2014级华东交通大学高等数学期中考试试卷及参考答案

华东交大2014—2015学年第一学期期中考试承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。专业班级学号学生签名：试卷编号：（A）卷《高等数学(A)Ⅰ》课程(工科本科14级)课程类别：必闭卷（√）考试时间：2014.11.16题号一二三四总分1234567121分值188888888998阅卷人(全名)考生注意事项：1、本试卷共6页，总分100分，考试时间120分钟。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题(每题3分，共18分)_________)21()1(3)1(1lim0xxfffx则，设、________]30[29)(23上满足罗尔定理的，在函数、xxxf_______cossin3yxxxy则，设、4．已知21lim01xxaxbx，则a，b；5．函数)(xfy在点x处可导，且2)(xf,则当0x时，无穷小dy与x的比较结果是_________；_____0002)(6axxxaxexfx则处连续，在，，设、二、计算题(每题8分，共56分)1．设3arctan6xttytt，求212ddtyx.得分评阅人得分评阅人2、.6)12(2limbabaxxxxx、求，设3、设23exyx，求(10)()yx.])12)(12(1531311[lim4nnn求极限、.)(cos5sindyxyx求，设、6、设2[()],ufxy其中,xy满足方程,yyex函数,f均二阶可导，求22dud,dduxx.7、设函数()fx在点0x处有定义，(0)1f，且20ln(1)sin()lim0e1xxxxfx，求(0)f.三、应用题(每题9分，共18分)1、求方程1sinyxexy中的隐函数)(xyy的导数。2、讨论函数()arctanfxkxx的单调性，并求方程()0fx的不同实根的个数，其中k为参数.四、证明题(8分)（1）设函数()fx在区间[,]ab上可导，证明：存在(,)ab，使得()()()()afbbfaffba；（2）设()fx在区间[0,1]上连续，在(0，1)内可导，且(0)0,(1)1ff，证明：.存在不同的,,(0,1)，使得1113()()()fff.华东交大2014—2015学年第一学期期中考试答案一、填空题(每题3分，共18分)1、62、xxcos3、4．1,1ab5、同阶但非等价的无穷小是与xdy6、二、计算题(每题8分，共56分)1、222226(1)3(1),2dydytttdxdxt，2124tdydx2、解)12(2limbaxxxxx1)1()2(2limxbxbaxax66102baa32ba，3、(10)923()332030exyxxx)1211215131311(21lim4nnn原式解：、)1211(21limnn215、解两边取对数得xxycoslnsinlnxxxxxyycossinsincoslncos1)tansincosln(cos)(cossinxxxxxyxdxydydxxxxxxx)tansincosln(cos)(cossin336、222222222du[()][()2]d2[()][()];1d2[()][()]d122[()][()](1)(1)yyyyyfxyxyyxyfxyxeuyfxyxxeyefxyxee7、20200ln(1)sin[()1]sinlim0,e1[()1]ln(1)sin1limlim,2xxxxxxfxxfxxxxx即:1(0)2f.三、应用题(每题9分，共18分)1、解：对上述方程两边求导，得0)'1()'(cosyexyyxyyxxyxexyyeyxyxycoscos'2、令()arctanfxkxx，则()fx是(,)上的奇函数，且221'()1kxfxx.当1k≤0即k≤1时，'()0(0),()fxxfx在(,)内单调减少;当1k＞0即k＞1时，在(0,1)k内，'()0,()fxfx单调增加；在(1,)k内，'()0,()fxfx单调减少。又(0)0,f从而（1）当k≤1时，()fx在(,)内单调减少，方程()0fx只有一个实根0.x（2）当k＞1时，由于(1)fk是()fx在(0,)内的最大值，且(0)0f，所以(1)0.fk又因为arctanlim()lim(1)xxkxfxxx，所以存在(1,)k，使得()0.f由()fx是奇函数及其单调性可知：当1k时，方程()0fx有且仅有三个不同实根,0,.xxx四、证明题(8分)法I:令()()()1()fxafbbfaFxxbax，()()()()fbfaFaFbba，用罗尔定理得证。法2:令()()fxFxx，1()Gxx，用柯西中值定理证。法3:令1()()Fxxfx，用拉格朗日中值定理证。（2）由于()fx在区间[0,1]上连续，(0)0,(1)1ff，由介值定理，存在12,(0,1)xx，且12xx，使得1212(),()33fxfx，在1122[0,],[,],[,1]xxxx上分别用拉格朗日定理得：存在不同的,,(0,1)，使得1112121212221212()1(),3()()1(),3()1()1();13(1)11133()3(1)3()()()fxfxxfxfxfxxxxfxfxxxxxxfff故1113()()()fff