交通流理论与方法---排队论概要

第六章排队理论及应用组员：曹光辉刁含楼张磊•6.1概述•6.2排队论的基本概念•6.3排队过程分析•6.4交叉口延误模型•6.5道路的排队模型6.1概述排队论也称随机服务系统，是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列即排队现象以及合理协调“需求”与“服务”关系的一种数学理论，亦称“随机服务系统理论”。它将交叉口看成一个服务台，将车流看成是受服务的对象，车辆服从先到先服务原则。6.2排队理论的基本概念•6.2.1“排队”与“排队系统”“排队”单指等待服务的顾客（车辆或行人），不包括正在被服务的顾客；而“排队系统”既包括了等待服务的顾客，又包括了正在被服务的顾客。•6.2.2排队系统的组成部分1．输入过程就是指各种类型的顾客按怎样的规律到来。常见的有如下几种服务过程：（1）定长输入——顾客等时距到达。（2）泊松输入——顾客到达符合泊松分布或顾客到达时距符合负指数分布过程，这种分布最容易处理，因而应用最广泛。（3）爱尔朗输入——顾客到达时距符合爱尔朗分布。2．排队规则指到达的顾客按怎样的次序接受服务。常见的有以下几种排队规则：（1）损失制——顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不再来。（2）等待制——顾客到达时，若所有服务台均被占，它们就排成队伍，等待服务。服务次序有先到先服务（这是最通常的情形）和优先服务（如急救车、消防车等）等多种规则。（3）混合制——顾客到达时，若队长小于某一定值L，就排入队伍等候；若队长等于L，顾客就离去，永不再来。3．服务方式指同一时刻有多少服务台可接纳顾客，为每一顾客服务了多少时间。每次服务可以接待单个顾客，也可以成批接待，例如公共汽车一次就装载大批乘客服务时间的分布主要有以下几种：（1）定长分布服务——每一顾客的服务时间都相等。（2）负指数分布服务——各顾客的服务时间相互独立，服从相同的负指数分布。（3）爱尔朗分布服务——各顾客的服务时间相互独立，服从相同的爱尔朗分布。•引入下列记号：令M代表泊松输入或负指数分布服务，D代表定长输入或定长服务，代表爱尔朗输入或服务。G代表任意服务时间。于是，泊松输入、负指数分布服务，N个服务台的排队系统可以定成M/M/N。如果不附其说明，则这种记号一般都指先到先服务、独个顾客服务的等待制系统。KE6.2.3排队系统的主要数量指标排队系统最重要的数量指标有三个，分别为等待时间、忙期和队长。1．等待时间从顾客到达时起至开始接受服务时为止的这段时间。2．忙期服务台连续繁忙的时期，这关系到服务台助工作强度。3．队长有排队顾客数与排队系统中顾客数之分，这是排队系统提供的服务水平的一种衡量。6.3排队过程分析6.3.1M/M/1系统M/M/1系统为服从泊松输入、负指数分布服务，单个服务台的排队系统。由于M/M/1系统排队等待接受服务的通道只有单独一条，也叫“单通道服务”系统，见图6.1。图6.1单通道服务系统示意图设顾客平均达到率为，则到达的平均时距为1/。排队从单通道接受服务后通过的平均服务率为，则平均服务时间为1/。比率叫做服务强度或交通强度或利用系数，可确定各种状态的性质。所谓状态，指的是排队系统的顾客数。如果1，并且时间充分，每个状态都按一定的非零概率反复出现。1时，任何状态都是不稳定的，而排队的长度将会变得越来越长。因此，要保持稳定状态即确保单通道排队能够消散的条件是1。（1）在系统中没有顾客的概率（6.1）（2）在系统中有M个顾客的概率=（6.2）（3）系统中的平均顾客数（6.3）（4）系统中顾客数的方差（6.4）01pPn1n1n21（5）平均排队长度（6.5）（6）非零平均排队长度（6.6）（7）排队系统中的平均消耗时间（6.7）（8）排队中的平均等待时间（6.8）例题P1171wdnd111wqnnq.126.3.2M/M/N系统在M/M/N排队系统中，服务通道有N条，所以也叫“多通道服务”系统。