2.2 光束在均匀介质和类透镜中的传播

2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播•2.2.1类透镜介质中的波动方程–在各向同性、无电荷分布的介质中，Maxwell方程组的微分形式为：(1)(2)0(3)EHtHEutE对2式求旋度：22HEEuutt2EEE且由3式：10EEEEE在各向同性介质中有介电常数不随位置而发生变化，即0222(4)EuEt综合上三式可以得到假设折射率n的空间变化很小，即n(r)满足慢变近似，此时可以将电磁场表示为：0(,,,)Re(,,)itExyztExyze代入(4)式220022()0()()EkrEkrur波动方程也称亥姆霍兹方程2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播–当考虑到介质中存在增益和损耗的情况时，上式最后一项可以表示为：22()()()1rkruri当代表吸收介质，代表增益介质00上式表示复数波数。若我们考虑波数表示形式为222002()krkkkr其中k0、k2都可以是复数，这个表达式可以理解为波数与位置r和介质的特性k2都有关系。由波数的定义：可以得到n(r)的表达式：2()()krnr222200200()()1222knrkrkkkrkrk该表达式就是类透镜介质的折射率表达式，证明我们考虑的k(r)表达式代表的正是在类透镜介质中的情况。2222000011222kkkrnrkk级数展开2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播•下面我们研究类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中传播的是一种近似平面波，即能量集中在光轴附近，沿光轴方向传播。可以假设光场的横向分布只与有关，因此波动方程中的算符可以表示为：•我们假设，其中a为集中大部分能量的横截面半径，这一假设说明衍射效应很弱，因此可以将推导局限于单一的横向场分量，其单色平面波的表达式为：其中e-ikz表示波数为k的严格平面波，为了研究修正平面波，我们引入了修正因子，它包含了相位和振幅修正两部分。•该修正因子满足慢变近似：将这些相关假设带入波动方程可以得到：•令修正因子取以下形式：22rxy2222222221rzrrrz2(,,)ikzExyze(,,)xyz2',kk2222'0rzikkkr20exp()2()kEipzrqz为什么取这种形式？这是对波动方程进行长期研究得到的解，既满足方程，又有明确的、能够被实验证实的物理意义。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播–通过将修正因子带入被假设修正过的波动方程，可以得到：–该方程对不同r都成立，因此r的各次项系数应该为零，整理得到：–该式称为类透镜介质中的简化波动方程。'222222122'0()()()kkrikrkpkkrqzqzqz2220'110()()'()()krqzqzkipzrqz项系数项系数2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播–2.2.2均匀介质中的高斯光束•均匀介质可以认为是类透镜介质的一种特例，即k2=0时的类透镜介质，此时简化波动方程为：•引入一中间函数S，使代入上式得到•得出该微分方程的解为•，a、b为复常数•则•由p与q的关系得到•C1不影响振幅和相位的分布，因此可以设C1=0。2'110qq1'()()()SzqzSz222'(')0SSSSSS0SSazb1()aqzazb0bqzzqa0'iipqzq10ln1zpiCq2200n12krnrk2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播•将上述结果代入到的表达式中有：•满足该表达式的q0有很多形式，但对其研究发现纯虚数形式的q0可以得到有物理意义的波，因此假设q0具有如下表达形式：•将q0的表达式带入（1）式中，其指数的两项可以分别表示为：2000expln1(1)2()zkEiirqqz2002,qik122220002222222200001expln1exptan1(/)expexp2()1(/)21(/)zziizkrrikrqzzzz2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播•人为定义以下参数：2222200220022200211200200()11()11()tantanzzzzzRzzzzzzzzzz将上述参数带入到光场的表达式，整理可以得到光场的表达式：200020222002(,,)(,,)exp()()2()1exp()()()2()expexp()()()2()ikzExyzxyzekrEikzzizqzikEikzzrzzRzrkrEikzzzzRz•该式所表示的是均匀介质中波动方程的一个解，称为基本高斯光束解，其横向依赖关系只包含r，而与方位角无关。那些与方位角相关的分布是高阶高斯光束解。•上面最后一个表达式中的两项，前一项是振幅项，后一项是相位项。•为什么是这个解？还有其他解吗？