第3章 离散傅里叶变换

第3章离散傅里叶变换(DiscreteFourierTransform—DFT)3.1离散傅里叶变换的定义及物理意义3.2离散傅里叶变换的性质3.3频率域采样3.4DFT的应用举例傅里叶变换的离散性和周期性1.连续时间、连续频率——连续时间非周期信号的傅里叶变换结论：时域非周期-频域连续；时域连续-频域非周期dejXtxdtetxjXtjtj)()()()(2.连续时间、离散频率——连续时间周期信号的傅里叶级数ktjkTTtjkekXtxdtetxTkX1111)()()(1)(12211结论：时域周期-频域离散；时域连续-频域非周期3.离散时间、连续频率——序列的傅里叶变换结论：时域非周期-频域连续；时域离散-频域周期deeXnxenxeXnjjnnjj)(21)()()(4.离散时间、离散频率——离散傅里叶变换10)2(110)2(1)(1)()()(NknkNjNnnkNjekXNnxenxkX结论：时域周期-频域离散；时域离散-频域周期3.1离散傅里叶变换的定义及物理意义一、离散傅里叶变换(DFT)的定义二、DFT与FT及ZT的关系三、DFT的隐含周期性四、用MATLAB计算序列的DFT101234567n01234567k(a)(c)(b)10123n|)(~|kX)(nx~)(nxnekXNkXnxkenxnxkXNkknNjNnknNj)(~1)](~[IDFS)(~)(~)](~[DFS)(~102102101234567n(a)(b)10123n)(nx~)(nx4567)())(()()(~)())(()%()()(~nRnxnRnxnxnxNnxrNnxnxNNNNr01234567k(c)|)(~|kX01234567k(d)|)(|kX)())(()()(~)())(()(~kRkXkRkXkXkXkXNNNN“借用”的主值序列X(k)定义为“离散傅里叶变换(DFT)”。目的是使傅里叶分析可以利用数字计算机。)(~kX一、离散傅里叶变换(DiscreteFourierTransform——DFT))())(()()(~)())(()(~kRkXkRkXkXkXkXNNNN10)(1)(1)]([IDFT)(10)()()]([DFT)(1010210102NnWkXNekXNkXnxNkWnxenxnxkXNkknNNkknNjNnknNNnknNj，，nekXNkXnxkenxnxkXNkknNjNnknNj)(~1)](~[IDFS)(~)(~)](~[DFS)(~102102(1)(4)(2)(3))1()1()0()1()1()0()1()1(2)1(1)1(0)1()1(1211101)1(0201000Nxxx)1()1()0(1)1()1()0()1()1(2)1(1)1(0)1()1(1211101)1(0201000NXXX10)(1)(1)]([IDFT)(10)()()]([DFT)(1010210102NnWkXNekXNkXnxNkWnxenxnxkXNkknNNkknNjNnknNNnknNj，，【例3.1.1】x(n)=R4(n)，求x(n)的4点和8点DFT。3,2,100411)()(223042304kkeeeWnxkXkjkjnknjnknkjkjnknjnkneeeWnxkX4308270811)()(DFT[x(n)]结果与N的取值有关二、DFT与FT及ZT的关系(1)序列x(n)的N点DFT是x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔采样10)()]([ZT)(MnnznxnxzX1,,1,0)()]([DFT)(102NkenxnxkXMnknNjN，)()())(()(1021022kXenxenxzXMnknNjMnnkNjezkNj二、DFT与FT及ZT的关系(2)X(k)为x(n)的傅里叶变换在区间[0,2π]上的N点等间隔采样1,,1,0)()]([DFT)(102NkenxnxkXMnknNjN，10)()]([FT)(MnnjjenxnxeX)()()(1022kXenxeXMnknNjjkN有限长序列的N点离散傅里叶变换X(k)正好是x(n)的周期延拓序列x((n))N的离散傅里叶级数系数的主值序列，，X(k)实质上是x(n)的周期延拓序列的频谱特性。三、DFT的隐含周期性)()(~)(kRkXkXNNnxnx))(()(~)()()()()()(1010)(10kXWnxWnxmNkXWnxkXNnknNNnnmNkNNnknN)()(~)()(~))((kRkXkXkXkXNN【例2.3.1】设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列，周期为8。