高等数学_第五章定积分习题课

本周调课通知周五3、4、5调至周三10、11、12A408第五章定积分习题课1．定积分的定义：2．定积分的几何意义：badxxfA)(用图表示:一、定积分的概念与性质xy()yfx0ab曲边梯形的面积(2)近似:;(3)求和;(4)取极限定积分定义的四要素：(1)分割:;nixxii,,2,1],[11iiixxx01()lim()nbiiaifxdxfx),,2,1},max{(nixi3．可积的充分条件①若在区间上连续，则在上可积.()fxba,()fxba,②若在区间上有界，且只有限个间断点，则在上可积.()fxba,()fxba,4．定积分的性质①反号性：dxxfdxxfabba)()(②与积分变量无关性：()()bbaafxdxftdt③线性性质：1212(()())()()bbbaaakfxkgxdxkfxdxkgxdx④区间可加性:()()()bcbaacfxdxfxdxfxdx⑤区间长：1badxba⑥保号性：如果在区间上,，则ba,()0fx()0bafxdx⑦单调性：如果在区间上,则ba,)()(xgxf()()bbaafxdxgxdx⑧估值定理：设和分别是函数在区间上的最大值和最小值，则Mm)(xfba,baabMdxxfabm)()()(()aafxdx⑩奇偶对称性：若在上连续，则)(xfaa,二、积分上限函数与牛顿—莱布尼兹公式1．积分上限函数：xadttfxF)()()(xf是奇函数)(xf是偶函数02(),afxdx0，设函数在区间上连续，则称)(xfba,⑨定积分中值定理：如果函数在闭区间上连续,则至少存在一点,使下式成立：)(xfba,(,)ab()()()bafxdxfba(定积分与积分变量记法无关))()(xfdttfdxdxa(1)(2)).()(()()(xxfdttfdxdxa(3)()()()()()()()xxdftdtfxxfxxdx3．牛顿—莱布尼兹公式：若函数为连续函数在区间上的一个原函数，则)(xF)(xfba,baaFbFdxxf)()()(2．积分上限函数的微分三、定积分的计算方法求定积分的总体原则：先求被积函数的原函数,然后利用牛顿—莱布尼兹公式计算，即)(xf)(xFbaaFbFdxxf)()()(1．换元积分法（1）凑微分法：babaxdxfdxxxf))(())(()())((（2）变量置换法：函数满足条件：)(tx(),ab)(dtttfdxxfbatx)()()()(2．分部积分法：bababavduuvudv四、反常积分1．无穷限的反常积分()lim()taatfxdxfxdx00()()()fxdxfxdxfxdx()lim()bbttfxdxfxdx2．无界函数的反常积分设为的瑕点,则a)(xf()lim()bbattafxdxfxdx设为的瑕点,则b)(xf()lim()btaatbfxdxfxdx设为的瑕点，则有)(bcac)(xf()()()bcbaacfxdxfxdxfxdxlim()lim()tbattctcfxdxfxdx五、典型例题()()()()bbaafxdxfxfbfaabbadxxf)(解：由于在上连续,且是在上的一个原函数，故ba,()fx()fx()fxba,【例1】设在上有连续导数，且是在上的一个原函数,,求ba,()fxabfbaf)(,)(()fxba,)(xf【例2】求定积分01cos2xdx解：2001cos22cosxdxxdx2022sin2sin22xx2022cos2cosxdxxdx02cosxdx注：当定积分的被积函数中包含绝对值符号时，必须设法将其去掉，并且要特别注意被积函数的符号．【例3】设,求21,1()1,12xxfxxx20)(dxxf解:21220011()(1)2fxdxxdxxdx1223101=26xxx83【例4】设求2,1(),2,1xxfxxx21)1(dxxf分析：利用变量代换将在上的定积分化为在上的定积分再计算。)1(xf2,1()ft3,0解:设,则1xtdxdt13321011=2323xxx13201=(2)xdxxdxdxxfdttfdxxf303021)()()1(【例5】设为连续函数，求)(xfbabadxxbafdxxf)()(解:令,则,当时,当时,xbatdxdtxa;tbxb.ta则()()()baabfabxdxftdt故babadxxbafdxxf0)()(()()bbaaftdtfxdx【例6】设,求2)(xexfdxxfxf10)()(解:1100()()()[()]fxfxdxfxdfx由,得2)(xexf22)(xxexf则12)1(,0)0(eff所以120()()2fxfxdxe12220()(1)(0)22fxff【例7】求定积分411xdx解:设,则ux2,2.xudxudu4211211dxuduux212=2ln(1)21ln3uu