第11章 随机振动-线性系统的随机响应

李小珍晋智斌朱艳西南交通大学土木工程学院主要内容1、激励与响应的统计特性之间的关系Relationbetweenstatisticalpropertyofexcitationandresponse2、单自由度线性系统对于随机激励的响应ResponsesofsingleDOFlinearsystemtorandomexcitation主要内容3、多自由度系统对随机激励的响应Responsesofmulti-DOFsystemtorandomexcitation1、激励与响应的统计特性之间的关系Relationbetweenstatisticalpropertyofexcitationandresponse()ft()xt如图所示，对于随机输入和输出，线性系统的输入输出关系同样适用。也就是说，仍然可以利用脉冲响应函数或频率响应函数来描述系统的特性。Relationbetweeninputandoutputofthelinearsystemisappliedtorandomsystem,thatis,impulseresponsefunctionorfrequencyresponsefunctioncanbeadoptedtodescribethecharacteristicoftherandomsystem.1、激励与响应的统计特性之间的关系Relationbetweenstatisticalpropertyofexcitationandresponse()ft()xt但是，由于通常用统计性规律来描述随机过程，所以为了求解线性系统在稳态的随机激励下的响应特性，首先要建立线性系统的随机响应统计特性与输入的统计特性以及系统的传递特性三者之间的关系。However,statisticalrulesareusedtodefinerandomprocess,soinordertoobtainthepropertiesoftheresponsesaboutthelinearsystem,itshouldbeestablishedthattherelationshipamongthestatisticalcharacteristicofrandomresponses,thestatisticalcharacteristicofinput,andtransmissionpropertiesofthesystem.1、激励与响应的统计特性之间的关系Relationbetweenstatisticalpropertyofexcitationandresponse假定已知系统的动态特性（脉冲响应函数或频率响应函数）与随机过程激励的统计参数（主要是激励的均值、自相关函数与功率谱密度函数），求响应过程的统计参数（主要是振动响应的均值、自相关函数与功率谱密度函数），而不是具体计算系统对于各个激励样本的响应。Assumingthedynamicproperties(impulseresponsefunctionorfrequencyresponsefunction)andstatisticalparameteroftherandomstimulation(mainlyismeanvalueofthestimulation,Self-correlationfunctionandPSD)areknown,itshouldbedonetogetthestatisticalparameter(mainlyaboutthemeanvalueofthedynamicresponse,Self-correlationfunctionandPSD),insteadofcalculatingparticularresponsestoeachrandomstimulation.xfRxRffSxS()ft()xtffRfSffRfS1．单自由度线性系统对单个随机激励的晌应设质量—弹簧—阻尼系统受到随机力F(t)激励，动力学方程为2、单自由度系统对于随机激励的响应ResponseofsingleDOFlinearsystemtorandomexcitation)1.3.6()(tFkxxcxm系统的响应特性可用脉冲响应函数h(t)或复频响应函数描述(图6.10)。写出杜哈梅积分形式的解，将积分的上下限扩展为不影响结果，（6.3.2）若激励F(t)为平稳随机过程，则稳态响应也是平稳随机过程，其统计特性可计算如下。)(H),(dhtFdthFtx)()()()()(图6.10受单个随机激励的单自由度线形系统(1)均值对式(6.3.2)求平均，并将求平均与积分的次序互换，导出由于F(t)为平稳随机过程，有(6.3.4))3.3.6()()]([])()([)]([dhtFEdhtFEtxExFtFEtFE)]([)]([则式(6.3.3)化作上式中的积分可用时的复频响应函数值H(0)表示。得到即响应的均值与激励的均值只相差一个常值乘子H(0)。)5.3.6()(dhFx0(0)(6.3.6)xFH当激励的静态分量为零时，响应的静态分量亦为零。今后为分析方便，只讨论激励力与响应的均值皆为零的情形。