定积分习题课(带部分解答)

第五讲定积分习题课定积分习题课一、内容小结二、题型练习定积分习题课一、内容小结二、题型练习一、内容小结（一）定积分概念（二）定积分性质（三）定积分计算（四）反常积分一、内容小结（一）定积分概念（二）定积分性质（三）定积分计算（四）反常积分曲边梯形的面积01()dlim()nbiiaifxxfx背景变速直线运动的路程思想化整为零积零为整定义几何意义与x轴所围图形面积的代数和存在条件闭区间上的连续函数闭区间上的有界函数，且只有有限个间断点注意定积分是一个数!定积分仅与被积函数积分区间有关，与区间分法ξi的取法积分变量记法无关一、内容小结（一）定积分概念（二）定积分性质（三）定积分计算（四）反常积分一、内容小结（一）定积分概念（二）定积分性质（三）定积分计算（四）反常积分可加性线性不等式bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)()(0)(bxaxf)(0d)(baxxfba)()()(bxaxgxf)(d)(d)(baxxgxxfbaba)(d)(d)(baxxfxxfbaba[()()]d()d()dbbbaaafxgxxfxxgxx积分中值定理估值定理)()(bxaMxfm)()(d)()(baabMxxfabmba],[)(baCxf)())((d)(baabfxxfba一、内容小结（一）定积分概念（二）定积分性质（三）定积分计算（四）反常积分一、内容小结（一）定积分概念（二）定积分性质（三）定积分计算（四）反常积分换元积分法牛-莱公式()d(())dbafxxftt()d()()()bbaafxxFxFbFa特点:变量不必回代注意积分限换元必换限不换元不换限分部积分法ddbbbaaauvuvvu特点:边积边代限一、内容小结（一）定积分概念（二）定积分性质（三）定积分计算（四）反常积分一、内容小结（一）定积分概念（二）定积分性质（三）定积分计算（四）反常积分无穷限的反常积分只要有一个极限不存在,就称发散.xxfttd)(lim0xxfttd)(lim0当p1时收敛;p≤1时发散.无界函数的反常积分()dcafxx()dbcfxxlim()dtatcfxxlim()dbttcfxx当q1时收敛;q≥1时发散.定积分习题课一、内容小结二、题型练习定积分习题课一、内容小结二、题型练习二、题型练习（一）定积分定义（二）定积分计算二、题型练习（一）定积分定义（二）定积分计算用极限求定积分dbaxx10dxex用定积分求极限思路01()dlim()nbiiaifxxfxlimnnx关键积分限的确定被积函数的确定例1例2补1例3补2011lim1nniinn求2011limnniinn求201limknnkninenne求01lim(1)(2)(2)nnnnnn求0!limlnnnnn求二、题型练习（一）定积分定义（二）定积分计算二、题型练习（一）定积分定义（二）定积分计算积分限方法牛-莱公式换元积分法分部积分法特点数注意换限区间特点变量不回代分类普通函数一个区间分段函数多个区间奇偶函数对称区间周期函数无穷区间(二)定积分的计算1．简化计算2．用换元法计算3．分段函数的定积分4．某些不易求原函数的定积分5．积分上限函数6．杂题(二)定积分的计算1．简化计算2．用换元法计算3．分段函数的定积分4．某些不易求原函数的定积分5．积分上限函数6．杂题定积分的简化计算利用几何意义利用奇偶函数在对称区间上的积分利用周期函数在长度为周期的整数倍的区间上的积分例4例5补3例6例7例8补4121sin1dxxx计算21212cosd11xxxxx计算231dxxx计算222cos1cosdxxx计算20cosdnxx计算240sindxx计算01sin2dNxx计算(二)定积分的计算1．简化计算2．用换元法计算3．分段函数的定积分4．某些不易求原函数的定积分5．积分上限函数6．杂题(二)定积分的计算1．简化计算2．用换元法计算3．分段函数的定积分4．某些不易求原函数的定积分5．积分上限函数6．