板弯曲

•板分成以下三种类型：薄板：（1/801/100）t/b（1/51/8）；薄膜：t/b（1/801/100）；厚板：t/b（1/51/8）。xyzt/2t/2中面薄板弯曲板所承受的荷载：作用于中面的面内载荷。弹性力学平面问题垂直于中面的横向荷载。板产生弯曲，中面弯曲将成为一个曲面，垂直于中面的位移称挠度w。小挠度弯曲问题薄膜：抗弯的能力很低，可认为抗弯刚度为零横向荷载由板面内的轴向力和板面内的剪切力来承担厚板：内部任意点的应力状态与三维物体类似，难以简化，应按三维问题处理薄板可以引进基本假定，使问题简化。薄板基本假定（1）板中面法线变形前是直线，变形后仍保持直线，且与变形后的中面保持垂直；（2）中面法线变形后既不伸长也不缩短；（3）中面各点没有平行于中面的位移。假定的推论假定（2）（与梁弯曲问题的互不挤压假定相似）z=0w=w(x,y)0zwz假定（1）（与梁弯曲问题的平面假定相似）zx=zy=0，0＝＋zuxwx0＝＋zuywyyxfxwzux,1yxfywzuy,2假定（3）f1(x,y)=0，f2(x,y)=0ABAB''wzxuOK'Kxwzuxywzuy22xwzxuxx22ywzyuyyyxwzyuxuxyxy22薄板的应变x=Kxzy＝Kyzxy＝2Kxyzz=yz=zx＝0xyzabced22xwxK22ywyKyxw2xyK薄板的应力分量(x、y、xy）通过平面问题的物理方程由应变求出(z、zx、zy）则必须由三个平衡微分方程求解给出应力分量（z、zx、zy）相对面内应力分量（x、y、xy）很小它们对应的应变分量z、zx、zy可略去不计但它们本身由于是平衡所必须的而不能忽略不计。22ywxwEz2221x22xwywEz2221yyxwEz21xy特点：均沿厚度呈线性分布，在中面处为零，在板的上、下板面达到最大。面内应力分量（x、y、xy）面外应力分量使用平衡条件求出考虑薄板上、下板面的边界条件解得横向剪应力特点：横向剪应力zx、zy沿板厚度方向呈抛物线分布，在板的上、下板面为零，在板中面最大yxzyxxzxxyzyzyxy02tzzx02tzzywxtzE2222412zxwytzE2222412zy利用z方向的平衡条件求zzyzxzzFyxz将z方向所有力作用等效移置到板面上，02tzzqtzz2－222ttztzzdtFTq－板上、下表面的边界条件变成wztvEzz22224)1(2),(34)1(243223yxfwzztvEtzwtztz-vEt4223121)1(6z特点：z沿板厚度方向呈三次方变化最大值发生在板面为q，最小值在板底为0。02tzz利用板下面的边界条件，f(x,y)=0利用板下面的边界条件，得：qtzz2qwEt423)1(12)1(1223vEtD＝D是板的弯曲刚度，板厚的三次方成正比，与弹模成正比，与梁的弯曲刚度类似qwD4薄板的平衡微分方程薄板的柱面弯曲矩形板一个方向（比如y方向）足够长，分布荷载沿y方向不变化，只沿x方向变化，即q=q(x)时，则w=w(x)板弯曲成柱面，取单位宽度的窄条（梁）分析。平衡方程退化为与梁的平衡微分方程相比，多了一项（12）。其原因是：板单位宽度的窄条是处于平面应变状态（y=0）EIxqdxwd)(1244xyzxzxyyxyzyx22ttxxdzzMdzzMxyttxy22dzQxzxtt22dzzMytty22dzzMyxttyx22dzQyzytt22薄板横截面上的内力•剪应力互等定理xy=yx，Mxy=Myx•正负规定：在z为正，若应力分量为正，则由此合成的内力为正•内力是作用在每单位宽度上的力，例如：弯矩和扭矩的量纲应是［力］，而不是通常的［力］［长度］。xyzMxyMyxMyQMxxQy)(2222ywvxwDMx)(2222xwvywDMyyxwDMMyxxy21wxDQx2wyDQy2内力由挠度表示xxzMt312yyzMt312xyxyzMt312yyzQztt)4(6223xzxQztt)4(6223)1()21(22ttqzzz（x，y，xy）～qb2/t2（xz，xzy）～qb/tz～q应力与内力的关系0qyQxQyx0xyxxQyMxM0yyxyQyMxM02222qyMyxMxM2yxy2x由内力表示的平衡微分方程薄板问题求解D4w=q＋侧边边界条件xyzABC•侧边边界条件由圣维南原理满足•将分布剪力和分布扭矩合成为分布剪力AB(M)yxA(M)yxBdxMyxdxdxxMMyxyx•可用2个大小相等为Myx，方向相反，相距dx的垂直力代替•可用2个大小相等为，方向相反，相距dx的垂直力代替dxxMMyxyxxMQVyxyy此外，还有两端未抵消的集中剪力RA＝(Myx)A，RB＝(Myx)B分布剪力和分布扭矩合成OABCxyzRARBRC最终角点B出现未抵消的的集中力应是RB＝(Myx)B＋(Mxy)B＝2(Myx)ByMQVxyxx及两端的集中力RB＝(Mxy)B，RC＝(Mxy)C2333)2(yxwvxwDVxyxwvywDVy2333)2())(1(22yxwvDRB侧边边界条件自由边、简支边、固定边、角点用挠度表示yxabABCO（1）自由边弯矩和合成剪力为零，因此，在x=a上，Mx=0，Vx＝0，在y=b上，My=0，Vy＝0，02222＝axywxw0)2(2333＝axyxwxw02222＝byxwyw0)2(2333＝byyxwvyw（2）简支边在y=0的简支边界上，挠度和弯矩应为零(w)y=0=0，(My)y=0＝(w)y=0=0表示沿x轴，w无变化，必然有，简支边的边界条件可写成(w)y=0=0002222yxwyw00yxw002y2xw0022yyw（3）固定边在x＝0的固定边上，挠度和转角为零，故边界条件可写成(w)x=0=0（4）角点条件板边分布扭矩代换为分布剪力后，在角点出现一个集中力，这个集中力就是支座对板角点的集中反力。对于无支座支撑的角点，例如图中的两自由边界的交点B，则RB=2(Myx)x=a,y=b=0，即：00xxw02bya,xyxw