解逐次检查公式是否精确成立

第四章数值积分与数值微分/*Chapter4NumericalIntegrationandnumericaldifferentiation*/近似计算badxxfI)(00()()()nbkkaknkkifxdxbafxAfx机械公式()()()2baabfxdxbaf矩形公式()[()()]2babafxdxfafb梯形公式4.1.数值积分概论1.数值积分的基本思想解：逐次检查公式是否精确成立代入P0=1：baabdx1]11[2ab=代入P1=x：=代入P2=x2：222abbadxx][2baab3233abbadxx][222baab代数精度=1例求代数精确度()[()()]2babafxdxfafb梯形公式如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。2.代数精度的概念思路利用插值多项式则积分易算。)()(xfxPn在[a,b]上取ax0x1…xnb，做f的n次插值多项式，即得到nkkknxlxfxL0)()()(babaknkkdxxlxfdxxf)()()(0AkbakjxxxxkdxAjkj)()(由决定，与无关。节点f(x)插值型积分公式/*interpolatoryquadrature*/bankkxnbanbanbankkkdxxxnfdxxRdxxLxfxfAdxxffR0)1(0)()!1()()()]()([)()(][误差3.插值型的求积公式定理1：形如的求积公式至少有n次代数精度该公式为插值型（即：）nkkkxfA0)(bakkdxxlA)(当节点等距分布时：ninabhhiaxi,...,1,0,,dxxxxxAnxxijjiji0)()(njiinnjidtjtininabdthhjihjt00)()!(!)1)(()()(令htaxCotes系数)(niC注：Cotes系数仅取决于n和i，可查表得到。与f(x)及区间[a,b]均无关。4.2Newton-Cotes牛顿-柯特斯公式()0nbniiaifxdxbaCfx牛顿-柯特斯公式Cotes系数表()1112214126661331388887162167490451545901925252525195288961441449628841993499416840352801052802584075135771323298929891323357775171728017280172801728017280172801728017280989588892882835028350283nknC10496454010496928588898950283502835028350283502835028350)1(0C)1(1C)2(0C)2(1C)2(2C)3(2C)3(0C)3(1C)3(3C)4(2C)4(0C)4(1C)4(3C)4(4C可查下表)(Cnk21,21)1(1)1(0CCn=1:Tbfafabdxxfba)]()([2)(n=2:61,32,61)2(2)2(1)2(0CCCSbffafabdxxfbaba)]()(4)([6)(2Simpson公式代数精度=3定理当阶n为偶数时，newton-cotes公式至少具有n+1次代数精确度.n=4:Cxfxfxfxfxfabdxxfba)](7)(32)(12)(32)(7[90)(43210Cotes公式求积公式的余项34(4)6(6)()()12()()18022()()()9454TscbaRfbabaRfbabaRf（2）10)(nknkC，无关，若令有关，而与及仅与插值次数因为1)()()(xfxfknCnk，公式nknkbaCNCabdx0)(1)(1。因此，10)(nknkCnkknkbaxfCabdxxf0)()()()()7.1()(nkCdtitknknCnnkniiknkn00)())(()!(!)1(1事实上，)())(()!(!)1(100zdiznknknnnkniikzntdzdtdzinzknknnnkniikn00}))(({)!(!)1(1(-1)n+k=(-1)n-k特点：)()((1)CnknnkCdtitknknCnnkiiknnk00)())(()!(!)1(1，即有积分公式总是精确成立次代数精度，对于由于积分公式至少有,1nabCotes系数特点：1.5Newton—Cotes公式的数值稳定性和收敛性收敛性截断误差数值稳定性舍入误差1、数值稳定性若某个求积公式的舍入设的近似值为，)(kxfnkxffkkkk,,1,0,||,)(所得数值积分为由近似值,,,1,0,nkfknkkkfA0是由实验或观察得到，是精确值，而中)()()()(0)(knknkknkxfCxfCab本身有误差。为，则称使若对误差nkkknkkkxfAMAE00)(ME,0为数值不稳定的。数值稳定的。否则称nkkkxfA0)(公式是稳定的；否则，若影响较大，则称为不稳定的。