数列-数列中的开放型试题：

数列中的开放型试题：（一）存在型：1.已知等比数列{an}的各项为不等于1的正数，数列{bn}满足：2logkannb(k0且k≠1)，设b4=17，b7=11，(1)数列{bn}的前多少项和最大，最大值为多少？(2)设cn=nb2(n∈N)，Sn=c1+c2+……+cn，求252limnnS的值？(3)试判断是否存在自然数M，使当nM时，an1恒成立，若存在，求出相应的M；若不存在，请说明理由？2.已知数列{an}是首项为2，公比为21的等比数列，Sn为前n项的和，(1)用Sn表示Sn+1？(2)是否存在自然数n和k，使21cScSkk成立？（二）探索型：1.已知Sn=12+22+……+n2(n∈N)，考察Sn，不容易发现规律，而Tn=1+2+……+n=21n(n+1)是我们熟知的，不妨把它们作对比分析：N12345Tn1361015Sn15143055nnTS先完成上述表格，预测Sn的表达式，并加以证明。2.设f(k)是满足不等式：12loglog)23(221kxxk(k∈N)的自然数x的个数，(1)求f(n)(n∈N)的解析式？(2)设Sn=f(1)+f(2)+……+f(n)(n∈N)，求Sn？(3)设Pn=2n+n2-6n(n∈N)，试比较Sn与Pn的大小？3.已知数列{an}是等差数列，cn=(an)2-(an+1)2(n∈N)，(1)证明：数列{cn}也是等差数列，(2)如果a1+a3+a5+……+a25=130，a2+a4+a6+……+a26=143-13k（为常数），试写出数列{cn}的通项公式？(3)在(2)中，若数列{cn}的前n项和为Sn，问：是否存在这样的k，使Sn当且仅当n=12时，取得最大值，若存在，确定k的范围，若不存在，说明理由？4.给定抛物线：x2=y，过原点作斜率为1的直线交抛物线于点P1，然后过点P1作斜率为21的直线交抛物线于点P2，再过点P2作斜率为41的直线交抛物线于点P3，……，如此继续下去，一般地，过点Pn作斜率为n2的直线交抛物线于点Pn+1，设点Pn(xn，yn)n∈N(1)求x2n+1n∈N？(2)判断点列P1，P3，P5，……，P2n+1，……向哪一点无限接近？5.已知函数发f(x)=a·bx的图象经过点A(4,0.25)和B(5,1)。(1)求函数f(x)的解析式？(2)记an=)(2lognf，n是正整数，Sn是数列{an}的前项和，解关于n的不等式an·Sn≤0？(3)对于(2)中的an与Sn，整数104是否为数列{an·Sn}中的项？若是，求出相应的项数；若不是，则说明理由？（三）阅读理解型：1.对于正数P1，P2……Pn(n∈N)，称nPPPn11121为它们的调和平均数。现已知数列{an}的通项公式an=12)1(nnn(n∈N)，且数列第n项an是数列{bn}中前n项的调和平均数，(1)求数列{bn}的通项公式？(2)计算nnnba2lim？(3)求数列{nnba2}中数值最大、最小的项？2/(1)已知数列：1，2，5，10，17，……观察从第二项起每一项减去前一项所得差的规律，写出它的第六项a6？(2)已知数列：3，5，10，18，29，……按上述规律写出它的第六项b6？(3)象上述(1)，(2)所给的数列叫作二阶等差数列，请根据(1)，(2)的规定，写出二阶等差数列的定义？(4)已知数列{cn}是二阶等差数列，它的前三项依次为：c1，c2=c1+b，c3=c1+2b+d，试求它的通项公式cn？（四）应用型：1.银行贷款给某企业50万元，允许其每年还一次，分10次还清，每次还款数目相同，若贷款利率以每年10℅计算，试问：该企业每次应还款多少元？2.某地现有居民住房总面积为am2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10℅的住房增长率建设新住房，(1)如果10年后该地住房总面积正好比现在翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少？（1.110≈2.6）(2)经过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少？（保留到小数点后第一位）3.某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1至n排序，第1位职工得奖金b/n元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金。(1)设ak(1≤k≤n)为第k位职工所得奖金额，试求a2、a3，并用k、n和b表示ak（不必证明），(2)证明akak+1，(k=1,2,……,n-1)，并解释此不等式关于分配原则的实际意义？(3)发展基金与n和b有关，记为Pn(b)，对常数b，当n变化时，求)(limbPnn？