee31.)1ln(lim0xxx求.1xxx10)1ln(lim原式])1(limln[10xxxeln解例8例9解)1ln(lim1lim00uuxeuxx.1lim0xexx求,1uex令),1ln(ux即,0,0ux有时则当uuu10)1ln(1limuuu10)1ln(lim1eln1.1.1~),1ln(~0xexxxx时，即，当xxxx212)(lim求212211112)()(lim)(limxxxxxxx2221111111exxxxx)(lim])(lim[例10解小结:两个重要极限)(xsinlim)(xfxxx换成1101)()(sinlim0(x)xfxffexxx)(lim)(112.1sinlim0或形象地写成e)(lim11可形象地表示为exfxfxf)()())(11(lim