设为进人多通道服务系统顾客的平均到达率，排队行列从每个服务台接受服务后的平均输出率为，则每个服务的平均服务时间为1/。仍记=/，/N则称为M/M/N系统的服务强度或交通强度或利用系数，亦可称为饱和度。和M／M／1相仿，当/N1时，系统是稳定的；/N1时，系统的任何状态都是不稳定的，排队长度将趋向于无穷大。M/M/N系统根据顾客排队方式的不同，又可分为：1.单路排队多通道服务：指排成一个队等待数条通道服务的情况，排队中头一顾客可视哪个通道有空就到那里去接服务。系统中没有顾客的概率为（6.9）系统中有k个顾客的概率为（6.10）10/1!!1)0(NkNkNNkp.(0),!().(0),!kkkNpkNkPkpkNNN系统中的平均顾客数为（6.11）平均排队长度有（6.12）系统中平均消耗的时间为（6.13）排队中的平均等待时间为21)/1()0(.!NPNNnNnqnqd1qw（6.14）2.多路排队多通道服务每个通道各排一个队，只为其相应的一队顾客服务，顾客不能随意换队，这种情况相当于有N个M/M/1系统组成的系统。其计算公式亦由M/M/1系统的计算公式确定。由P120的例题，可以看出M/M/N系统比N个M/M/I有优越性，因为M/M/N系统较为灵活，排在第一位的车辆可视哪个服务台有空就到哪个服务台，避免了各服务台忙闲不均的情形，充分发挥了他们的服务能力，因而显得优越。6.3.3一般服务时间的M/G/1排队模型1.M/G/1/排队系统假设服务时间μ的期望E(μ)和D(μ)存在，服务强度ρ=E(μ)1，可以用布拉切克—辛钦（P-K）公式及里特公式求出系统运行指标：（6.15）（6.16）（6.17）（6.18）其中，Ls的计算公式称做P-K公式，只要知道服务时间μ的期望和方差，不管μ是服从什么分布，都可以求出系统的运行指标。2.M/D/1排队系统M/D/1系统是M/G/1系统的一种特殊情形，表示泊松输入、定长服务时间以及系统容量和顾客源均无限制的单服务台排队系统。这里的服务时间μΞE(μ),D(μ)=0,由P-K公式可得若记E(μ)=1/μ,则有均为标准的M/M/1系统相应运行指标的一半，可见系统内部越有规律越省时间。3.M/Ek/1排队系统本系统的服务时间μ服从k阶爱尔郎分布。其实际背景是服务机构由k个串联的服务台组成，顾客为接受服务必须经过全部k个服务台。每个服务台的服务时间μi均服从参数为kμ的负指数分布，则总共服务时间便服从爱尔朗分布，且，由P-K公式有6.3.4服务率可变的单通道车辆排队模型以上情况都是假设服务机构服务率是固定的，在现实中服务机构的服务率也可能随着车辆的排队长度而变化，可以使动态的，排队车辆较多时服务率也就适当提高。下面将介绍这累服务率可变的单通道车辆排队模型。假定有单通道的随机服务模型，到达系统的车辆流是参数为λ的泊松流，服务时间服从负指数分布，而服务率随系统的队长K变化，记作μk,μk可按实际取不同的值。设系统在时刻t有n辆车，我们就称系统的状态为n，同时记系统在时刻t状态为n的概率为Pn(t)，它决定了系统运行的特征。（1）系统中参数指标①排队系统的平均服务强度。由于服务率是变化的所以1/μk也是可变的，先求平均服务时间于是②系统中车辆的平均数（6.20）③系统中排队等待的车辆数（6.21）④车辆在系统中平均停滞的时间（6.22）⑤车辆在系统中排队等待的时间（6.23）（6.19）（2）一种特殊的可变服务率车辆排队系统这个排队系统的特殊在于当排队长度超过某个数(n)时，用快速服务率μ2，反之用普通服务率μ1。