数字电子技术基础-逻辑代数基础

《数字电子技术基础》《数字电子技术基础》电子课件郑州大学电子信息工程学院2020年2月26日《数字电子技术基础》第一章逻辑代数基础《数字电子技术基础》1.1概述1.1.1脉冲波形和数字波形图1.1.1几种常见的脉冲波形，图(a)为矩形波、图(b)为锯齿波、图(c)为尖峰波、图(d)为阶梯波。（a）（b）（c）（d）图1.1.1几种常见的脉冲波形《数字电子技术基础》脉冲信号的参数mUWtTTmUWtrtftm9.0Um5.0Um1.0U图1.1.2矩形脉冲参数（a）（b）《数字电子技术基础》通常规定：0表示矩形脉冲的低电平；1表示矩形脉冲的高电平，如图1.1.3波形所示。0001110HULU0t图1.1.3矩形脉冲数字表示方法矩形脉冲数字表示法《数字电子技术基础》1.1.2数制和码制一、数制①每一位的构成②从低位向高位的进位规则我们常用到的：十进制，二进制，八进制，十六进制《数字电子技术基础》十进制，二进制，八进制，十六进制逢二进一逢八进一逢十进一逢十六进一《数字电子技术基础》十进制数325.12用位置计数法可以表示为任意一个具有n为整数和m为小数的二进制数表示为八进制有0~7个数码，基数为8，它的计数规则是“逢八进一”。八进制一般表达式为2101210102101105102103DmmnnnnkkkkkkD22222211001122112iikD88《数字电子技术基础》十六进制数的符号有0、1、2、…、8、9、A、B、C、D、E和F，其中符号0~9与十进制符号相同，字母A~F表示10~15。十六进制的计数规则“逢十六进一”，一般表示形式为例如：iikD16162101231616216A16716C16516EA2).(E5C7《数字电子技术基础》二、数制间的转换各种进制转换为十进制十进制转换为二进制所以2210232)75.13(22222)11.1101(1292642322162824222120余1余0余0余0余0余0余0余10k1k2k3k4k5k6k7k210)10000001()129(《数字电子技术基础》二进制转换与十六进制间的转换十六进制转换为二进制正好和上述过程相反(0010,1110,1000.0110)2=(2E8.6)H《数字电子技术基础》三、二进制数算术运算•算术运算二进制数的0/1可以表示数量，进行加，减，乘，除…等运算•二进制数的正、负号也是用0/1表示的。在定点运算中，最高位为符号位（0为正，1为负）如+89=（01011001）-89=（11011001）《数字电子技术基础》二进制数的补码：•最高位为符号位（0为正，1为负）•正数的补码和它的原码相同•负数的补码=数值位逐位求反+1如+5=（00101）-5=（11011）•通过补码，将减一个数用加上该数的补码来实现《数字电子技术基础》•7–4=3•7+8=3（舍弃进位）•4+8=12产生进位的模•8是-4对模数12的补码特别要注意的是，运算过程中所有的数都用补码表示。《数字电子技术基础》•1110–0110=1000（14-6=8）•1110+1010=11000=1000（舍弃进位）（14+10=8）•0110+1010=24•1010是-0110对模24（16）的补码168412142610《数字电子技术基础》四、BCD码（BinaryCodedDecimal）8421BCD码与十进制数之间的转换是直接按位转换，例如BCD码除842l码外，常用的还有2421码、余3码、余3循环码、BCD格雷码等等8421BCDD)0011.10010010()3.29(DBCD-8421)1298()10000100101001(《数字电子技术基础》1.2基本逻辑函数及运算定律基本概念逻辑：事物的因果关系逻辑运算的数学基础：逻辑代数在二值逻辑中的变量取值：0/1逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用字母A、B、C、…表示。其取值只有0或者l两种。这里的0和1不代表数量大小，而表示两种不同的逻辑状态，如，电平的高、低；晶体管的导通、截止；事件的真、假等等。《数字电子技术基础》1.2.1逻辑代数中的三种基本运算与（AND）或（OR）非（NOT）以A=1表示开关A合上，A=0表示开关A断开；以Y=1表示灯亮，Y=0表示等不亮；三种电路的因果关系不同：《数字电子技术基础》与•条件同时具备，结果发生•Y=AANDB=A&B=A·B=ABABY000010100111《数字电子技术基础》或•条件之一具备，结果发生•Y=AORB=A+BABY000011101111《数字电子技术基础》非•条件不具备，结果发生•ANOTYAAY0110《数字电子技术基础》几种常用的复合逻辑运算•与非或非与或非《数字电子技术基础》几种常用的复合逻辑运算•异或•Y=ABABY000011101110《数字电子技术基础》几种常用的复合逻辑运算•同或•Y=A⊙BABY001010100111《数字电子技术基础》一、运算定律1.2.2逻辑代数的运算定律及规则证明方法：推演真值表《数字电子技术基础》BABA用真值表证明的正确性。《数字电子技术基础》二、逻辑代数的常用公式公式A+AB=AA+AB=A+BAB+AB=AA(A+B)=AAB+AC+BC=AB+ACAB+AC+BCD=AB+ACAAB=AB;AAB=A《数字电子技术基础》三、逻辑代数的基本规则•代入规则------在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成立。《数字电子技术基础》•应用举例：CBABCACBABCBBABA代入以《数字电子技术基础》•反演规则-------对任一逻辑式原变量反变量反变量原变量，，，，0110YY变换顺序先括号，然后乘，最后加不属于单个变量的上的反号保留不变《数字电子技术基础》•应用举例：DCBDACBCA)DC)(CBA(YCD)CB(AY《数字电子技术基础》一、逻辑函数Y=F(A,B,C,…)------若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。