2.2 拉式反变换、传函

自动控制原理自动控制原理本次课程作业作业（2）控制系统的数学模型课程小结(1)时域模型—微分方程•元部件及系统微分方程的建立•线性定常系统微分方程的特点•非线性方程的线性化•微分方程求解课程小结(2)2拉氏变换的定义0)()(dtetfsFts（2）单位阶跃3常见函数L变换)(tfs1（5）指数函数ate)(1as)(sF)(1t（1）单位脉冲1)(t（3）单位斜坡21st（4）单位加速度31s22t（6）正弦函数tsin)(22s（7）余弦函数tcos)(22ss课程小结(3)（2）微分定理4L变换重要定理（5）复位移定理（1）线性性质（3）积分定理（4）实位移定理（6）初值定理（7）终值定理(s)Fb(s)Fa(t)fb(t)faL21210fsFstfL0111-fssFsdttfL()()τsLfteFs)()(AsFtfeLtA)(lim)(lim0sFstfst)(lim)(lim0sFstfst线性定常微分方程求解微分方程求解方法复习拉普拉斯变换有关内容（12）5拉氏反变换jjstdsesFjtf)(21)(（1）反演公式（2）查表法（分解部分分式法）试凑法系数比较法留数法a)s(sa)-s(saF(s)1a)s(sF(s)1例1已知，求?)(tf解.ateaf(t)11assa111复习拉普拉斯变换有关内容（13）cacacacannnn01)1(1)(...用L变换方法解线性常微分方程0初条件nm:L)()...(0111sCasasasannnn)(......)(01110111sRasasasabsbsbsbsCnnnnmmmm011011)()(......)(asasabsbsbsCnnnnmmmmttrnnsCsCsC2211tnttneCeCeCsCLtc21211)]([)(:特征根（极点）i:相对于的模态tiei:1Lrbrbrbrbmmmm01)1(1)(...)()...(0111sRbsbsbsbmmmm复习拉普拉斯变换有关内容（14）用留数法分解部分分式一般有其中：)(......)()()(011011mnasasabsbsbsAsBsFnnnnmmmm设)())((...)(21011nnnnnpspspsasasasA0)(sAI.当无重根时niiinnpsCpsCpsCpsCF(s)12211nitpitpntptpineCeCeCeCtf12121)(ipsi(s)AB(s)C).F(s)p(sCipsiilim复习拉普拉斯变换有关内容（15）342)(2ssssF例2已知，求?)(tf解.3131221sCsC))(s(ssF(s)2131213121lim11))(s(ss)(sCs2113233123lim32))(s(ss)(sCs321121ssF(s)tteef(t)321213455)(22sssssF例3已知，求?)(tf解.34)2()34(22sssssF(s))3)(1(21ssstteetf(t)32121)(1212113ss复习拉普拉斯变换有关内容（16）223)(2ssssF例4已知，求?)(tf解一.jjj)j)(s(ssj)(sCjs221131lim11jij)j)(s(ssj)(sCjs221131lim12tjtjejjejjf(t))1()1(2222解二：jsC-jsCj)-j)(s(ssF(s)1111321jtjttejejej)2()2(21ttjejtsin4cos221ttetsin2cos22113)(ssF(s)tetef(t)ttsin2cos22221112111)(s)(ss221121)(ss特例：的极点包含有共轭复数)(sF假定p1和p2是共轭复数极点，其它极点均为不相等的实数，则有：)())(()()(21npspspssBsFnnpscpscpspscscsF332121))(()(一般采用配方法求其拉氏反变换3)()(isFpscipsii，复习拉普拉斯变换有关内容（17）)22()1)(1(1)]1)1[(1)22(1)(221022sscscscjsjsssssssssssX复习拉普拉斯变换有关内容（17）待修正复习拉普拉斯变换有关内容（17）0)()()(1npspssAII.当有重根时nnmmm-m-mms-pCs-pCs-pC)(s-pC)(s-pCF(s)11111111(设为m重根，其余为单根)1p1121121111mm-mm-CCCCf(t)L[(s-p)(s-p)(s-p)s-p.F(s))p(sdsd)(m-C.F(s))p(sdsdjC.F(s))p(sdsdC.F(s))p(sCmmmpsmjjpsm-jmpsm-mpsm11)1(11)(1111111lim!11lim!1lim!11lim]11nnmms-pCs-pC11212112ptmmmm-CC[ttCtC].e(m)!