2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播•高斯分布：–在统计学中更多的被称为正态分布，它指的是服从以下概率密度函数的分布：221(;,)exp22xfxJohannCarlFriedrichGauss(1777–1855)2002exp()()rEEzz2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播•高斯光束基本特性–振幅分布特性由高斯光束的表达式可以得到：在z截面上，其振幅按照高斯函数规律变化，如图所示。将在光束截面内，振幅下降到最大值的1/e时，离光轴的距离定义为该处的光斑半径。2002exp()()rEEzz()rz由的定义可以得到：即光束半径随传输距离的变化规律为双曲线，在z=0时有最小值，这个位置被称为高斯光束的束腰位置。()z222200()1zzz01ZZ1/e2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播•等相位面特性–从高斯光束解的相位部分可以得到传输过程中的总相移为：–将上式同标准球面波的总相移表达式比较：–可以得出结论，在近轴条件下高斯光束的等相位面是以R(z)为半径的球面，球面的球心位置随着光束的传播不断变化，由R(z)的表达式可知：–z=0时，,此时的等相位面是平面；–时，，此时等相位面也是平面；–时，，此时的等相位面半径最小；22120(,,)()tan2()2()krrzxyzkzzkzRzRz22;2xykzkzRR()Rzz()Rzz0zz0()2Rzz202()1zRzzz2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播•瑞利长度–当光束从束腰传播到处时，光束半径–，即光斑面积增大为最小值的两倍，这个范围称为瑞利范围，从束腰到该处的长度称为高斯光束的瑞利长度，通常记作。–在实际应用中，一般认为基模高斯光束在瑞利长度范围内是近似平行的，因此也把瑞利距离长度称为准直距离。从瑞利长度表达式可以得出结论，高斯光束的束腰半径越小，其准直距离越长，准直性越好。0zz0()2z200/zf2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播•高斯光束的孔径–从基模高斯光束的光束半径表达式可以得到截面上振幅的分布为：–则其光强分布为：–考虑垂直于高斯光束传播方向上存在一无限大平面，以光轴为中心开一半径为a的孔，则透过该孔径的光功率与总功率的比值为左下式，通过计算可以得到不同孔径的功率透过率。–在激光应用中，高斯光束总要通过各种光学元件，从上面推导可知，只要光学元件的孔径大于3ω/2，即可保证高斯光束的绝大部分功率有效透过。2022()exprIrI202()exprArA22002200()221exp()2IrrdrdPTPIrrdrd孔径半径aω/2ω3ω/22ω功率透过比39.3%86.5%98.89%99.99%2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播•远场发散角–从高斯光束的等相位面半径以及光束半径的分布规律可以知道，在瑞利长度之外，高斯光束迅速发散，定义当时高斯光束振幅减小到最大值1/e处与z轴夹角为高斯光束的远场发散角（半角）：–包含在全远场发散角内的光束功率占高斯光束总功率的86.5%•高斯光束在轴线附近可以看成一种非均匀高斯球面波，在传播过程中曲率中心不断改变，其振幅在横截面内为一高斯分布，强度集中在轴线及其附近，且等相位面保持球面。z00()limzzzz2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播•2.2.3类透镜介质中的高斯光束–类透镜介质中k2≠0，此时的简化波动方程为：–其解仍可以采用与均匀介质中相类似的处理方式得到，最终可以求出：22'110()()'()()kqzqzkipzqz22022220cossin()sincoskkkqzzkkkqzkkkqzzkkk2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播•类透镜介质中的基本高斯光束解仍然可以采取的形式，如果我们只讨论其中包含r2的指数部分：仍取，则q(z)可以表示成：将(2)式代入(1)式可以得到：其中ω(z)是光斑半径，R(z)是等相位面曲率半径，其物理意义同均匀介质中的基本高斯光束解相同，然而数学表达式比较复杂。20exp()2()kEipzrqz2exp(1)2()kriqz200qi211(2)()()()iqzRzz222exp()2()rkrizRz2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播•前面得到了类透镜介质中高斯光束参数q(z)的复数表达形式：•q0是由边界条件求出的光束初始条件，将上式同前面得到的光线矩阵比较：22022220cossin()sincoskkkqzzkkkqzkkkqzzkkk202020222000cossinsincoskkkzzkkkABCDkkkzzkkk00()AqBqzCqD2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播•2.2.4高斯光束的ABCD法则–按照光线矩阵规则，ABCD矩阵元构成的光线矩阵是表示输出平面上和输入平面上光线参数之间的关系，因此我们取：–该式表示了类透镜介质中传播的高斯光束的传输变换规则.可以证明，高斯光束在其他光学元件上透射或反射都遵循这一规则，该规则称为高斯光束q参数变换法则，简称ABCD法则。–需要注意的是ABCD法则同