第11章 能量法

1前面解决了强度问题（简单变形——组合变形）刚度问题怎么办？1、能否避免组合变形的微分方程？2、能否只求出若干控制点的变形，避免求整个变形曲线用揭示本质法寻根——能量法2•本章就寻找能量方法，用于求位移•优点：•1.不管中间过程，只算最终状态•2.能量是标量，容易计算4§11-1概述1.变形功与变形能弹性杆受拉力P作用，当P从零开始到终值,缓慢加载时，力P在其作用方向上的相应位移也由零增至而做的功，称为变形功。同时弹性杆被拉长而具有做功的能力，表明杆件内储存了变形能。单位体积储存的应变能称为应变比能52.应变余功与余能余功余能余应变比能余功、余应变能、余应变比能具有功的量纲，是变形体的另一能量参数，但都没有具体的物理概念，只是常力所做的功减去变力所做功余下的那部分功。6固体力学中运用功与能有关的基本原理统称为能量原理，由此发展出来的方法称为能量法。能量原理是在总体上从功与能的角度考察变形体系统的受力、应力与变形的原理与方法，是进一步学习固体力学的基础，也是当今应用甚广的有限元法求解力学问题的重要基础。一.能量原理§11–2变形能的普遍表达式71.轴向拉伸或压缩线弹性杆件拉、压杆应变比能或则整个杆的变形能8线弹性材料纯剪应力状态杆件的应变比能为2.纯剪，扭转线弹性杆件扭转杆的变形能或93.线弹性梁弯曲弹性弯曲杆的应变比能整个杆的变形能其中M（x）是梁截面的弯矩（内力矩）=12对于拉压杆、扭转杆、弯曲杆的变形能可统一写成式中P在拉伸时代表拉力，扭转时代表扭转力偶矩，弯曲时代表弯曲力偶矩，P称为广义力，而与之相应的位移δ，称为广义位移，如拉伸时它是与P相应的线位移；扭转时，它是与扭转力偶矩相应的角位移;弯曲时，它是与弯曲力偶矩相应的截面角位移θ。更一般地说，广义力矢量与相应广义位移矢量的点积等于功。4.广义力与广义位移[例2]用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。CPfW21解：外力功等于应变能LxEIxMUd2)(2)0(;2)(axxPxM应用对称性，得：EIaPxxPEIUa12d)2(2123202EIPafUWC63思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？qCaaAPBf卡氏第一定理niiiidfWV10为最后位移的函数ViiidVdViidFdWdVdW由于iiVF卡氏第一定理应变能对于构件上某一位移之变化率，就等于与该位移相应的荷载。12n3AB1F2F3FnF由于改变了，外力功相应改变量为iid§11–3卡氏定理余功、余能及卡氏第二定理oF1F110FcdFW与外力功之和等于矩形面积11F10FdW与余功相应的能称为余能10FccdFWVVccdVvV10dvcoF1F1线弹性范围内外力功等于余功，能等于余能。卡氏第二定理niFiiiccdfWV10iicdFdW表明余能为一系列荷载的函数iFiiccdFFVdV12n3AB1F2F3FnF由于改变了，外力余功相应改变量为iFidFccdWdViciFV余能定理杆件的余能对于杆件上某一荷载的变化率就等于与该荷载相应的位移。在线弹性范围内VVciiFV卡氏第二定理线弹性范围内，杆件的应变能对于杆件上某一荷载的变化率，就等于与该荷载相应的位移。特殊结构（杆）的卡氏定理：LLPLxEIxMxGIxMxEAxNUd2)(d2)(d2)(22n2LnLnnPLnnnxPxMEIxMxPxMGIxMxPxNEAxNPUd)()(d)()(d)()(n[例5]结构如图，用卡氏定理求A面的挠度和转角。③变形①求内力解：求挠度，建坐标系xPxPxMA)(EIPL33②将内力对PA求偏导xPxMA)(LAAAxPxMEIxMPUfd)()(LxEIPx02dALPEIxO()求转角A①求内力AMxPxM)(没有与A向相对应的力（广义力），加之。EIPL22“负号”说明A与所加广义力MA反向。()EIPLA22②将内力对MA求偏导后，令MA=01)(0AMAMxMLAAxMxMEIxMd)()(LxEIPx0d③求变形（注意：MA=0）LxOAPMA[例6]结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。解：求挠曲线——任意点的挠度f（x）①求内力②将内力对Px求偏导后，令Px=0没有与f（x）相对应的力，加之。)()()(111xxPxLPxMxAB)()(11xLPxMBCxxPxMPxAB10)(x0)(0xxBCPPxMPALxBPxCfxOx1③变形（注意：Px=0）LxxxPxMEIxMPUxfd)()()(xxxxxLPEI0111d))((1)2)(3(223LxxxLxEIP1.简单超静定问题及其解法未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称为静定问题,相应的结构称为静定结构.未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程无法确定全部未知力,这类问题称为超静定问题或静不定问题,相应的结构称为超静定结构或静不定结构.所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束.未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数或静不定次数.求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理三个方面.lBAq§11–4能量法解超静定例题一铰接结构如图示,在水平刚性横梁的B端作用有载荷F垂直杆1,2的抗拉压刚度分别为E1A1,E2A2,若横梁AB的自重不计,求两杆中的内力.aABL112CaFaABCaF1NF2NF1L2L变形协调方程0AM12220NNFaFaFa122LL1211222NNFLFLEAEA12211214NFFEAEA2112244NFFEAEA[例7]等截面梁如图，用卡氏定理求B点的挠度。②求内力解：1.依求多余反力，0Cf③将内力对RC求偏导)5.0()()(xLPxLRxMCAB)()(xLRxMCBCxLRxMCAB)(①取静定基如图xLRxMCBC)(PCAL0.5LBfxOPCAL0.5LBRC④变形LCCCxRxMEIxMRUfd)()(LCLxxLRxxLxLPEI025.00d)(d)()5.0(10)3485(133LRPLEIC165PRC2.求Bf②将内力对P求偏导)5.0()(165)(xLPxLPxMAB)(165)(xLPxMBC16311)(LxPxMAB16)(5)(xLPxMBC①求内力③变形LBxPxMEIxMPUfd)()(LLLxxLPxLxPEI5.0225.002d)()165(d)16311(1EIPL76873()全10分•土木5班：郜文龙、刘凯、戚鹏飞、王威、文龙、许哲•土木6班：金星、李晓健、李艳红、刘万松、邵薪颖、宋宁、于全魁、周明星30•土木5班：丁天龙、杜浩鸣、冯成宸、韩凤丽、黄光辉、万会宝、王亚磊、谢坤•土木6班：郭梅宝、李阳、李耀溜、马菲菲、宋柯岩、徐鹏辉、赵龙、•交通2班：彭送盈31•土木5班：卢亮贵、仝井飞、张龙保•土木6班：陈西龙、樊冬、冯炳珂、郝兵、王慧娟、张维熙、张亚杰、•交通1班：安雪涛、胡鹏、柯雅双、李金珂、邢超、徐娟娟、•交通2班：胡春艳、肖鑫厚32