杂题例9补5例11不换限更方便补6例10例121100(1)d(1)dmnnmxxxxxxxx122012d1xxx计算222220sincosdsincosxxxaxbx计算4sind2xx计算1202dxxx计算2202daxaxxx计算1500(1)dxxx计算(二)定积分的计算1．简化计算2．用换元法计算3．分段函数的定积分4．某些不易求原函数的定积分5．积分上限函数6．杂题(二)定积分的计算1．简化计算2．用换元法计算3．分段函数的定积分4．某些不易求原函数的定积分5．积分上限函数6．杂题例13例150()dxftt求例14222max{,}dxxx计算01sindxx计算02()2lkxxfxlcxl设(二)定积分的计算1．简化计算2．用换元法计算3．分段函数的定积分4．某些不易求原函数的定积分5．积分上限函数6．杂题(二)定积分的计算1．简化计算2．用换元法计算3．分段函数的定积分4．某些不易求原函数的定积分5．积分上限函数6．杂题例17例19补7例18补840ln(1tan)dxx计算20lnsindxx计算244sind1xxxe计算422sind1xxexxe计算20(sin)d(sin)(cos)fttftft计算例172002)(sin)(cos)(cos))2(cos())2(sin())2(sin(,,2,2dxxfxfxfdxxfxfxfIdxdtxttx则设421)(sin)(cos)(sin)(cos)(sin)(cos)(cos)(cos)(sin)(sin2:20202020IdxdxxfxfxfxfdxxfxfxfdxxfxfxfI所以则(二)定积分的计算1．简化计算2．用换元法计算3．分段函数的定积分4．某些不易求原函数的定积分5．积分上限函数6．杂题(二)定积分的计算1．简化计算2．用换元法计算3．分段函数的定积分4．某些不易求原函数的定积分5．积分上限函数6．杂题例202dsinddbaxxx例22补9例21补102dsinddbaxxb2dsinddbaxxa求()Fx求()x例23求()Fx求()Fx计算324d1+xxtt计算()()dbaFxfxyy设120()()dxfxtt设()()dbaFxfxtt设220()()dxFxtfxtt设(二)定积分的计算1．简化计算2．用换元法计算3．分段函数的定积分4．某些不易求原函数的定积分5．积分上限函数6．杂题(二)定积分的计算1．简化计算2．用换元法计算3．分段函数的定积分4．某些不易求原函数的定积分5．积分上限函数6．杂题6．杂题被积函数为积分上限函数的积分例24求0()dfxx补11求120()dxfxx0sin()dxtfxtt设411()d1xfxxt设2sinsin)(sinsinsin0)()(')()(00000000dxxdxxxxdxxxxdxxxdxxxxfdxxxfxxfdxxf解：6．杂题(3)函数方程例250()()cosdfxxfxxx设例26求()fx设21200()()d2()dfxxxfxxfxx求()fx6．杂题(3)函数方程例252)(2sinsinsin)(,cos)(cos)(,)(101)('00000xxfxdxCCxdxxCxCxdxCxxdxCxxCxCxxfxf所以，左边分部积分，得：代入原式，得设解：3234)(32,34)231(2)2238()(2)(,)(,2)('',)(2)('22210220222220xxxfbababaxxbaxxdxbaxxdxbaxxxxbaxxbaxxxfxfdxxfxxf所以，待定系数法，得代入原式可得：设解：为一实数。计算积分axxdxa,)1)(1(02数学竞赛4arctan11)1)(1(1)1)(1()1)(1()1)(1()1)(1())1(1)(1(11))1(1)()1(1(1,1,1,)1)(1()1)(1()1)(1(10102102102102211021021022012222211210202xdxxdxxxxdxxxxxxdxIIIdxxxxdttttdtttdttttIdttdxtxIIIxxdxxxdxxxdxIaaaaaaaaaaaaaa所以，则设对于原积分为