211121uduu【例8】计算定积分)0(0222adxxaxa解:令则sin,xatcos.dxat22222200sincoscosaxaxdxatatatdt44201sin48416aatt4201cos442atdt.2t当时,当时,0x0;tax42220sincosattdt4220sin24atdt【例9】计算定积分10arctanxdxx解:101arctan82xx21100arctanarctan()2xxxdxxd12212001arctan221xxxdxx12011(1)821dxx11(1)82442【例10】求定积分3434(1arctan)1cos2xxdx分析：由于积分区间为对称区间，可考虑被积函数是否具有奇偶性或部分具有奇偶性．解:原式240222cos22(cos)422xdxxdx334433441cos2arctan1cos2xdxxxdx34341cos2xdx34021cos2xdx34022cosxdx【例11】设求324,1xxdtutdxdu解：因为3241xxdtut所以21283211duxxdxxx23440011xxdtdttt32044011xxdtdttt【例12】设在上有一阶导数，)(xf,10()(),xFxxftdt(0),x求().Fx分析：函数是一个积分上限函数．将看成)(xFxdttxf10)(定积分时，是积分变量，是常量,将其视为函数时，xx是函数的自变量．t解:10()()xFxxftdt223311111111()()()()ffffxxxxxxxx12011()()()xftdtxfxx),1)(1()(10xxfdttfx)(''xF则【例13】求极限4002arctanlimxtdtxx解:4002arctanlimxtdtxx2302arctanlim4xxxx220arctanlim2xxx2201lim22xxx易错提醒：在求含有积分上限函数的极限时，一定要验证是不是未定式，若不是，不能应用罗比塔法则。如2004coslim0.11xxxdtt分析：极限为型未定式，应用罗比塔法则。00【例14】若为可导函数，且)(xf(0)0,f(0)2,f求020()lim.xxftdtx罗比塔法则得00()()limlim.22xxfxfxx注意:2)(lim0xfx1(0),2f因为没有在点连续的条件，无法求出其值。)(xf0x而由题中所给已知条件，可以考虑利用导数定义。分析：该极限为型未定式，应用罗比塔法则，有000200()()limlim,2xxxftdtfxxx此式仍为型未定式，可以继续应用00解：200)(limxdttfxxxxfx2)(lim001()(0)lim20xfxfx中所遇到的关于函数性质的研究完全可以用到该积分中来，小结：积分表示自变量为的函数，因此微分学xdttfxa)(如研究的单调性、极值、最值、极限、连续等等．xadttf)(1(0)12f【例15】设在上连续，且)(xfba,()0,fxxaxbtfdtdttfxF)()()(证明：(1)2)(xF(2)方程在内有且仅有一个实根．0)(xFba,证明：(1)1()()fxfx()(())()()xxabdtFxftdtft12()2()fxfx即有()2.Fx1()0()()abbadtFadtftft0)()(badttfbF由零点定理知方程在内至少有一根。0)(xFba,又因为,在上函数单调增加，所以方程在至多有一根。()20Fxba,)(xF0)(xFba,(2)因为在上连续，所以在上也连续．又有ba,)(xFba,)(xf所以，方程在内有且仅有一实根。ba,0)(xF【例16】设1sin,0.(),20,0xxfxxx或分析：求分段函数的变上限积分的题型，其解法是：按与被积函数相同的分段依次讨论，计算中使用定积分的可加性。所以，应分段求的表达式．)(xF当时，0x0()()xFxftdtxdt000求在内的表达式．0()()xFxftdt,解：在的定义域中，是分段函数，,)(xf)(xF当时，x00()()xFxftdt01sin2xtdt011cos(1cos);22xtx当时，x0()()xFxftdt0()()xftdtftdt01sin012xtdtdt于是0,01()(1cos),021,xFxxxx【例17】求反常积分21lnxdxx解：211ln1ln()xdxxdxx21111lnxdxxx1ln1limxxxx10lim11xx【例18】求积分2021xdx分析：被积函数在积分区间上不是连续的，211x2,0牛顿—莱布尼兹公式失效．这是一个反常积分。1x为该积分的瑕点。解：212222001111dxdxdxxxx因为1021xdx01011lnxx故该积分发散．注：由于定积分与瑕积分的表达式没有区别，在计算积分时要特别注意。222001lnln3.11dxxxx