(2)自相关函数用表示积分变量，并交换求平均与积分求和的次序，导出(6.3.7)此积分仅依赖于时差与时间t无关。21,122211212121222111)()()()]()([)()(])()()()([)]()([)(ddhRhddtFtFEhhdhtFdhtFEtxtxERFx(3)激励与响应的互相关函数利用式(6.1.9)和(6.3.2)计算激励与响应的互相关函数，导出(6.3.8)dhRdhtFtFEdhtFtFEtxtFERFFx)()()()]()([])()()([)]()([)(即互相关函数等于激励的自相关函数与脉冲响应函数的卷积积分。当激励为理想白噪声时(6.3.9)其中为激励的常值功率谱密度。代人式(6.3.8)，得到白噪声激励与响应的互相关函数为(6.3.10)利用此结果可从实验测得的推算出系统的脉冲响应函数。)()(0SRF0S)()(0hSRFx)(FxR)(h(4)自谱(6.3.11)22)(21112121212211)()()()]()()()(dehdeRdehdeddRhhSiiFiiFx注意到中括号内的积分即激励的自谱且由式(2.5.22)导出(6.3.12)其中*号表示复数的共扼)(FS)()()()()(221121HdehHHdehii代人式(6.3.11)后得到(6.3.13)此结果表明，根据激励谱与系统的复频响应函数的幅频特性即可求出响应谱。)()()()()(*)(2FFxSHSHHS)(FS)(H(5)均方值计算响应的均方值，得到(6.3.14)dSHFx)()(2122当激励为理想白噪声时等于常值，均方值为(6.3.15)其中积分可查阅附录中的积分公式。)(FS0SdHSx202)(2dH2)(对于弱阻尼系统，其阻尼比，幅频特性曲线在固有频率附近有很尖的峰值，则有更尖的峰值。当激励谱具有较平坦形状时，式(6.3.14)右端积分中对均方值的贡献主要来自共振频率附近的小区间内，因此可近似地取固有频率处的激励谱值代替。102)(H)(FS2x0)(0FS)(FS亦即近似地认为系统受到功率谱密度的白噪声激励。从式(6.3.13)还可看出，即使激励谱为较平坦的宽带，但响应谱主要集中在附近的窄带内。因此线性系统在实践中常起到窄带滤波器的作用。)(00FSS)(FS)(xS0(6)激励与响应的互谱对式(6.3.8)作傅里叶变换，得到(6.3.16)dehdeRdedhRdeRSiiFiFiFxFx)()()()()()()()(导出(6.3.17)此简洁结果表明互谱与激励谱之间通过复频响应函数相联系。从实验测得与之后，也可利用式(6.3.17)求出复频响应函数所包含的幅频和相频的完整信息。而利用式(6.3.13)只能得到的幅频特性，且在推导过程中未计入噪声的影响。式(6.3.17)在有噪声存在时其结果不变，因此关系式(6.3.17)比(6.3.13)更为有用。)()()(FFxSHS)(FxS)(FS)(H2)(H在实践中常引入系统的激励与响应的谱相干函数，定义为(6.3.18))()()()(2xFFxFxSSSv对于线性系统，将式(6.3.13)和(6.3.17)代入后，得到(6.3.19)因此系统为线性时，谱相干函数应等于1。如果测试得到的谱相干函数不等于1，则可能是系统内存在非线性因素，也可能是测试过程中存在噪声影响。1)()()()()()(22FFFFxSHSSHv如果路面不平度的激励谱密度函数为，求车身振动响应的谱密度和均方值Iftheexcitationspectraldensityfunctionofroadinequalityis,findthespectraldensityofandmeansquarevalueofcarbodyvibrationresponse.0()2qSSV例题Example0()2qSSVmxcxkxcqkq2()()()()XsmscskQscsk2()()()()XscskQsmscsk2()kjcHkmjc例题Example0()2qSSV210222210()()()()BjBjckHmjckAjAjA22222012022012()()()ABABkcmkIHdAAAmkc2202()()()2xqSjckSHSVmjck2220()2xSkcmkVmkc22002222xSSjckdIVmjckV例6.3.1一单自由度线性系统受到随机激励力F(t)作用(图6.11)。F(t)是均值为零、自谱为的理想白噪声平稳过程。求系统响应的自相关函数、自谱、均方值和激励与响应的互相关函数及互谱。0S图6.11受随机激励的质量-弹簧系统例题Example解：已知系统的脉冲响应函数为（a）)0(0)0(sin1)(tttemthdtd将白噪声自相关函数代人式(6.3.7)计算响应的自相关函数，得到（b）11102121021)()()]()()()(dhhSddShhRx将式(a)代入上式，积分得到（c）)0()sin(cos2)(sinsin)(0111)2(2201ddddddxeckSdtemSR由于自相关函数的偶函数性质，对于情形，可将上式中的代以，写作（d）此相关函数为幅值按负指数衰减的振荡曲线。0)0()sin(cos2)(0dddxeckSRe计算响应的均方值，得到（e