(m)!tpnmiiieC1复习拉普拉斯变换有关内容（18）nnmmm-m-mms-pCs-pCs-pC)(s-pC)(s-pCF(s)11111111mmpsC.F(s))p(s11lim111212111mm-m-mm)(s-pC)(s-pC)(s-pCCF(s))(s-pnmnmmms-p)(s-pCs-p)(s-pC11112111211)()1()(20mmmmpsCmpsCC.F(s))p(sdsd111lim!11m-mpsC.F(s))p(sdsd3112122)()2)(1(200mmmpsCmmC.F(s))p(sdsd21221lim!21m-mpsC.F(s))p(sdsd复习拉普拉斯变换有关内容（19）)3()1(2)(2sssssF例5已知，求?)(tf解.32142113CCCCF(s)(s)sss)(s)s(ss)(sCs3121lim2212)(s)s(ss)(sdsdCs3121lim!112211)(s)s(sss.Cs312lim20331121132114311212s.s.s.)(s.F(s)ttteetef(t)3121324321)(s)s(sssCs312)3(lim2342131121))((221)3(]3)[2()3(limssssssss4332121线性定常微分方程求解tRCctRCceueEEtu1100)0()(ccrccruuRCuuCiuRiu)()()]0()([sUsUussURCrccc1)0()1(1)0(1)()(0RCsRCuRCssERCsRCuRCssUsUccrc00000101lim1()1lim()1()ssRCERCCsEssRCERCCsERCssRCRCsuRCsEsEsUcc1)0(1)(00sEsUtEturr00)()(1)(例6R-C电路计算rccuuuRCRCsuRCsCsCRCsuRCssRCEcc1)0(11)0()1(100tRCcceuEEtu100)]0([)()0()()()1(crcRCusUsURCs(1)输入ur(t)影响系统响应的因素(2)初始条件(3)系统的结构参数——规定r(t)=1(t)——规定0初始条件——自身特性决定系统性能影响系统响应的因素00011000011110cccttRCRCccERCu()EEu()U(s)ss(s)sssRCRCRCRCu(t)EEeu()e§2.3控制系统的复域模型—传递函数)()()(sRsCsG)(......01)1(1)(01)1(1)(trbrbrbrbcacacacammmmnnnn)(......)()(01110111sGasasasabsbsbsbsRsCnnnnmmmm11110110nnmmnnmmasas....asaC(s)bsbs...bsbR(s)niimjjpszsKsG11*)()()(211212211221)12()1()12()1()(njjjniimkllmlksTsTsTssssKsGv§2.3.1传递函数的定义在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。§2.3.2传递函数的标准形式微分方程一般形式：拉氏变换：传递函数：⑴首1标准型：⑵尾1标准型：§2.3控制系统的复域模型—传递函数sssss2344)G(23例7已知将其化为首1、尾1标准型，并确定其增益。解.sssssG23)1(4)(232K)12321(124)(2sssssG首1标准型尾1标准型增益)2)(1()1(4ssss)1)(121()1(2ssss§2.3控制系统的复域模型—传递函数§2.3.3传递函数的性质(1)G(s)是复函数；(2)G(s)只与系统自身的结构参数有关；(3)G(s)与系统微分方程直接关联；(4)G(s)=L[k(t)]；(5)G(s)与s平面上的零极点图相对应。例8已知某系统在0初条件下的单位阶跃响应为：试求：（1）系统的传递函数；（2）系统的增益；（3）系统的特征根及相应的模态；（4）画出对应的零极点图；（5）求系统的单位脉冲响应；（6）求系统微分方程；（7）当c(0)=-1,c’(0)=0;r(t)=1(t)时，求系统的响应。解.（1）§2.3.3传递函数的性质(1))4)(1()2(2413111321)(ssssssssC)4)(1()2(2)(1)()()()(ssssGssSCsRsCsGtteetc431321)(§2.3.3传递函数的性质(2)tteessLtk41343241341132)(rrcccLsRssCss4245:)()42()()45(121422K(2)ttee42141(3)41)4)(1()2(2)]([)(21111sCsCLsssLsGLtk(5))()(45