第八章 线性关系的测量――相关

第八章线性关系的测量——相关第一节什么是相关第二节相关的直观表示法第三节（线性）相关的量化一、皮尔逊积距相关系数二、皮尔逊积距相关系数的计算三、皮尔逊积距相关系数的假设检验第四节斯皮尔曼等级相关系数一、斯皮尔曼等级相关系数的应用与计二、斯皮尔曼等级相关系数的假设检验第一节什么是相关变量之间往往存在一定程度的联系或关联，比如变量X的值可能随变量Y的值的增大而增大，或随变量的值可能随值的增大而减小等。相关实质上就是变量之间的协变或共变，即一个变量随另一个变量的变化而变化。既然相关的变量之间存在规律性的关系，那么有了一个变量的值就可以在一定程度上预测另一个变量的值，预测的准碗性显然取决于变量之间相关程度的强弱，如果两变量完全相关（这种情况非常少见），那么预测的准碗性就可以达到百分之百。第二节相关的直观表示法变量之间相关的强弱可以量化，也可以用直观的方法表示出来。在对相关量化之前，最好先用直观的方法，看看变量之间的大体关系如何，比如相关的程度是否强，是正相关还是负相关，是线性关系还是非线性关系（因为对相关的量化往往要求变量之间呈线性关系），等等。此外，我们还能很容易、很直观地发现是否有反常的数据值，这些反常值会对相关的量化相关系数产生很大的影响。对相关的直观表示一般是利用散布图。散布图就是一个直角坐标，横坐标代表一个变量，纵坐标代表另一个变量。在坐标内用一个个的点来表示相关变量的一对对的观测值，这些点所形成的图形的形状就可以体现变量之间的相关情况。图8.1和图8.2表示完全线性相关，即变量X和变量Y之间的关系完全可以用一条直线来表达，这时给出一个变量的值就可以完全预测另一个变量的值。正相关表示变量Y的值随变量X的值的增大而增大，负相关表示变量Y的值随变量X的值的增大而减小。图8.3表示线性强正相关，即随变量X的值增大，变量Y的值也倾向于增大，两者之间存在很强的线性关系，即各点相聚很紧，通过各点的中间基本上可以划一条直线。图8.4表示线性强负相关，即随变量X的值的增大，变量Y的值倾向于减小，各点之间相聚同样很紧，通过各点的中间也基本上可以划一条直线。图8.5表示弱正相关，变量Y的值大休上随变量X的值的增大而增大，但有很多例外，因而各点不是紧聚在一条直线两侧。图8.6表示弱负相关，变量Y的值大体上随变量X的值的增大而减小，但有很多例外，因而各点不是紧聚在一条直线两侧。图8.7中看不出明显的规律性,这表明两变量不相关或相关很低。图8.8表明两变量之间虽有规律性的关系（U型,变量X的小值和变量Y的大值相联系），但该关系是非线性关系。第三节（线性）相关的量化一、皮尔逊积矩相关系数最常用的一种指数是皮尔逊积矩相关系数或积差相关系数，用符号r表示。该相关系数有以下几个特点：（1）就像比例或百分比那样，相关系数没有单位，变量的测量单位的改变不影响相关系数的值。（2）与其值在-1与+1之间，即-1≤r≤+1。-1和+1分别表示完全的负相关和完全的正相关；（3）适用于两变量都是等距变量或比率变量，且每一变量的数据都是呈正态分布的情况。二、皮尔逊积矩相关系数的计算皮尔逊积矩相关系数的计算公式为（8.1）其中代表变量X的任一个观测值的标准分；代表变量Y的任一个观测值的标准分；，即每对标准分之积的和，就表示了两变量之间的关系；N表示两变量观测值的对子数，N-1就是相关系数的自由度。在上式中又因所以上述公式可以改写为(8.1)三、皮尔逊积矩相关系数的假设检验对皮尔逊积矩相关系数的假设检验为参数检验。检验步骤如下：第一步：陈述零假设和备择假设：（为希腊字母，表示总体的相关系数，表示样本所来自的总体之间不存在任何相关）（双尾检验）或（单尾检验）或（单尾检验）第二步：设定显著水平第三步：计算检验统计值（如两变量呈正态分布，即用r作为检验计值）。第四步：查表：附表3给出了对应于各显著水平和数据对子数（N）的临界值。第五步：如果r值大于或等于临界值，就可以在所设定的显著水平上拒绝零假设。对于上例，假如设为0.05，双尾检验，那么临界值为0.444。由于r值（0.672）大于临界值，所以该检验有显著意义，即两组分数之间确实存在相关。假如设，该检验即为单尾检验值，如仍为0.05，那么临界值为0.378，检验仍然有显著意义。第四节斯皮尔曼等级相关系数一、斯皮尔曼等级相关系数的应用与计算另一个常用的相关系数是斯皮尔曼等级相关系数，符号为。该相关系数用来比较两组等级数据，来决定两者之间的相关程度，因此，它适用于两变量都是顺序变量的情况。斯皮尔曼等级相关系数的计算公式为（8.3）上述计算方法仅适用于两变量都是顺序变量（即变量的值为等级）的情况。如果一个是顺序变量，而另一个是等距变量，或者两个变量都是等距变量（因种种原因不能使用皮尔逊积矩相关系数），就要先把等距变量转换为顺序变量（当然随着转换，将会失去一定量的信息）。转换的方法是：先把第一个变量的观测值按从小到大的顺序一一转换成等级，即最小的观测值的等级为如遇并列的观测值，则把它们的平均等级（即假如它们不并列而本应占的等级除以并列的观测值个数）用作它们的等级。转换以后，其余计算方法同上。计算斯皮尔曼等级相关系数时有一点需要注意，那就是并列等级有可能对值带来偏差。如果并列等级过多，就会大大影响值的精确性——倾向于过高估计相关强度（在上例中，有一部分观测值的等级是并性列的，所以计算出的值略高于r值）。在这种情况下，一个更精碗的方法是把等级作为观测值，计算皮尔逊相关系数。二、皮尔曼等级相关系数的假设检验检验的步骤与方法如下：第一步：零假设与备择假设为：（即样本所来自的总体之间不存在相关）；（单尾检验，即总体之间的相关为正相关）。第二步：设显著水平为0.05第三步：检验统计值第四步：查表得临界值为第五步：由于值大于临界值，所以零假设被推翻，证明两变量之间确实存在显著的正相关。小结在研究相关时有两点需要注意。一是，相关并不意味着因果关系，两变量相关并不表明两者之间存在因果关系。举一个很极端的例子，某年的降雨量与出生率之间有很高的正相关，但是不能因此说高降雨量导致了高出生率，或高出生率导致了高降雨量；相关系数仅仅表示两变量之间的数学关系。二是，对于等距或比率变量，相关系数最好与散布图一起使用，这样才能对变量之间的关系与强度得出全面的结论，因为相关系数相同，不一定变量之间的关系（或者散布图的形状）就相同，相关系数仅仅表示（线性）关系的强度。