2.2 常用失效分布

三、对数正态分布3可靠性中常用的失效分布一、指数分布四、威布尔分布二、正态分布五、二项分布六、泊松分布一、指数分布指数分布一般记为ET~1.失效概率密度函数f（t）式中λ—指数分布的失效率，为一常数。0,0tetft指数分布的失效概率密度函数f（t）的图形如下图所示。2.累积失效概率函数F（t）01tedtedttftFtttt3.可靠度函数R（t）01tetFtRt可靠度函数R（t）的图形如下图所示。4.失效率函数λ(t)λ(t)＝λ=常数失效率函数的图形如下图所示。5.平均寿命θ（MTTF或MTBF）100dtedttRt因此，当产品寿命服从指数分布时，其平均寿命θ与失效率λ互为倒数。6.可靠寿命Tr给定可靠度r时，reTRrTrrTrln17.中位寿命T0.5将r=0.5代入上式可得：1693.05.0ln15.0T8.特征寿命1ln111eTe指数分布有一个重要特性，即产品工作了t0时间后，它再工作t小时的可靠度与已工作过的时间t0无关（无记忆性），而只与时间t的长短有关。小结（1）产品失效率是与时间无关的常数，且与平均寿命互为倒数；（2）产品特征寿命与产品平均寿命相同；（3）产品工作状态具有“无记忆性”，即t0后产品工作寿命的长短与已工作时间的长短无关。例1:某机械设备寿命服从指数分布，其平均寿命=10000h，求该机工作到t=10，100，1000，10000h各给定寿命的失效概率。解：（1/h）1000011t001.01)10(1000010eF01.01)100(10000100eF1.01)1000(100001000eF632.01)10000(1000010000eF例2：设有某种电子元器件，根据以往试验资料知道，在某种应力的条件下，其寿命服从指数分布，并且这种器件在100h的工作时间内将约有5%失效，求可靠寿命t(0.9)和可靠度R(1000)解：由题可知P(T=100)=F(100)=0.05即：1-=0.05,=0.0005-100et(0.9)===210.7h11lnt11ln0.00050.9R(1000)==0.6065-1000*0.0005e例3：假设人的寿命服从指数分布，预期平均寿命71岁，请问某人活到71岁的可能性有多大？此外,50%的人的寿命为多大年龄？71171)(tteetR368.0)71(1eR495.01ln711ln1ln1)5.0(15.0RtRRt（1）（2）（岁)例题4：某设备的寿命服从指数分布，要使它连续工作1000h的可靠度不低于0.8，其失效率应限制在多大？二、正态分布T~N(μ、σ2)简记为：1.失效概率密度函数f(t)tetft22221式中μ—随机变量的均值；σ—随机变量的标准差。2.累积失效概率函数F（t）ttdttdttftTPtF221exp213.可靠度函数R（t）tdtttR221exp214.失效率函数λ(t)ttdttetRtft222221exp21/21（1）f(x)曲线以μx为对称；（2）x=μ时，f(x)有最大值：21X（3）时，；x0)(xf（4）f(x)曲线在处有拐点；XX（5），XX3（6）3σ原则：随机变量的概率值落在中几乎是肯定的（99.73%）XXE)(2)(XXD正态分布特点：3σ准则在正态分布中σ代表标准差,μ代表均值x=μ即为图像的对称轴3σ原则即为:数值分布在（μ—σ,μ+σ)中的概率为0.6826数值分布在（μ—2σ,μ+2σ)中的概率为0.9544数值分布在（μ—3σ,μ+3σ)中的概率为0.9974可以认为，随机变量的概率值几乎全部集中在（μ—3σ,μ+3σ)]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.求累积失效概率时，积分求值相当麻烦。一般进行标准化处理，然后直接用标准正态积分表求解。标准化处理主要是通过变量代换，把一般正态分布转化为标准正态分布．其过程如下：令zxxx则可以得到标准化正态分布的累积失效概率密度和累积失效概率函数。dzezzz22121zzzdzezZPzxF22121上两式表示均值为0，标准差为1的标准正态分布，记作Z～N(0,1)baabdzzbZaP标准正态分布图()1-()tt对于标准正态分布：例1:已知X～N(3，22)，求（1）P(X≥3)；（2）P(2≤X≤5)0233XXxz5.0)0()0()3(ZPXP解：(1)标准化处理，(2)5.023211XXxz123522XXxz5328.03085.08413.0)5.0()1()15.0()52(zPxPx例2：大批铆钉，规定直径d＝100.12mm为合格品，=0.06mm，如估计得其标淮差求铆钉合格的概率。88.912.0101xmm12.1012.0102xmm标准化处理211xxxz222xxxz=1-2*0.02275=0.9545解：(1)(2)例3:某轴在精细加工后，其直径的尺寸变动可用正态分布描述，且其均值为14.90mm，标准差为0.05mm。按图纸规定，轴径尺寸为14.90+0.1mm的产品为合格品，求合格品率。例4：若统计得到人的身高X～N(1650,602)mm，希望碰头的概率小于1%，试设计车门高度。