求，并画出它的幅度谱。)](~[DFSnx)8sin()2(sin)()(1111)(~)(~)(~838882224444704102kkeeeeeeeeeeeenxenxkXkjkjkjkjkjkjkjkjkjkjkjnknjNkknNj)8sin()2sin()(~kkkX)(nx~101234567n|)(~|kX01234567k(a)(b)图2.3.1周期序列(a)及其幅度特性(b)•Xk=fft(xn,N)•xn=ifft(Xk,N)四、用MATLAB计算序列的DFT3.2离散傅里叶变换的性质一、线性性质二、循环移位性质)()]([DFT)()]([DFT]max[)()()(22112121kXnxkXnxNNNnbxnaxnyNN，10)()()]([DFT21NkkbXkaXnyN1.序列的循环移位)())(()(nRmnxnyNNn(a)(b)(c)nn(d)n051015-5051015-5))2((nx8)(nR80571015-5051015-5x(n)))2((nx8))((nx8)())(()(nRmnxnyNN2.时域循环移位定理10)]([DFT)()())(()(NknxkXnRmnxnyNNN)()]([DFT)(kXWnykYkmNN3.频域循环移位定理)())(()(10)]([DFT)(kRlkXkYNknxkXNNN)()]([IDFT)(nxWkYnynlNN二、循环移位性质1.两个有限长序列的循环卷积三、循环卷积定理)5.2.3()(]))(()([)(M][NmaxLM)(N)(10nRmnxmhny,nxnhLLmLc：：})1(,,)2(,)1(,)0({)(1,,2,1,0LxxxxnxLn，})2(,,)1(,)0(,)1({))1(())((}))2((,,))1((,))0((,))1(({))1(())((1,,1,0,1xLxxxmxmnxLxxxxmxmnxLmnLLLLLLLL})1(,,)2(,)1(,)0({))0(())((}))1((,,))2((,))1((,))0(({))0(())((1,,1,0,0xLxLxxmxmnxLxxxxmxmnxLmnLLLLLLLL})1(,,)2(,)1(,)0({)(1,,2,1,0LxxxxnxLn，})2(,,)1(,)0(,)1({))1(())((}))2((,,))1((,))0((,))1(({))1(())((1,,1,0,1xLxxxmxmnxLxxxxmxmnxLmnLLLLLLLL})1(,,)2(,)1(,)0({))0(())((}))1((,,))2((,))1((,))0(({))0(())((1,,1,0,0xLxLxxmxmnxLxxxxmxmnxLmnLLLLLLLL})3(,,)1(,)0(,)1(,)2({))2(())((1,,1,0,2xLxxxxmxmnxLmnLL)0()3()2()1()3()0()1()2()2()1()0()1()1()2()1()0(xLxLxLxxxxxxLxxxxLxLxx)1()2()1()0()0()3()2()1()3()0()1()2()2()1()0()1()1()2()1()0()1()2()1()0(LhhhhxLxLxLxxxxxxLxxxxLxLxxLyyyycccc循环卷积矩阵)5.2.3()(]))(()([)(10nRmnxmhnyLLmLc【例3.2.1】1.两个有限长序列的循环卷积2.循环卷积定理——时域循环卷积定理三、循环卷积定理)5.2.3()(]))(()([)(M][NmaxLM)(N)(10nRmnxmhny,nxnhLLmLc：：)(]))(()([)()()(][max)()(101212212211nRmnxmxnxnxnx,NNNNnxNnxNNmN：：NNNnxkXnxkXkXkXnxkX)]([DFT)()]([DFT)()()()]([DFT)(2211212.循环卷积定理——频域循环卷积定理)(]))(()([)()(1)]([DFT)()(]))(()([)()(1)]([DFT)(101212102121kRlkXlXkXkXNnxkXkRlkXlXkXkXNnxkXNNlNNNNlNNNNnxkXnxkXnxnxnx,NNNNnxNnx)]([DFT)()]([DFT)()()()(][max)()(221121212211：：四、复共轭序列的DFTNnxkX)]([DFT)()()]([DFTkXnNxN10)()]([DFTNkkNXnxN五、DFT的共轭对称性1.有限长共轭对称序列和共轭反对称序列)1623()]()([21)()1623()]()([21)(opepb..nNxnxnxa..nNxnxnx)13.2.3(10)()(aNnnNxnxepep)13.2.3(10)()(aNnnNxnxopop)14.2.3(10)()()(Nnnxnxnxopep)15.2.3()()()()()(nxnxnNxn