电影院座位设计问题

电影院座位设计问题一、问题的提出下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β。视角α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，α越大越好；仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求β不超过o30。设影院屏幕高h,上边缘距地面高H，地板线倾角θ，第一排和最后一排座位与屏幕水平距离分别为d和D,观众平均坐高为c（指眼睛到地面的距离）。已知参数h=1.8，H=5，d=4.5，D=19，c=1.1（单位：m）。(如图所示)(1)地板线倾角θ＝o10，试问最佳的座位在什么地方。(2)求地板线倾角θ（一般不超过o20），使所有观众的平均满意程度最大。(3)地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。二、问题的分析观众在电影院观赏电影，感觉是否满意不仅取决于电影的精彩与否，而且还取决于座位设计的舒适程度.座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实的问题.根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角和仰角.经调查可知这两者都要满足一定的条件.但在实际生活中又不可能同时满足，只能在二者兼顾的条件下求出使平均满意度最大的那种情况.根据题意很容易得知和的正切值呈递减趋势，这对问题的解决很有帮助.下文针对题目提出的三个问题逐一进行分析.针对问题1：为方便求解，可以以屏幕所在的墙壁的剖面为y轴，向上为正方向，以与之垂直的地面为x轴，以交点为原点O,建立直角坐标系.当地板线倾角o10时，根据已知条件通过计算得知，最前排视角和仰角的值均为最大，最后排视角和仰角的值均为最小.那么仰角030时的位置是否是最佳位置呢？我们可以先将离散的座位连续化，根据条件求出tg的表达式，作出对x的变化图象以及其变化率图象，计算tg的最大值，找到最佳座位点，然后再将问题离散化，对求得的最佳座位点进行优化.针对问题2：一般地，人们对某件事物看法的心理变化是一个模糊的概念.本文观众对座位是否满意也是一个模糊概念.根据模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，我们可以引入满意度函数的概念，构造一个满意度函数，通过这一函数来度量观众满意程度随其座位离屏幕的距离x的变化趋势.在倾斜角固定的情况下，满意度函数值随x的变化而变化，不同的x有不同的满意度.有了满意度函数这一衡量标准后，我们可以求出所有座位的平均满意度.当平均满意度最大时，求出此时对应的倾斜角，即为所要求的平均满意度最大时地板线的倾斜角度.三.模型的假设1.假设座位在地板线上严格等距，且均匀分布；2.假设观众的满意度可以用一连续函数来衡量，因而可将离散问题连续化；3.假设视角对观众的满意度影响较大；四.符号说明当人坐下时眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角当人坐下时眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角),(yxp当人坐下时眼睛所处在坐标系中的位置坐标）（xF关于距离x和倾斜角的正切函数）（xG关于距离x和倾斜角的正切函数)(xM满意度函数)(ixM第i个位置的满意程度M平均满意程度满意度函数的相关因子（即满意因子）五.模型的建立1.建模的准备1.1建立坐标系为了建立合适的数学模型，我们先建立如下坐标系：由题意及坐标图得，直线L的方程：cdxtgy)(（1）直线L上任意一点),(yxP的仰角β的正切值为：xtgdxcHtg)(（2）又由图可知：xtgdxhcHtg)()(（3）由（2）（3）得：xdtgcHhdtgcHxtgdtgcHhtghtg)()()1()(2221.2构造满意度函数一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念.本文中观众对某个座位是否满意的看法就是一个典型的模糊概念.由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据人们通常对一件事物评价的心理变化应遵循一定规律，不妨定义观众对座位的满意度为：)0()(20)(xxexM（4）其中表示观众满意度的相关因子，称为满意因子，一般为常数.0x表示最佳座位点，即最佳座位处的横坐标值.2.模型的建立2.1问题1的模型座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β.α越大越好，β太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求β不超过o30.要确定最佳座位，必须同时兼顾视角α和仰角β.由上文不难发现tg和tg均是x的函数，这里不妨令tgxF)(，tgxG)(，则可得到：xdtgcHhdtgcHxtgdtgcHhtghxF)()()1()(2)(22（5）xtgdxcHxG)()(（6）由030，即030tgtg得：tgtgdtgcHx6又由题意知：Dx则x的取值范围为：DxtgtgdtgcH6（7）从而得到求解最佳座位的数学模型：xdtgcHhdtgcHxtgdtgcHhtghxMaxF)()()1()(2)(22ts.DxtgtgdtgcH6（8）当θ=10度时求得模型的解观众的满意度随位置变化曲线如图：4681012141618-0.100.10.20.30.40.50.60.70.8地板线横坐标x观众的满意度值θ=10度时观众的满意度曲线2.2问题2的模型为了求平均满意程度最大时地板的倾角，本文先设法求平均满意程度M.