2019届高考数学二轮复习专题二导数第2讲函数的单调性学案2019021534

1。第2讲函数的单调性1.导数是研究函数性质的重要工具，利用导数研究函数的单调性不仅能直接得出有关结论，同时还能根据性质描绘出函数图象的大致变化趋势，有助于解决问题．2.函数的单调性研究往往作为试题的一部分，可以研究其单调区间，也可以通过单调性来求参数的值或者范围．1.(2017·常州前黄中学月考)函数y＝x－2sinx在(0，2π)内的单调增区间为________．答案：(π3，5π3)解析：令y′＝1－2cosx＞0，因为x∈(0，2π)，解得x∈(π3，5π3)．2.(2017·苏州张家港暨阳中学月考)函数f(x)＝xlnx的减区间是________．答案：(0，1e]解析：由题意得函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋lnx，令f′(x)＝1＋lnx≤0，得x≤1e，故函数f(x)的减区间为(0，1e]．3.若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是________．答案：[1，＋∞)解析：依题意得f′(x)＝k－1x≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥1x在(1，＋∞)上恒成立．∵x1，∴01x1，∴k≥1.4.(2018·九江模拟)已知函数f(x)＝12x2＋2ax－lnx，若f(x)在区间[13，2]上是增函数，则实数a的取值范围是________．答案：43，＋∞解析：f′(x)＝x＋2a－1x≥0在13，2上恒成立，即2a≥－x＋1x在13，2上恒成立．因为－x＋1xmax＝83，所以2a≥83，即a≥43.,一)求不含参数的函数的单调性,1)(2018·常熟中学月考)已知函数f(x)＝lnx－bx＋c，f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y＋4＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调区间．解：(1)f′(x)＝1x－b，所以f′(1)＝1－b.2又f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故1－b＝－1，b＝2.将(1，f(1))代入方程x＋y＋4＝0，得1＋f(1)＋4＝0，解得f(1)＝－5，所以f(1)＝－b＋c＝－5，将b＝2代入，得c＝－3，故f(x)＝lnx－2x－3.(2)依题意知x＞0，f′(x)＝1x－2.令f′(x)＞0，得0＜x＜12，再令f′(x)＜0，得x12，故函数f(x)的单调递增区间为0，12，单调递减区间为12，＋∞.点评：利用导数求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(或＜0)解出相应的x的取值范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数.一般需要通过列表，写出函数的单调区间．已知函数f(x)＝x4＋ax－lnx－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．解：(1)对f(x)求导，得f′(x)＝14－ax2－1x(x0)，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x，知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝54.(2)由(1)知f(x)＝x4＋54x－lnx－32，则f′(x)＝x2－4x－54x2，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0，5)时，f′(x)0，故f(x)在(0，5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．,二)讨论函数的单调性,2)设函数f(x)＝13x3－a2x2＋1.(1)若a0，求函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．解：(1)由已知得f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a0)．当x∈(－∞，0)时，f′(x)0；当x∈(0，a)时，f′(x)0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)0.所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调减区间为(0，a)．(2)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋20成立，3即x∈(－2，－1)时，a(x＋2x)max＝－22，当且仅当x＝2x，即x＝－2时等号成立．所以满足要求的实数a的取值范围是(－∞，－22)．设函数f(x)＝ax2－a－lnx，其中a∈R，讨论f(x)的单调性．解：由题意得f′(x)＝2ax－1x＝2ax2－1x(x0)．当a≤0时，f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a0时，由f′(x)＝0得x＝12a，当x∈(0，12a)时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x∈(12a，＋∞)时，f′(x)0，f(x)单调递增．,三)利用函数的单调性求参数,3)已知函数f(x)＝12x2＋(a－3)x＋lnx．若函数f(x)是定义域上的单调函数，求实数a的最小值．解：f′(x)＝x＋a－3＋1x(x0)．若函数f(x)在(0，＋∞)上递增，则f′(x)≥0对x0恒成立，即a≥－(x＋1x)＋3对x0恒成立，而当x0时，－(x＋1x)＋3≤－2＋3＝1，所以a≥1.若函数f(x)在(0，＋∞)上递减，则f′(x)≤0对x0恒成立，即a≤－(x＋1x)＋3对x0恒成立，这是不可能的．综上，a≥1.故a的最小值为1.点评：已知单调性求解参数范围的步骤：(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f′(x)；(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常数函数，要舍去此参数值．