材料力学 第八章叠加法求变形(3,4,5)

努力学习，报效祖国！§8-3用叠加法计算梁的变形及梁的刚度计算一、用叠加法计算梁的变形在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。[例8-3]如图用叠加法求Cw384EI5qL448EIPL3BACw、、解：1.求各载荷产生的位移2.将同点的位移叠加16EIML2A24EIqL316EIPL23EIMLB24EIqL316EIPL26EIML=++试按叠加原理求图a所示简支梁的跨中截面的挠度wC和两端截面的转角A及B。已知EI为常量。例题5-4为了能利用简单荷载作用下梁的挠度和转角公式，将图a所示荷载视为与跨中截面C正对称和反对称荷载的叠加(图b)。例题5-4解:在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，查有关梁的挠度和转角的公式，得EIqlEIlqwC76853842/544148242/331EIqlEIlqB48242/331EIqlEIlqACA1B1wC例题5-4注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨梁AC和右半跨梁CB分别视为受集度为q/2的均布荷载作用而跨长为l/2的简支梁。查有关梁的挠度和转角的公式得384242/2/3322EIqlEIlqBA在集度为q/2的反对称均布荷载作用下，由于挠曲线也是与跨中截面反对称的，故有02CwCA2B2例题5-4按叠加原理得EIqlEIql38473844833321EIqlEIqlEIqlBBB12833844833321EIqlEIqlEIqlAAA例题5-4试按叠加原理求图a所示外伸梁的截面B的转角B，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。已知EI为常量。例题5-5利用简支梁和悬臂梁的挠度和转角公式，将图a所示外伸梁看作由悬臂梁AB(图b)和简支梁BC(图c)所组成。和弯矩应当作为外力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁的B截面处，它们的指向和转向如图b及图c所示。22221qaaqMBqaFB2S例题5-5解:图c中所示简支梁BC的受力情况以及约束情况与原外伸梁BC段完全相同，注意到简支梁B支座处的外力2qa将直接传递给支座B，而不会引起弯曲。简支梁BC，由q产生的Bq、wDq(图d)，由MB产生的BM、wDM(图e)。可查有关式，将它们分别叠加后可得B、wD，它们也是外伸梁的B和wD。例题5-5)(241162238454224EIqaEIaqaEIaq3132242323EIqaEIaqaEIaqBMBqB例题5-5图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB段相同，但要注意原外伸梁的B截面是可以转动的，其转角就是上面求得的B，由此引起的A端挠度w1=|B|·a，应叠加到图b所示悬臂梁的A端挠度w2上去,才是原外伸梁的A端挠度wAEIqaEIaqaEIqa逐段刚化法：变形后：ABAB`BCB`C`变形后AB部分为曲线，BC部分为直线。C点的位移为：wc2L例：求外伸梁C点的位移。LaCABP解：将梁各部分分别引起的位移叠加ABCP刚化EI=PCfc11）BC部分引起的位移fc1、θc1θc1EIpafc331EIpac2212）AB部分引起的位移fc2、θc2CABP刚化EI=fc2θB2PPaθB2aEIPaLafBc322EIPaLB3221cccfff21BccEIPac22EIPaL3EIpafc33aEIPaL3[例8-4]欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。解：EIaqwC384)2(54EIaPa16)2(20Pqa56[例8-5]用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度。CBqaEIqaEI3364顺时针BqaaEIqaaEI22223216()qaEI312顺时针EIqaEIqaawBC245844解:[例8-6]求图示梁B、D两处的挠度wB、wD。解：EIqaEIaqaEIaqwB3143)2(8)2(434EIqaEIaqawwBD3848)2(2243[例8-7]求图示梁C点的挠度wC。解：三.梁的刚度条件[例8-8]图示工字钢梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，[w/l]=1／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷[P]，并校核强度。刚度条件：];[maxlwlw[w]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。CL9TU40][max机械：1/5000~1/10000,土木：1/250~1/1000机械：0.005~0.001radP解：由刚度条件500][483maxlwEIPlw250048lEIP得所以[].P711kNmaxmaxMWz所以满足强度条件。PlWz460MPa[]711.kN图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试按强度条件和刚度条件选择槽钢型号。已知[]=170MPa，[]=100MPa，E=210GPa，。4001lw例题5-7一般情况下，梁的强度由正应力控制，选择梁横截面的尺寸时，先按正应力强度条件选择截面尺寸，再按切应力强度条件进行校核，最后再按刚度条件进行校核。