输入/输出之间是一种函数关系。注：①逻辑函数表达式的运算顺序为先算括号内，后括号外；先算与，后算或；②非号下面有一个括号时，括号可以省去，如可以写成1.3逻辑函数及其表示方法)(BABA《数字电子技术基础》二、逻辑函数的表示方法•真值表•逻辑式•逻辑图•波形图•卡诺图•计算机软件中的描述方式各种表示方法之间可以相互转换《数字电子技术基础》真值表由逻辑函数表达式转换成真值表时，将输入变量取值的所有组合状态逐一代入逻辑表达式求出函数值，列成表，即可得到真值表。输入变量ABC….输出Y1Y2….遍历所有可能的输入变量的取值组合输出对应的取值《数字电子技术基础》•逻辑式将输入/输出之间的逻辑关系用与/或/非的运算式表示就得到逻辑式。•逻辑图用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。逻辑图与逻辑函数表达式也可以互相转换a用逻辑图形符号代替逻辑函数式中的运算符号，就可以画出逻辑图了b根据逻辑门的连接方式和每个门的逻辑功能逐级写出它的表达式《数字电子技术基础》波形图将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形。《数字电子技术基础》各种表现形式的相互转换：•逻辑式真值表【例1.3.1】已知逻辑函数CACBAY列出真值表。《数字电子技术基础》•真值表逻辑式：1.找出真值表中使Y=1的输入变量取值组合2.每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量3.将这些变量相加即得Y4.把输入变量取值的所有组合逐个逻辑式中求出Y，列表《数字电子技术基础》【例1.3.2】已知真值表如表1.3.2所示，写出逻辑函数式。CABCBACBACBAY《数字电子技术基础》•逻辑图逻辑式1.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符)CB(AY《数字电子技术基础》•逻辑式逻辑图1.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符2.从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。BABBAABABABABABA)BA)(BA(BABA《数字电子技术基础》最小项m：•m是乘积项•包含n个因子•n个变量均以原变量和反变量的形式在m中出现一次对于n变量函数有2n个最小项1.3.2逻辑函数的标准形式：最小项之和最大项之积《数字电子技术基础》最小项举例：•两变量A,B的最小项•三变量A,B,C的最小项）（4个22AB,BA,BA,BA）（8个32ABC,CAB,CBA,CBABCA,CBA,CBA,CBA《数字电子技术基础》最小项的编号：最小项取值对应编号ABC10进制数0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m7ABCCABCBACBABCACBACBACBA《数字电子技术基础》最小项的性质•在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1•全体最小项之和为1•任何两个最小项之积为0•两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。------相邻：仅一个变量不同的最小项如BA)CC(BABCACBABCACBA与《数字电子技术基础》逻辑函数最小项之和的形式：•例：),,(mBCAABCCAB)AA(BCCABBCCAB)C,B,A(Y763利用公式可将任何一个函数化为1AAim《数字电子技术基础》逻辑函数最小项之和的形式：•例：DCB)AA(CDB)AA(.....................................DCBCDB.....................................)DD(CBDBC)AA(DCBACBDBCDCBA)D,C,B,A(Y《数字电子技术基础》最大项：•M是相加项•包含n个因子•n个变量均以原变量和反变量的形式在M中出现一次•如：两变量A,B的最大项对于n变量函数2n个）（4个22BA,BA,BA,BA《数字电子技术基础》最大项的性质•在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为0•全体最大项之积为0•任何两个最大项之和为1《数字电子技术基础》最大项编号方法是：把使最大项为0的那一组逻辑变量组合成二进制数，与这个二进制数对应的十进制数就是该最大项的编号。n个变量的最大项一共有个n2《数字电子技术基础》从真值表归纳逻辑函数逻辑函数有两种标准表示形式，一是最小项的与或表达式，也称为最小项之和形式；另一种是标准或与表达式，也称为最大项之积形式。一、从真值表求最小项之和形式1、找出使逻辑函数为1的变量组合；2、写出使函数为1的变量取值组合对应的最小项；3、将这些最小项相或，即得到标准的最小项之和表达式。《数字电子技术基础》imYikkmYikkmYkikkikMmY二、从函数真值表求最大项之积形式的方法如下：1、在真值表中找出逻辑函数为0的变量组合；2、写出对应于函数为0的最大项；3、将所有最大项相与。利用恒等式可以把任何一个逻辑函数写成最小项项之和形式.1AA《数字电子技术基础》1.4逻辑函数的公式化简法1.4.1逻辑函数的最简形式最简与或------包含的乘积项已经最少，每个乘积项的因子也最少，称为最简的与--或逻辑式。CBACYACDCBABCY21《数字电子技术基础》1.4.2常用公式化简法•反复应用基本公式和常用公式，消去多余的乘积项和多余的因子。1、并项法解：CBCACBAYBCDDCBDBCDCBYCBACBAY321BACCBAY)(1BDCBDCBY)()(2CCBACBACBACBAY)(3《数字电子技术基础》2、吸收法利用可以将两项