(2018·武汉调研)已知函数f(x)＝xlnx.(1)若函数g(x)＝f(x)＋ax在区间[e2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；(2)若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥－x2＋mx－32恒成立，求实数m的最大值．解：(1)由题意得g′(x)＝f′(x)＋a＝lnx＋a＋1.∵函数g(x)在区间[e2，＋∞)上为增函数，∴当x∈[e2，＋∞)时，g′(x)≥0，即lnx＋a＋1≥0在[e2，＋∞)上恒成立．∴a≥－1－lnx.令h(x)＝－lnx－1，∴a≥h(x)max，当x∈[e2，＋∞)时，lnx∈[2，＋∞)，∴h(x)∈(－∞，－3]，∴a≥－3，即a的取值范围是[－3，＋∞)．(2)∵2f(x)≥－x2＋mx－3，即mx≤2xlnx＋x2＋3，4又x＞0，∴m≤2xlnx＋x2＋3x在x∈(0，＋∞)上恒成立．记t(x)＝2xlnx＋x2＋3x＝2lnx＋x＋3x.∴m≤t(x)min.t′(x)＝2x＋1－3x2＝x2＋2x－3x2＝（x＋3）（x－1）x2，令t′(x)＝0，得x＝1或x＝－3(舍去)．当x∈(0，1)时，t′(x)＜0，函数t(x)在(0，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，t′(x)＞0，函数t(x)在(1，＋∞)上单调递增．∴t(x)min＝t(1)＝4.∴m≤t(x)min＝4，即m的最大值为4.,四)利用单调性解综合问题,4)已知函数f(x)＝lnx－12ax2＋(1－a)x，其中a∈R，f′(x)是f(x)的导数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)在曲线y＝f(x)的图象上是否存在两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)使得直线AB的斜率k＝f′(x1＋x22)？若存在，求出x1与x2的关系；若不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f′(x)＝1x－ax＋(1－a)＝－ax2＋（1－a）x＋1x(x0)．当a≤0时，因为x0，所以f′(x)0，f(x)在定义域(0，＋∞)上是增函数；当a0时，f′(x)＝－ax2＋（1－a）x＋1x＝－a（x－1a）（x＋1）x，所以当x∈(0，1a)时，f′(x)0，f(x)在(0，1a)上单调递增，当x∈(1a，＋∞)时，f′(x)0，f(x)在(1a，＋∞)上单调递减．(2)由题意，得k＝y1－y2x1－x2＝[lnx1－a2x21＋（1－a）x1]－[lnx2－a2x22＋（1－a）x2]x1－x2＝lnx1x2－a2（x21－x22）＋（1－a）（x1－x2）x1－x2＝lnx1x2x1－x2－a2(x1＋x2)＋(1－a)，f′(x1＋x22)＝2x1＋x2－a2(x1＋x2)＋(1－a)．由k＝f′(x1＋x22)，得lnx1x2x1－x2＝2x1＋x2，即lnx1x2＝2（x1－x2）x1＋x2，5即lnx1x2－2（x1x2－1）x1x2＋1＝0，令t＝x1x2，不妨设x1x2，则t1，记g(t)＝lnt－2（t－1）t＋1＝lnt＋4t＋1－2(t1)，g′(t)＝1t－4（t＋1）2＝（t－1）2t（t＋1）20，所以g(t)在(1，＋∞)上是增函数，g(t)g(1)＝0，则方程g(t)＝0无实数解，故满足条件的两点A，B不存在．(2018·苏锡常镇调研(一))已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，g(x)＝lnx．若b＝－3，且函数y＝f(x)在区间(－1，1)上是单调递减函数．(1)求实数a的值；(2)当c＝2时，求函数h(x)＝f（x），f（x）≥g（x），g（x），f（x）g（x）的值域．解：(1)因为f(x)＝x3＋ax2－3x＋c在区间(－1，1)上单调递减，所以f′(x)＝3x2＋2ax－3≤0对x∈(－1，1)恒成立．因为二次函数y＝3x2＋2ax－3的图象是开口向上的抛物线，所以等价于f′（－1）＝－2a≤0，f′（1）＝2a≤0，解得a＝0.(2)由(1)得f(x)＝x3－3x＋2，f′(x)＝3x2－3.易得f(x)在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f(x)min＝f(1)＝0.当0x1时，f(x)0，g(x)＝lnx0，此时f(x)g(x)．所以在0x1上，h(x)＝f(x)的值域为(0，2)．当x≥1时，f(x)和g(x)的值域均为[0，＋∞)，所以h(x)的值域也是[0，＋∞)．因为(0，2)∪[0，＋∞)＝[0，＋∞)，所以函数h(x)的值域是[0，＋∞)．1.函数f(x)＝x＋2cosx，x∈(0，π)的单调减区间是________．答案：π6，5π6解析：∵函数f(x)＝x＋2cosx，由f′(x)＝1－2sinx0，得sinx12.∵x∈(0，π)，∴x∈π6，5π6，∴函数f(x)＝x＋2cosx的单调减区间是π6，5π6.2.若函数f(x)＝x－13sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．答案：[－13，13]解析：对函数f(x)求导得f′(x)＝1－23cos2x＋acosx＝－43cos2x＋acosx＋53.因为函数f(x)在R上单调递增，所以f′(x)≥0，即－43cos2x＋acosx＋53≥0恒成立．设t＝cosx∈[－1，1]，则g(t)＝4t2－3at－5≤0在[－1，1]上恒成立，所以有g（－1）＝4×（－1）2－3a×（－1）－5≤0，g（1）＝4×12－3a×1－5≤0，6解得－13≤a≤13.3.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x0时，xf′(x)－f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是________．答案：(－∞，－1)∪(0，1)解析：设函数g(x)＝f（x）x，则g′(x)＝xf′（x）－f（x）x2.因为当x0时，xf′(x)－f(x)0，所以当x0时，g′(x)0，所以g