由（4），记第i个座位满意度为：)0()(20)(xxiiexM（9）则区间],[Dd上n个座位的满意度为：niixM1)(（10）从而得座位的平均满意程度为：nxMMnii1)(（11）从而得到求解地板倾角的数学模型：MaxnxMMnii1)(（12）其中ix的表达式为：lidxi)1(，l为常数，表示前后两个座位之间的距离.，n的表达式为：1][ldDn.观众满意度随地板线曲率变化如图：00.511.522.59.29.49.69.81010.210.4地板线斜率k(tgθ)观众平均满意度观众平均满意度随地板线斜率变化曲线有图解得：8.1936.0arctan2.3问题3的模型为了进一步提高观众的满意程度，应当使总满意程度进一步增大。因此，利用最优化模型，使得每一名观众的满意程度达到最大。目标函数为：MaxnxMMnii1)(约束条件为：)0,0()(20)(niexMxxii从而得到结果为：02468101214161820-1012345附录：第一、二问程序：n=0;ku=0;q=5;t0=0;s=0.3;fork=0:0.01:0.37;m=0;forx=450:1900;y(x)=(x/100)*(k^2+1)/2+((3+4.5*k)^2-0.81)/(2*(x/100))-k*(3+4.5*k);z(x)=0.9/y(x);w(x)=atan(z(x));f(x)=atan((5-k*((x/100)-4.5)-1.1)/(x/100));x30=(3.9+4.5*k)/(k+(3^0.5)/3);ifk==0.18ifx=x30t=(w(x)-q*(f(x)-pi/6));iftt0t0=t;x10=x/100;endendifxx30t=(w(x)-s*q*(f(x)-pi/6));iftt0t0=t;x10=x/100;endendx11=x/100;figure(1);plot(x11,t);grid;xlabel('地板线横坐标x');ylabel('观众的满意度值');title('θ=10度时观众的满意度曲线');holdon;endifx=x30m=((w(x)-q*(f(x)-pi/6))/100)+m;endifxx30m=((w(x)-s*q*(f(x)-pi/6))/100)+m;endendfigure(2);plot(k,m,'.');grid;xlabel('地板线斜率k(tgθ)');ylabel('观众平均满意度');title('观众平均满意度随地板线斜率变化曲线');holdon;mnn=m;ku=k;endplot(x10,t0,'*');第三问程序：h=1.8;H=5;d=4.5;D=19;c=1.1;q=1;s=0.3;para=0;stepx=(D-d)/20;stepy=(H-c)/25;y=zeros(1,21);total=0;max=0;fori1=0:1i(1)=i1;fori2=0:1i(2)=i2;fori3=0:1i(3)=i3;fori4=0:1i(4)=i4;fori5=0:1i(5)=i5;fori6=0:1i(6)=i6;fori7=0:1i(7)=i7;fori8=0:1i(8)=i8;fori9=0:1i(9)=i9;fori10=0:1i(10)=i10;fori11=0:1i(11)=i11;fori12=0:1i(12)=i12;fori13=0:1i(13)=i13;fori14=0:1i(14)=i14;fori15=0:1i(15)=i15;fori16=0:1i(16)=i16;fori17=0:1i(17)=i17;fori18=0:1i(18)=i18;fori19=0:1i(19)=i19;fori20=0:1i(20)=i20;fori21=0:1i(21)=i21;fori22=0:1i(22)=i22;fori23=0:1i(23)=i23;fort=1:21x(t)=(t-1)*stepx+d;y(1)=c;ift1forr=2:ty(t)=i(r-1)*stepy+y(t-1);endendx1=x(t);y1=y(t);de=(x1)^2+(H-h/2-y1)^2-(h/2)^2;w(t)=(atan((h*x1)/de)-s*q*((atan(H-y1)/x1)-pi/6));ifx1(3^0.5)*5;ify1=(5-((3^0.5)/3)*x1);w(t)=(atan((h*x1)/de)-q*((atan(H-y1)/x1)-pi/6));endendtotal=total+w(t);endendpara=0;iftotalmaxmax=total;fore=1:20ify(e)(H-h)forv=1:eaa=((v-1)*stepx+d)*(-(y(e)-(H-h))/((e-1)*stepx+d))+(H-h);ifaay(v)para=1;endendendendfors=1:20ifpara~=1;m(s)=i(s);endendendendtotal=0;endendendendendendendendendendendendendendendendendendendendendforj=1:21m0=0;ifj1fore=2:jm0=m(e-1)+m0;endendyopt(j)=m0*stepy;xopt(j)=(j-1)*stepx+d;endx3=1:0.1:length(yopt)-1;y3=interp1(xopt,yopt,x3,'cubic');p=polyfit(x3,y3,15);y4=polyval(p,x3);plot(x3,y4,'-');holdonplot(x3,y3,xopt,yopt);forrr=1:length(yopt)-1;y5=y4((rr-1)*10+1);plot(rr,y5);holdonendgridon;holdon;plot(0,(H-h),'*');plot(0,H,'*');