01.0)(1xXP11zxXXXXzx1101.0)(1xXP32.21z解：令车门高度为x1标准化处理：由时，查得则x1≥1650+2.32×60≈1790mm由题意求时的x1正态分布的加法定理例5：设男子的平均身高为168cm，标准差为6cm;女子的平均身高为158cm，标准差为5cm。问在偶然相遇的一对男女中，女子高于男子的概率是多少？三、对数正态分布1.失效概率密度函数f(t)2.累积失效概率函数F(t)1.失效概率密度函数f(t)222ln21tettf对数正态分布在可靠性研究中主要用于描述材料、零部件的疲劳寿命、疲劳强度裂纹增长、腐蚀深度增大等现象，不仅适用于寿命与时间的分布，也适用于维修与时间的分布。T~ln(μ、σ2)对数正态分布是一个偏态分布，而且是单峰的，见下图。2.累积失效概率函数F(t)tdttttF02ln21exp213.可靠度函数R(t)tdttttR2ln21exp214.失效率函数λ(t)ttdtttettRtft222221exp1/1例某弹簧的疲劳寿命服从对数正态分布LN(13.9554，0.10352)问：①将该弹簧在使用106次载荷循环后更换，在其更换前失效的概率？②若要保证它99%的可靠度，应在多少次载荷循环后更换？解：(1)循环次数为随机变量N，令X=lnn，则X～N(13.9554，0.10352)标准化处理：6ln1013.95541.35160.1035xz()(1.3516)0.0885z故弹簧在承受106次循环载荷之前失效的概率为0.0885(2)可靠度R(x)=0.99，则失效概率Φ（z）=F(x)=1-R(x)=0.01设n次循环之前更换，则z=-2.326，lnn=13.717，n=9.06×105次。故，为保证可靠度为0.99，应在工作9.06×105循环次数前更换。四、威布尔正态分布1.失效概率密度函数f(t)2.累积失效概率函数F（t）3.可靠度函数R（t）1.失效概率密度函数f(t)0m1，；tetmtfmtmT~W(m,η,δ)三个参数（m、η、δ）的意义当m1时，f(t)曲线随时间单调下降；当m=1时，f(t)曲线为指数曲线；当m1时，f(t)曲线随时间增加出现峰值而后下降；当m=3时，f(t)曲线已接近正态分布。通常m=3~4即可当做正态分布。（1）形状参数m（2）位置参数δ当δ0时，产品开始工作时就已失效了，即这些元件在贮存期已失效，曲线由δ=0时的位置向左平移|δ|的距离。当δ=0时，f(t)曲线为二参数威布尔分布。当δ0时，表示这些元件在起始时间δ内不会失效，f(t)曲线由δ=0时的位置向右平移|δ|的距离。此时，可将δ称为最小保证寿命。（3）尺度参数η当η值增大时，f(t)的高度变小而宽度变大。故把η称为尺度参数。2.累积失效概率函数F（t）0m1，；tetFmt3.可靠度函数R（t）0m，；tetRmt4.失效率函数λ(t)0m1，；ttmtm例已知某飞机上的机械零件的疲劳寿命服从威布尔分布，参数m＝2，η＝200h，δ＝3h，试推算该零件工作到50h时不失效的概率。例题2：已知机械部件的疲劳寿命服从威布尔分布，且由历次试验得知形状参数为2,尺度参数为200h,位置参数为0。求:(1）当可靠度为0.95时的可靠寿命（2）在200小时内平均失效率（3）当失效率为0.1次/100h的更换寿命五二项分布应用场合：产品抽检，抽得次品数的概率。进行n次独立试验（各次试验的结果互不影响），在一次试验中有两种可能结果，事件发生的概率为p，不发生的概率为q=1-p，则在n次试验中恰有x（0，1，2，…）发生的概率为：称X服从二项分布，记作X～B(n·p)累积发生k次的概率为：二项分布的均值：npXE)(方差:：npqXD)(独立参数：n、p特点：（1）参加试验的次数（n）已知；（2）参加试验的样品只有两个状态，即p+q=1;（3）参加试验的样品的两种状态发生的概率分别为p与q，且p、q均为常数；（4）事件相互独立；（5）只取整数的离散型分布，可用概率分布表和条形图表示。例:某型号产品在运行时间超过规定值时为合格产品。根据以往的经验，该产品在规定的生产、运行条件下的次品率为0.2，问从该产品中随机抽出20台，有10个次品的概率是多少？解:：例:将次品率为1%的大批产品装箱，每箱装90件，今抽检1箱，进行全数检验，求查出次品数不超过5的概率。解:：显然，,若发现超过5件，则次品率可能大于1%。00036.0)5(XP例:已知产品发生故障的概率为p=0.1。现问从该产品中抽取n=4的样品的失效期望值和标准差是多少？4.01.04)(npXE6.09.01.04npq解:：(件）(件）六泊松分布（二项分布的特例）若n很大，p很小，且np=λ0时，则有：（x=0,1,2,…）累积分布函数：exkXPkxx0!)(则称X服从泊松分布，记作X～p(λ)。独立参数：λ一般，当时，可用泊松分布代替二项分布。500110npnp,.,)(XE)(XD9997.0!9.0!)5(9.05050exexXPxxxx用泊松分布计算。解:：例:将次品率为1%的大批产品装箱，每箱装90件，今抽检1箱，进行全数检验，求查出次品数不超过5的概率。1.某机械零件疲劳寿命服从对数