2.2 Lagrange 插值

§2.2Lagrange插值多项式§第二章函数近似计算的插值法若通过求解线性方程组(1)来求解插值多项式系数,不但计算工作量较大,且难于得到ia()nPx的简单表达式.一、代数多项式的构造:()nPx可通过找插值基函数的方法,得到插值多项式!十八世纪法国数学家Lagrange对以往的插值算法进行研究与整理，提出了易于掌握和计算的统一公式，称为Lagrange插值公式。它的特例是线性插值公式和抛物线插值公式。Lagrange插值多项式1.线性插值已知两个插值点及其函数值：xx0x1f(x)f0f1插值节点对应的函数值求一次多项式1(),Pxabx使得11110001)()(fbxaxPfbxaxP由于方程组的系数行列式0110110xxxx所以，按Gramer法则，有唯一解01100110110011xxfxfxxxxfxfa010110101111xxffxxffb于是,)(01010110011xxxffxxfxfxxP101001011)(fxxxxfxxxxxP或(B-1）容易验证，过点（x0，f0）与（x1，f1）直线方程就是式（B-1），如图2-3所示。yxx0x1P1(x)f(x)P1(x)f(x)误差图2-32.抛物线插值已知三个插值节点及其函数值：f2f1f0f(x)x2x1x0x求一个二次多项式22()Pxabxcx使得222222121112020002)()()(fcxbxaxPfcxbxaxPfcxbxaxP由于该方程组的系数行列式。行列式阶eVandermondxxxxxx30111222211200所以，有唯一解。即满足这样条件的二次多项式是唯一确定的。满足上述条件，所以它就是所求的二次多项式。容易看出2120210121012002010212))(())(())(())(())(())(()(fxxxxxxxxfxxxxxxxxfxxxxxxxxxP（B-2）容易验证，P2(x)是过点(x0,f0)、(x1,f1)与(x2,f2)三点的抛物线，如图2-4所示。yxx1x0x2P2(x)f(x)图2-4f0f1f23.n次Lagrange插值已知n+1个插值节点及其函数值：fnf2f1f0f(x)xnx2x1x0x插值节点相应的函数值求次数不超过n的多项式Pn(x)。2012()nnnPxaaxaxax使得nnnnnnnnnnnnnnnnnfxaxaxaaxPfxaxaxaaxPfxaxaxaaxPfxaxaxaaxP2210222222102112121101002020100)()()()(维的间是的多项式构成的线性空所有次数不超过n1n根据线性空间的理论,11nn这个维线性空间的基也由个多项式组成并且形式不是唯一的n而任意一个次多项式可由基线性表示且在不同的基下有不同的形式01(),(),,()1nxxxn设为上述维线性空间的一个基线性表示可由次多项式且任意)(,),(),()(10xxxxPnnn线性无关显然)(,),(),(10xxxn)()()()(1100xaxaxaxPnnn的插值函数为某个函数如果)()(xfxPn为插值基函数则称)(,),(),(10xxxnnifxPiin,,2,1,0)(且满足插值条件:为插值节点其中nixi,,2,1,0,()0,1,2,,iifxfin上的一组节点为区间如果],[210babxxxxannjxlnj,,2,1,0),(次多项式我们作一组)())(())(()())(())(()(11101110njjjjjjjnjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlnjiiijixxxx0)()(nj,,2,1,0010()()()()nniixxxxxxxx1()nx令)(1jnx则)())(())((1110njjjjjjjxxxxxxxxxxn+1次多项式)())(())(()())(())(()(11101110njjjjjjjnjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlnj,,2,1,0且()jilx10ijijnji,,2,1,0,-------(4)线性无关显然)(,),(),(),(210xlxlxlxln))(()(11jjnnxxxx从而的插值基函数作如果用)()(,),(),(),(210xfyxlxlxlxln则的插值多项式为而,)()(xfxPn)()()()(1100xlaxlaxlaxPnnn为待定参数、、、其中naaa10)(inxPnifxfii,,2,1,0)(令即njijjxla0)(nifi,,2,1,0由(4)式,可得nifaii,,2,1,0为记为项式为插值基函数的插值多以上在节点于是))((),,1,0()(,),,1,0()(,xLnixlnixxfynji0011()()()()nnnLxlxflxflxf)(xljnjiiijixxxx0)()(其中-------(6)-------(5)(5)()()nLxyfxLagrange称式为的插值多项式()(0,1,,)jlxinnLagrange称(6)式为次插值基函数0()()()nnnkkkPxLxlxf其中1'1()()()()nknkkxlxxxx这个改写了的Lagrange插值公式，在许多理论分析中是比较有用的。