第三讲单样本定位问题

独立性问题第八讲简介•1.对基于符号（Kendall）的独立性自由分布检验•2.与Kendall统计量有关的一个估计•3.基于Kendall统计量一个渐进自由分布置信区间•4.基于秩（Spearman）的独立性自由分布检验P(Xx,Y)=P(Xx)P(Y)XYyy如果，则两随机变量和是独立的数据：我们得到二元观察值：每n个主体里面有一个观察值假设：n个二元观察值是来自连续二元总体的随机样本。也就是说，是相互独立，且与某连续的二元总体同分布。我们感兴趣的零假设是：),,(),...,,(11nnYXYX),,(),...,,(11nnYXYX),(YX)]()(),([:,0yFxFyxFHYXYX对所以的（8.1）),(yx对基于符号（Kendall）的独立性自由分布检验),(),(}0))({(121212121212XXYYPXXYYPXXYYP10))((21212XXYYP41)21)(21()()(),(12121212XXPYYPXXYYP如果X与Y是独立的，则有：对（8.1）的备择假设是变量X与Y之间的相依性，这也是我们最感兴趣的。在这里，我们集中通过Kendall群体相关系数来测量相依性类型。我们注意到事件发生当且仅当事件或事件发生，所以：0))((1212XXYY),(1212XXYY),(1212XXYY41)21)(21()()(),(12121212XXPYYPXXYYP类似地：（8.2）•所以，在零假设成立的条件下，即：变量X与Y是独立的，则：01)4141(2但是我们注意到并不一定表明变量X与Y是独立的。以下介绍符号（Kendall）的独立性自由分布检验。0为了计算Kendall样本相关统计量K，我们首先计算对符号统计量其中：)),(),,((jjiiYXYXQnji10))((10))((,1)),(),,((acbdif，acbdifYXYXQjjii也就是说，以于每对下标如果是正的，我们给1分，如果是负的，我们给-1分。因此，Kendall统计量K为：（8.6）从一对符号统计量相应地加1或减1。jiji),,())((ijijXXYY))((ijijXXYY111)),(),,((ninijjjiiYXYXQ步骤：2/)1(nn所以：一：单边的上尾检验，相应的备择假设是：如果，则拒绝零假设，其中：是第一类错误概率等于的值，反之，则接受零假设。二：单边的下尾检验，相应的备择假设是：如果，则拒绝零假设，反之，则接受零假设。三：双边检验，相应的备择假设是：如果，则拒绝零假设，反之，则接受零假设。kKk00kK02/kK大样本逼近•在零假设下：18)52)(1()(0)(00nnnKVarKE2/12/100*}18/)52)(1({)}({var)(nnnKKKEKK所以：一：单边的上尾检验，相应的备择假设是：如果，则拒绝零假设，反之，则接受零假设。二：单边的下尾检验，相应的备择假设是：如果,则拒绝零假设，反之，则接受零假设。三：双边检验，相应的备择假设是：如果，则拒绝零假设，反之，则接受零假设。zK*00zK*02/*zK•当应用大样本逼近时，如果在X或Y存在结时，则在零假设下，K的方差变为：)1(2})1(}{)1({)2)(1(9})2)(1(}{)2)(1({18)}52)(1()52)(1()52)(1({)(var1111110nnuuttnnnuuutttuuutttnnnKhjjjgiiihjjjjgiiiigihjjjjiii在这里表示X组不同数的数目，表示Y组中不同数的数目，是组i中X结的数目，是组j中Y结的数目ghitju例8.1：金枪鱼罐头和质量。表8.1的数据是由Rasekh，克莱默，和芬奇（1970年）旨在确定各种因素促成的金枪鱼罐头与质量的相对重要性，并找到客观的方法来确定质量参数，以及消费者的偏爱的一项研究中获得数据的一部分。表8.1提供对9个金枪鱼罐头的猎人L明度测量与小组成绩的值。原来的消费小组分数很好，很好，很好，公平，穷人，和不能接受的是转换为数值6，5，4，3，2和1。在表8.1小组积分是80这个值的平均值。（所以Y随机变量是离散的，连续性的部分假设A是不满意。尽管如此，因为每个Y是80这个值的平均值，我们不必过度的担心偏离假设）人们怀疑，猎人L值与小组评分是正相关的。因此，我们应用单边的上尾检验。(8.1)对为了说明起见，我们考虑了显著水平。查表我们找到，所以，如果，则拒绝零假设。14090.0k090.014K表8.19个金枪鱼罐头的猎人L测量与小组成绩的值标签猎人L值（X）小组成绩（Y）144.42.6245.93.1341.92.5453.35.0544.73.6644.14.0750.75.2845.22.8960.13.8来源：Rasekh，克莱默，和芬奇（1970年）cor.test(x,y,alternative=c(two.sided,less,greater),method=c(pearson,kendall,spearman),exact=NULL,conf.level=0.95,...)x,ynumericvectorsofdatavalues.xandymusthavethesamelength.alternativeindicatesthealternativehypothesisandmustbeoneoftwo.sided,greaterorless.Youcanspecifyjusttheinitialletter.greatercorrespondstopositiveassociation,lesstonegativeassociation.methodacharacterstringindicatingwhichcorrelationcoefficientistobeusedforthetest.Oneofpearson,kendall,orspearman,canbeabbreviated.exactalogicalindicatingwhetheranexactp-valueshouldbecomputed.UsedforKendall'stauandSpearman'srho.SeetheDetailsforthemeaningofNULL(thedefault).conf.levelconfidencelevelforthereturnedconfidenceinterval.CurrentlyonlyusedforthePearsonproductmomentcorrelationcoefficientifthereareatleast4completepairsofobservations.statisticthevalueoftheteststatistic.parameterthedegreesoffreedomoftheteststatisticinthecasethatitfollowsatdistribution.p.Valuethep-valueofthetest.estimatetheestimatedmeasureofassociation,withnamecor,tau,orrhocorrespondingtothemethodemployed.null.valuethevalueoftheassociationmeasureunderthenullhypothesis,always0.alternativeacharacterstringdescribingthealternativehypothesis.methodacharacterstringindicatinghowtheassociationwasmeasured.data.nameacharacterstringgivingthenamesofthedata.conf.intaconfidenceintervalforthemeasureofassociation.CurrentlyonlygivenforPearson'sproductmomentcorrelationcoefficientincaseofatleast4completepairsofobservations.x-c(44.4,45.9,41.9,53.3,44.7,44.1,50.7,45.2,60.1)y-c(2.6,3.1,2.5,5.0,3.6,4.0,5.2,2.8,3.8)cor.test(x,y,method=kendall,alternative=greater)Kendall'srankcorrelationtaudata:xandyT=26,p-value=0.05972alternativehypothesis:truetauisgreaterthan0sampleestimates:tau0.4444444cor.test(x,y,method=kendall,alternative=greater,exact=FALSE)Kendall'srankcorrelationtaudata:xandyz=1.6681,p-value=0.04765alternativehypothesis:truetauisgreaterthan0sampleestimates:tau0.4444444Kendall相关系数也能够写为：我们已经注意到如果X与Y是独立的，则。另一方面，如果，则或比它们的补事件或更有可能发生。所以，如果，虽然从到与从到有相同（不是相反）符号，但是从到更有可能改变。去解释X与Y之间这类关系作为正关联（用度量）的指示是合理的。类似的，去解释X与Y之间这类关系作为负关联（用度量）的指示是合理的。)].0))((()0))((([12121212XXYYPXXYYP00},{1212YYXX},{1212YYXX},{1212YYXX},{1212YYXX01X2X1Y2Y1X2X0的解释：协调对/不协调对.如果,则称是协调的。如果，则称是不协调的。所以，如果（a）且或（b）且，则是协调的，类似地，如果（c）且或（d）且，则是不协调的。现在K能够表示为其中是协调对的数目，是不协调对的数目。由于n个观察可能有种不同的方式配对，注意到如果的顺序与相同，则是协调的，当顺序不相同时就是不协调的。所以被看作是X与Y之间协调的一个平均测度，这里的协调涉及到顺序。0))((jijiYYXX),(),,(jjiiYXYX0))((jijiYYXX),(),,(jjiiYXYXjiXXjiYYjiXXjiYY),(),,(jjiiYXYXjiXXjiYYjiXXjiYY),(),,(jjiiYXYX'KKK'KK2)1(2nnnjiXX,jiYY,),(),,(jjiiYXYX}2/)1(/{nnKKendall的相关性度量：如果我们取，同时考虑niiXi,...,1,,)()),(),,((111111ninijijninijjiYYcYjYiQK这里：0,10,00,1)(aaaac如果如果如果则K能够被用做在单变量的随机样本中对时间趋势的一个检验。用K去对时间趋势进行检验被Mann(1945)所采用。nYY,...,1Kendall统计量K的趋势检验：步骤：基于统计量K（8.6）的Kendall群体相关系数（8.2）的估计是：（8.34）统计量是Kendall样