误差，即f(xk)的误差对数值积分的结果影响较小，则称该数值求积nkknkbaxfCabdxxf0)()()()()7.1(nkkknkkkAxfA00)(nkkkA0E误差以下推导说明Newton—Cotes公式的数值稳定性时，当||k的最大值为，从而因||0EAEnkkknkknkkkAAEk00||max||||max||)13.1(nknkCabE0)(max||)(||从而)()(nkkCabA||)(0)(nknkCab1||0)(nknkC)(ab时，当7n100)()(nknknkCC且)(||abE)(||)(||)(||0)(0)(maxabCabCabEnknknknk从而公式是数值稳定的。时，所以，当CNn7时，当8n有正有负，系数kA).(||)(||0)(maxnCabEnknk公式是数值不稳定的。CN2、收敛性是收敛的，否则称，则称若nkkknxfAfQnfR0)()()(0][为不收敛。banndxxLxfxfR))()()((][，时当不收敛到由于)(0)()(nxLxfn0][不收敛到因此fRn，时当)(n是不收敛的，即][fQ，采用分段因而，当节点比较多时插值。线性或Hermite现象Runge4.3复合求积公式高次插值不稳定，故采用分段低次插值分段低次合成的Newton-Cotes复合求积公式。复合梯形公式：),...,0(,nkhkaxnabhk在每个上用梯形公式：],[1kkxxnkxfxfxxdxxfkkxxkkkk,...,1,)]()([2)(111bankkkxfxfhdxxf11)]()([2)(11)()(2)(2nkkbfxfafh32112()[][()]()1212()(),(,)12nknkkkfhhRffbanhbafab复合Simpson公式：),...,0(,nkhkaxnabhk)]()(4)([6)(1211kkkxxxfxfxfhdxxfkkkx21kx1kx])()(2)(4)([6)(1010121nknkkkbabfxfxfafhdxxf=Sn)(2180][)4(4fhabfR222222222(),(,)12()(),(,)1221,41()3141()333nnnnnnnnnnnnbaIThfabbahITfabITITITTTTTTTTT令考察复合梯形公式，区间二分前后：4.4龙贝格求积公式/*RombergIntegration*/22211611615156416363nnnnnnISISSISICCSimpson公式Cotes公式理查森（Richardson）外推法24212()[,],(),(1,2,)定理设则有其中系数与无关.lllfxCabThIhhhlh2421246112112(1)2(2)12()(),241624()()2()3,41()()(),24141()于是令得到外推公式llmmmmmmmmmhhhhTIhTThThIhhhThTThThIhh理查森外推加速方法bankkkxfAdxxfx0)()()(构造具有2n+1次代数精度的求积公式将节点x0…xn以及系数A0…An都作为待定系数。令f(x)=1,x,x2,…,x2n+1代入可求解，得到的公式具有2n+1次代数精度。这样的节点称为Gauss点，公式称为Gauss型求积公式。例：求的2点Gauss公式。dxxfx)(10解：设，应有3次代数精度。101100)()()(xfAxfAdxxfx代入f(x)=1,x,x2,x331130092211200721100521032xAxAxAxAxAxAAA2776.03891.02899.08212.01010AAxx不是线性方程组，不易求解。4.6高斯求积公式§3.5GaussianQuadrature证明：“”x0…xn为Gauss点,则公式至少有2n+1次代数精度。bankkkxfAdxxfx0)()()(对任意次数不大于n的多项式Pm(x)，Pm(x)w(x)的次数不大于2n+1，则代入公式应精确成立：nkkkmkbamxwxPAdxxwxPx0)()()()()(0=0“”要证明x0…xn为Gauss点，即要证公式对任意次数不大于2n+1的多项式Pm(x)精确成立，即证明：nkkmkbamxPAdxxPx0)()()(设)()()()(xrxqxwxPmbababamdxxrxdxxqxwxdxxPx)()()()()()()(0nkkkxrA0)(nkkmkxPA0)(x0…xn为Gauss点与任意次数不大于n的多项式P(x)（带权）正交。nkkxxxw0)()(定理求Gauss点求w(x)再解上例：101100)()()(xfAxfAdxxfxStep1：构造正交多项式2设cbxxxaxxx2210)(,)(,1)(53a0)(10dxaxx0),(101021102200))(53(0),(0)(0),(dxcbxxxxdxcbxxx215910cb即：215910)(22xxx§3.5GaussianQuadratureStep2：求2=0的2个根，即为Gauss点x0，x1221/20)9/10(9/1021;0xStep3：代入f(x)=1,x以求解A0，A1解线性方程组，简单。结果与前一方法相同：2776.0,3891.0,2899.0,8212.01010A