如果切应力强度条件不满足，或刚度条件不满足，应适当增加横截面尺寸。例题5-7解:1.按正应力强度条件选择槽钢型号梁的剪力图和弯矩图分别如图c和图e所示。最大弯矩为Mmax=62.4kN·m。梁所需的弯曲截面系数为3663maxm10367Pa10170mN104.62MWz例题5-7而每根槽钢所需的弯曲截面系数Wz≥367×10-6m3/2=183.5×10-6m3=183.5cm3。由型钢表查得20a号槽钢其Wz=178cm3，虽略小于所需的Wz=183.5cm3，但所以可取20a号槽钢。%5%9.2%1001781785.183例题5-72.按切应力强度条件校核图c最大剪力FS,max=138kN。每根槽钢承受的最大剪力为N10692kN13823max,SF例题5-7Sz,max为20a号槽钢的中性轴z以下半个横截面的面积对中性轴z的静矩。根据该号槽钢的简化尺寸(图d)可计算如下：3*max,mm0001042mm11100mm773mm11100mm50mm100mm73zSz例题5-7当然，的值也可按下式得出：*max,zS3*max,mm104000mm211100mm7mm11100mm211100mm11mm73zS每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为Iz=1780.4cm41780cm4例题5-7故20a号槽钢满足切应力强度条件。于是][MPa57.6Pa106.57m)107)(m10(1780m10104N)1069()2/(6348-36-3max,max,SmaxdISFzz例题5-73.校核梁的刚度条件如图a，跨中点C处的挠度为梁的最大挠度wmax。由叠加原理可得m1066.4)m101780Pa)(21048(210mN101671)]m6.04m4.23()m6.0)(N1012()m9.04m4.23()m9.0)(N1040()m8.04m4.23()m8.0)(N1030()m4.04m4.23()m4.0)(N10120[(481)43(4834893222322232223222234122maxEIblEIbFwwiiiiC例题5-7梁的许可挠度为6mmm106m4.24001][][3llww由于][mm66.4maxww因此，所选用的槽钢满足刚度条件。例题5-7四.提高弯曲刚度的措施影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。一、增大梁的抗弯刚度EI；EIMlw二、减小跨度L或增加支承降低弯矩M；三、改变加载方式和支承方式、位置等。§8-5梁的弯曲应变能一.梁的弯曲应变能WV1.纯弯曲：2.横力弯曲：lxxIExMVd)(2)(2MW21IElMMV21IElM22cxM)(cxM)(EIxxMxMV2dd)(21d2W二.小结：1、杆件变形能在数值上等于变形过程中外力所做的功。Vε=W2、线弹性范围内，若外力从0缓慢的增加到最终值：PWV21则：其中：P-----广义力-----广义位移拉、压：轴力NNFPEALFL扭矩TPEITLP扭转：弯矩MPEIMLz弯曲：[例8-12]试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的挠度。Bw解：PxxM)(lxIExMVd2)(2lxIEPx02d2)(PlEI236BPwW21得由WVEIPlwB33§8-4用比较变形法解超静定梁一.静不定梁的基本概念二.变形比较法解静不定梁用多余反力代替多余约束，就得到一个形式上的静定梁，该梁称为原静不定梁的相当系统，又称静定基。梁的约束个数多于独立静力平衡方程的个数。解：将支座B看成多余约束，变形协调条件为：0Bw03834EIlREIql38EIlRwBBR33EIqlwBq84三.用变形比较法解静不定梁的步骤（1）选取基本静定结构（静定基如图），B端解除多余约束，代之以约束反力；（2）求静定基仅在原有外力作用下于解除约束处产生的位移；（4）比较两次计算的变形量，其值应该满足变形相容条件，建立方程求解。（3）求仅在代替约束的约束反力作用下于解除约束处的位移；§6-4简单超静定梁Ⅰ.超静定梁的解法解超静定梁的基本思路与解拉压超静定问题相同。求解图a所示一次超静定梁时可以铰支座B为“多余”约束，以约束力FB为“多余”未知力。解除“多余”约束后的基本静定系为A端固定的悬臂梁。基本静定系基本静定系在原有均布荷载q和“多余”未知力FB作用下(图b)当满足位移相容条件(参见图c、d)时该系统即为原超静定梁的相当系统。0BBBqww若该梁为等截面梁，根据位移相容条件利用物理关系(参见教材中的附录Ⅳ)所得的补充方程为03834EIlFEIqlB从而解得“多余”未知力qlFB83所得FB为正值表示原来假设的指向(向上)正确。固定端的两个约束力利用相当系统由静力平衡条件求得为28185qlMqlFAA，该超静定梁的剪力图和弯矩图亦可利用相当系统求得，如图所示。思考1.该梁的反弯点(弯矩变换正负号的点)距梁的左端的距离为多少？2.该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求解？如何求解？[例8-10]为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，用短梁CD加固。设二梁EI相同，试求：二梁接触处的压力．解：解除约束代之以约束反力DCDDABwwEIaREIaREIPaDD3365333即RPD54变形协调条件为：[例8-11]梁ABC由AB、BC两段组成，两段梁的EI相同。试绘制剪力图与弯矩图。解：变形协调