Lagrange插值公式的标准型公式:例1:15)225(,13)169(,12)144()(fffxf满足已知.)175(,)(的近似值并求插值多项式的二次作fLagrangexf解:225,169,144210xxx设)(0xl插值基函数为的二次则Lagrangexf)())(())((201021xxxxxxxx2025)225)(169(xx)(1xl))(())((210120xxxxxxxx1400)225)(144(xx)(2xl))(())((120210xxxxxxxx4536)169)(144(xx01212,13,15fff插值多项式为的二次因此Lagrangexf)(2001122()()()()Lxflxflxflx且)175(f)175(2L)175(15)175(13)175(12210lll73158230.13在例1中,如果只给出两个节点169和225,也可以作插值多项式,即1次Lagrange插值多项式,有两个插值基函数,也就是Lagrange线性插值.Lagrange线性插值基函数(一次插值)为Lagrange线性插值多项式为0101,,,xxff节点函数值101xxxx0()lx1()lx010xxxx10011()()()Lxlxflxf1001xxfxx0110xxfxx例2.).175(1fLagrange中的线性插值多项式求例用之间与在由于插值点22516917521xxx解:为插值节点与因此取22516921xx)(1xl212xxxx56225x)(2xl121xxxx56169xLagrange插值基函数为Lagrange线性插值多项式为11122()()()Lxflxflx5622513x5616915x)175(f5622517513561691751571285214.13所以二、插值余项插值的从上节可知Lagrangexfy)(,0()()nnjjjLxlxf满足nixfxLiin,,1,0)()(],[bax但)()(xfxLn不会完全成立因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估计这个截断误差呢？1()()(),()()()()()nninnnRxfxLxxRxfxLxKxx设则为其零点，可设1()()()()nnfxLxKxx01()()()()()nntftLtKxt若引入辅助函数)(x则有0的区分与注意xt)(ix且)()()(1ininxxKxR0即个零点上至少有在区间若令因此,2],[)(,,nbatxxi,0)(xni,,1,0nixi,,2,1,0,0)(1()(),(),()nnLxxfxt由于和为多项式因此若可微则也可微1()()()()nnfxLxKxx1()()()()ininifxLxKxx则成立根据Rolle定理,个零点上有至少在区间1),()(nbat再由Rolle定理,个零点上有至少在区间nbat),()(依此类推阶导数为零的使得内至少有一个点在区间1)(,),(ntba0)()1(n)()1(tn1()()()()()nntftLtKxt(1)(1)(1)1()()()()nnnnnftLtKxt由于)!1()()()1(nfxKn)()()(1xxKxRnn)()!1()(1)1(xnfnn所以)()()(截断误差的余项为插值多项式称xPxRnn(1)(1)(1)(1)1()()()()()nnnnnnfLKx因此)!1()()()1(nxKfn0即定理1.0()[,]1,()()[,],{}[,],[,],nniifxabnLxfxabnxabxab设在区间上阶可微为在上的次插值多项式插值节点为则有()nRx(1)1()()(1)!nnfxn,)()(01niinxxx其中.,),(xba且依赖于Lagrange型余项n=1:n=2:|)(|max)1(1xfMnbxan|)(||)(|011niinnxxxN设|)(|xRn则)()!1()(1)1(xnfnn11)!1(1nnNMn插值基函数的性质(1)10(1)00:()()()1()()()(1)!()1,1(1,2,)()0,()1()1nnnniininiiinniifxLxRxlxffxnfxfinlxflx插值基函数的一个重要性质:证明取则及故Lagrange插值算法特点&局限性优点：公式简洁,理论分析方便直观；对称；容易编程上机等。缺点：基函数计算复杂，计算量大每增加一个节点，插值多项式的所有系数都得重算；计算量为。222nn下一节提出的Newton插值法就克服了上述缺点。Seeyoulater!