这种系统的参数指标如下①系统中车辆的数Ls②系统中排队等待的车辆数（6.25）③车辆在系统中停滞时间（6.26）④车辆在系统中排队时间（6.27）P127对例题计算的表中的比较可以看出，该理论与M/M/1系统相比，系统中的排队车辆数、车辆平均等待时间都降低了，大大提高了收费站的服务水平。（6.24）•交叉口的问题处理分两个组成部分：•①管制形式（停车标志，让路标志，定时信号或动车信号）•②控制成分（车辆或行人）6.4交叉口的延误模型6.4.1信号交叉口延滞模型在估计交叉口的延滞时，交通量均可看成是由当量的若干小客车所组成。阿尔索普（Allsop,R.E)提出应用下列符号：c=周期时间（s）;g=有效绿灯时间（s）;r=有效红灯时（s）q=入口通道上车辆平均到达率（小客车/s）I=在一个信号周期内以当量小客车单位计的到达数方差／在一个信号周期以内以当量小客车单位计的到达数的平均值s=入口通道上饱和交通流量（当量小客车，veh/s）;d-入口通道上当量小客车平均延滞（s）=溢流交通量（pcu/s)；λ=g/c（即有效绿灯占周期的百分比）；y＝q/s（即，平均到达串和饱和交通量之比）；x＝qc／gs（即，每周期平均到达数与每周期最大离去数之比）。这样和,比值x称为入口饱和度和y称为入口流率。0Qrgcxy有效绿灯时间：周期中等候在入口的车辆，假定以当量小客车为单位，以恒速通过信号的时间。格林希尔兹等人，在研究一队n辆停着的汽车，通过交通信号的总时间，提出如下计算公式：当n≥5，总时间＝14.2+2.1(n-5)秒要是所有车辆在饱和率s(1／2.1)时离去，前五辆汽车须要有10.5秒，即有效绿灯时间是绿灯信号时间减去3.7秒，虽然有效绿灯时间可以调整适应于车辆具体运行条件，但是在大多数研究中均假设排队等候的车辆可以利用黄灯的净时隙。在入口上，一辆小客车到达时间和离去时间的意义，可以参考图6.6来说明。图中画了四辆汽车每辆的距离一时间曲线。AB表示车辆通过没有延滞，PQ线表示停车线，有排队时第一辆车停在那里等候。CDEF表示第一辆车由于信号延滞的的轨迹。图6.6假设的到达和离去时间定义说明图直线部分CD和EF平行于AB两线延长分别与PQ相交于X和Y，所以长度XY就是第一辆汽车的延滞，同样和分别为后面两辆汽车的延滞，X和分别为到达车辆的车头时距。XYYXXXX1、定时信号的连续型模型梅(May)提出了一个连续型模型的表达式，列于图6.7。垂直轴表示到达的累积车辆qt,水平轴表示时间t。情况Ⅰ表示绿灯间隔内的通行能力超出绿灯+红灯时间到达数的情况。情况Ⅱ是关于在绿灯期内驶出的车辆等于绿灯加红灯期内到达车辆的情况。在图6.5中垂直距离ca。表示自从信号进入红灯相位后积累的车辆数目，水平距离ab表示任何指定的车辆从到达到离去的总时间。对于以上两种情况的公式可以从简单的几何关系推导出：（1）显然对于任何给定周期，在绿灯开始时间后，到达车辆等于离去车辆：（6.44）令y=q/s(6.45)（2)周期和排队之比,等于排队时间／周期长度：（6.46）(3)停止车辆的百分数等于停歇的车辆／每个周期的总车辆数：（6.47）0t00qrtst0/1tyry0/qprtc00//pqrtqrgtyc（4)通过现察可见排队的最大车辆数是红灯开始后，单位处三角形的高:（6.48）(5)在整个周期长度（c）内排队车辆的平均数：由此得出：（6.49）(6)总的延滞车辆小时是根据三角形面积得出：（6.50)(7)个别延滞的平均值是根据总的延消除以车辆数目：(6.51)（8）个别车辆延滞的最大值可以根据图6.7得出：（6.52）0000/2/20qrrqrtgtQrtgtmQqr0//2Qrtcqr20/2/2/1/21Dqrrtqrryqry2212121qrrdyqccy6-7在有信号灯的交叉口的排队现象mdr不适用于离去车辆sc小于到达车辆qc2、定时信号的概率模型温斯顿和其同