典型周期信号的频谱

第三次作业点评：p85,2-18)(2)(3)(2)(3)(2)(6)()(2)(2333ttetetetetuedttdetuetetttt＝解：)(21)()()(3)()(2)(3)](2)(3[))((22tuethtuetrtthtrtteHdttdeHtt§3.3典型周期信号的频谱一.周期矩形脉冲信号的频谱分析)(tf{E02211nTtnT2)1(211TntnT22T1.求f(t)的复数振幅和展开成傅立叶级数P90(3-5))cos()(110tncctfnndteETdtetfTctjnTTtjnTTn1122222)(2]22sin[211nnTE上式中n=0，则为不定式利用罗必塔法则TEnnTEcn]22sin[2lim211100]cos22sin21[)(11111tnnnTEtfnT21ntjnennTEtf122sin)(112.画频谱图由复振幅nc的表达式可知，频谱谱线顶点的联线所构成的包络是xxsin的形式----称为抽样函数。1.找出谐波次数为零的点（即包络与横轴的交点）包络线方程为22sin2TEcn与横轴的交点由下式决定：022sin即：3,2,2m264203,2,120fff若这些频率恰好基波频率恰好是基波频率的整数倍，则相应的谐波为零。TTTTfff3,2,010所以，包络线与横轴的交点应满足两个条件：一是谐波条件。二是谐波为零的条件。2.粗略求出各次谐波的振幅值由的表达式可知：nC当31T时，最大值为ETE322即当31T时，第一个零点内含有二条谱线，依次类推，就大致画出了振幅频谱图。nCE322413f16f123.相位的确定T21代入nC可知)104103(sin21pTnnECn1TnnC1Tn当角度在第一、二象限时为正实数即相位为零。nC当角度在第三、四象限时为负实数即相位为二.结论1.离散性2.谐波性3.收敛性1.频谱是离散的,两谱线间的距离为T212.由TEC0知,当E变大时,变大.则各次谐波的幅度愈大.T变大,则谐波幅度愈小.3.当mn21或21mn时，谱线的包络经过零值。4.频带问题(p164.3-17)a.对于单调衰减的信号，把零频率到谐波幅度降到最大值十分之一的那个频率间频带，称为信号的带宽1011fb.对于周期过零的信号常认为包络线第一个零点以上的谐波可以忽略不计.1f三.1T的比值改变时，对频谱结构的影响。P105.图(3-11)和p106.图（3－12）1.T不变，变即谱线的疏密不变不变，不变，11.Ta的收敛速度变慢则ncb,.包线的零值位置不变不变，不变，谱线密集变时不变，2.,,..21bTaT构会发生什么变化呢？时，时域波形和频谱结Tc.§3.4非周期信号的频谱分析-----傅立叶变换一.问题的提出1.从物理概念考虑：信号的能量存在，其频谱分布的规律就存在。2.从数学角度来看：221)(2limTTtjnTndtetfTCntjnneCtf121)({无限多个无穷小量之和仍可等于一个有限量。结论：信号的频谱分布是不会随着信号的周期的无限增大而消失的。T时，信号的频谱分布仍然存在。二.频谱密度函数1.定义：令)2(lim2lim)(110TCTCjFnnTdtetfCTaTTtjnTnT221)(lim2lim.b.这样定义能确切的反映信号的频谱分布特性。各个频率分量振幅之间的相对比例关系是固定不变的。2.几点说明)(.jFa代表了信号中各频率分量振幅的相对大小。b.各频率分量的实际振幅为dF|)(|是无穷小量。C.具有单位角频率振幅的量纲。)()(|)(|)(.)(jbaejFjFdj)()(|)(|22bajF)()()(abarctg为为的相位。的振幅。)(jF)(jF)(jF且|)(|jF和)(a为的偶函数。)(和)(jb为的奇函数。补充：复数谱（又称为幅相频谱）复数谱的图形通常用横轴表示实部，纵轴表示虚部。频率作为参变数，给定一个频率值，便可得到曲线上一点。设tTeTktf1)(dteeTkjFtjtT1)()1(22)1(1TarctgeTTkTjk)(b0)(aK21)()(111)(2222jbaTTKjTKTjKjF1])()([)()()(2abKaTab0)()()(22Kaba222)2()(]21)([KbKa三.非周期信号的频谱分析----傅立叶变换1.由傅立叶级数到傅立叶积分2211)(221)(TTtjnnntjnndtetfTCeCtf当时T111,,0,nnddtetfdtetfTCjFtjTTtjnTnT)()(lim2lim)(221122221lim)(1TTeTCtftjnnnT当T时1,2ndTdtetfjFdeFtftjtj)()()(21)(反变换正变换2.几点说明：a.正变换给出了非周期信号的频谱的数学表达式。时间函数f(t)可以表示为频率在区间)(内的指数函数的连续和。傅立叶变换提供了信号的频率描述和时间描述之间相互变换的工具。正变换通常叫做分析运算，反变换通常叫做综合运算。B.关于连续谱的说明具有离散频谱的信号，其能量集中在一些谐波分量中。具有连续频谱的信号，其能量分布在所有的频率中，每一频率分量包含的能量则为无穷小量。3.傅立叶积分的三角形式dtFjdtFdeeFdejFtftjjtj)(sin[|)(|21)(cos[|)(|21|)(|21)(21)()(非周期信号：周期信号：0)](cos(|)(|1)(dtFtf)cos()(10nnntnCCtf周期信号与非周期信号都可以分解为许多不同频率的正弦分量。对周期信号，是用实际振幅对非周期信号，是用密度函数nC)(jF作出的。作出的。四.傅立叶积分的其他形式dejFatfdtetfajFtjtj)()()()(21只要2121aa1,212121,1212121aaaaaa{dfefFtfdtetffFftjftj22)()()()(在最近的科技书中比较通用的形式有：五.傅立叶变换的存在)(jF存在的充分条件：dttfdttf)(|)(|dtetfdtetfjFtjtj|||)(||)(||)(|1||tje由知而dttfF|)(||)(|傅立叶变换存在的充分条件是：dttf|)(|存在。六.周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比1.它们都具有抽样函数的形式。xxsin2.22sin2111nnTECn和22sin)(EjFA.值较)(jF值多乘了T2这是由于两者的定义规定的。B.nCnC中的不连续变量1n在)(jF中变成了连续变量C.由非周期脉冲按一定的周期T重复后构成的周期信号.)(jF和nC之间可以互求。3.非周期信号的频谱也具有收敛性。脉宽的定义方法与周期信号相同。§3.5§3.6§3.9作业:p163.3-15,3-19预习证明：当全波和半波两个对称条件都满足时，求傅立叶级数的系数只要对四分之一波形积分即可。（半波对称）（全波对称）)2()()()(Ttftftftf40cos)(8TntdtntfTa证：)(cos)(2cos)(2cos)(2cos)(202200222TTTTTnttdntfTtdtntfTtdtntfTtdtntfTaTtdtntfT20cos)(2)()(tftf)2()()()(Ttftftftf20cos)(4TtdtntfT2440cos)(4cos)(4TTTtdtntfTtdtntfT)2()2cos()2(4cos)(40440TtdTtTtfTtdtntfTTT0440]sinsincos)[cos(4cos)(4TTdtntnntntfTtdtntfT取偶数）ntdtntfTtdtntfTTT(cos)(4cos)(404400440)()(cos)(4cos)(4TTtdtntfTtdtntfT＝404040cos)(8cos)(4cos)(4TTTtdtntfTtdtntfTtdttfT