第三讲单自由度系统的强迫振动

汽车振动与噪声控制山东交通学院徐传燕22第一章振动理论基础1.1振动系统简介1.2单自由度系统1.3多自由度系统1.4连续振动系统1.5随机振动1.2.2强迫振动3系统在外部激励下所做的振动。•谐波激励•周期激励•任意激励41.简谐激励下的强迫振动指激励是时间的简谐函数，它在工程结构的振动中经常发生，通常由旋转机械失衡造成。2.简谐激励下的强迫振动理论是分析周期激励以及非周期激励下系统响应的基础。3.通过分析系统所受的简谐激励与系统响应的关系，可以估计测定系统的振动参数，从而确定系统的振动特性。1简谐激励的强迫振动1简谐激励的强迫振动5质量-弹簧系统，激励为：则振动微分方程与初始条件：6tjemFxxxtFkxxcxm2002sin2002mkmcx是复数，其特解为：tjeBx为复振幅B02202002021)2(jmFBemFeBjBBtjtjmk20其中:其中；令0定义频率比1简谐激励的强迫振动7jjBeekFjkFB222020)2(112112122012211tgKFBtBtxBetxtjsin只要虚部：这是响应的通常形式。为振幅，为相位差。B复数解为：1简谐激励的强迫振动tjeBx81简谐力激励的强迫振动特点1.系统对简谐激励的稳态响应是等同于激振频率而相位滞后于激振力的简谐振动。2.稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理参数（质量，刚度，阻尼）和激振力频率及力幅，而与系统进入运动的方式（初始条件）无关。令：KFB幅值放大因子：21222012)2()1(1tgBB220211KFB静位移动态响应振幅频响函数及特性曲线91.频响函数是指系统输出的Fourier变换与输入的Fourier变换之比2.频响函数在振动系统中是响应与激励的Fourier变换之比，表示响应与激励之间的幅值、相位关系随激振频率变化的规律fPfXfHPXH103.频响函数的特性曲线主要有：幅频特性、相频特性，实频图、虚频图Nyquist图：实部-虚部关系曲线系统幅频和相频曲线11和随的变化曲线12振幅类似静位移0,,1)3,,,,,1)21,,1)1000很小，0，同向900dd212max12121121212max当时，共振峰变平坦了。共振时，n相位有180度的突变，且90此时放大因子也称为品质因子21Q122220012,1(1)(2)BtgB2强迫振动的过渡过程13响应与稳态响应的叠加。可表示为下列两个方程的解的和：000,00xxxxkxxm解为：txtxtx000001sincos为系统对初始条件的响应方程100,00sin0xxtpkxxm方程2解为：tkptkptxsin11sin1200202其中：第一项为伴随激励产生的自由振动第二项为稳态强迫振动。1.无阻尼情况：14两个方程叠加的方程为：0000,0sinxxxxtpkxxmtxtxtx21全解为：2.有阻尼情况：0,00sin0xxxxtpkxxcxm利用分解得到：tBttBetxxtxetxdddtdddtsinsincossincossinsincos0000002强迫振动的过渡过程15式中右边的三项分别为系统在无激励时的自由振动，自由伴随振动及稳态强迫振动。其中：2122200200012,21,1,2,tgkpBmcmkd2强迫振动的过渡过程163.周期激励17线性迭加原理对周期激励的分析，是先对其进行谐波分析，将它分解为一系列不同频率的周期激励，然后得出系统对各个频率的简谐激励的响应，再根据线性系统的叠加原理，将各个响应进行叠加，既得到系统对周期激励响应。181920动量定理:速度发生突变位移来不及改变。系统的脉冲响应即初始位移为零，而初速度为的自由振动。m14.任意激励单位脉冲响应:000000,0010010mxcxkxtxxtdtmdxtdtmxdtmxmxxm4.任意激励21temthdtdsin10如果单位脉冲不是作用在t=0,而是t=，响应也应滞后。ttemthdtd,sin10单位脉冲响应:221.3多自由度振动•多自由度系统模型•质量阵和刚度阵•模态分析1.3.1多自由度振动模型例：轿车行使在路面上，会产生上下振动。要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。分析：人与车、车与轮胎、轮胎与路面存在运动耦合建模方法一：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑阻尼、弹簧优点：模型简单缺点：没有考虑人与车、车与轮胎、轮胎与路面间的影响。建模方法二：将车、人的质量分别考虑，并考虑各自的阻尼、弹簧优点：模型较为精确，考虑了人与车的耦合运动。缺点：没有考虑车与轮胎、轮胎与路面间的影响。建模方法三：将车、轮胎、人的质量分别考虑，并考虑各自的阻尼、弹簧优点：模型较为精确，考虑了人与车、车与轮胎、轮胎与路面间的相互耦合。问题：如何描述各个质量间的相互耦合效应？例1：双质量－弹簧系统受激振力，并不考虑各自的阻尼。建立系统运动方程。解：建立如图所示坐标系，原点取在各自静平衡位置。受力分析：1.3.2质量阵、刚度阵建立运动微分方程：矩阵形式：耦合写成如下形式：质量阵刚度阵位移向量加速度向量激励力向量如果系统有n个自由度，则各项为n维。4模态分析运动微分方程：自由（固有）振动方程：假设：代入上式，并左乘：常数a,b,均为常数由于M正定，K半正定：（1）正定系统：（2）半正定系统：1）正定系统主振动：有非零解的充要条件就是系数行列式为零。振动方程：主振动：频率方程，特征值，基频例：求固有频率和主振型解：动力学方程：令主振动：或：得：得第1、2、3阶主振动模态或振型图：第一阶：第二阶：第三阶：无节点：一个节点：两个节点：振动中保持不动的点，称为节点认识模态图：认识模态图：认识模态图：认识模态图：