材料力学(刘鸿文)第07章02广义胡克定律

广义胡克定律主讲教师：王明禄2020年2月27日星期四§7–8广义胡克定律PP′EE'11221122=+1′2″2′1″E11'112'E221'EE22')(1'21111E)(1'12222E一、平面应力状态的广义胡克定律)(1)(1112211EExxyyxy正应变只跟正应力有关，与剪应力无关；剪应变只跟剪应力有关，与正应力无关；xxyyyxxGEE1)(1)(1二、三向应力状态的广义胡克定律xyzxyxzxyzyxyzzxzy)]([1)]([1)]([1yxzzxzyyzyxxEEEGxyxyGyzyzGzxzx三、主应力状态的广义胡克定律123)]([1)]([1)]([1213313223211EEExyxyG2()1yyzxE2()1xxyzE2()1zzxyE四、应力--应变关系yzyzGxzxzG[例1]已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变值为1=240×10-6，3=–160×10-6。材料的弹性模量E=210GPa，泊松比=0.3。求该点处的主应力值数，并求另一应变2的数值和方向。解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：02即为平面应力状态，有3111E1331E联立两式可解得：MPa3.44101603.02403.011021016293121EMPa3.20102403.01603.011021016291323E669312103.34103.203.44102103.0E主应变2为：其方向必与1和3垂直，沿构件表面的法线方向。[例2]边长为a的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性模量为E、泊桑比为，顶面受铅直压力P作用，求钢块的应力x、y、z和应变x、y、z。Pxyzxyz解：由已知可直接求得：,2aPANy,0z,0xPxyzxyz,2aPyx)]0([10yxE)]0([1xyyE)](0[1yxzE,)1(][1222EaPEyyy2)1()(EaPEyyz[例3]薄壁筒内压容器(t/D≤1/20)，筒的平均直径为D，壁厚为t，材料的E、已知。已测得筒壁上k点沿45°方向的线应变45°，求筒内压强p。45kptDxxyy解：筒壁一点的轴向应力：244xDppDDtt筒壁一点的环向应力：22ypDlpDtlt45kptDxxyy,4tpDxtpDy245°-45°45°-45°tpDyx8324545tpDEE831)(1454545DEtp)1(3845[例4]受扭圆轴如图所示，已知m、d、E、，求圆轴外表面沿ab方向的应变ab。ABmmdab45°316dmWTn解：xyx,0ABmmdab45°,163dmWTnxyx,045°-45°90sin45x)90sin(45x34545)1(161)(1)(1EdmEEEab[例5]壁厚t=10mm,外径D=60mm的薄壁圆筒,在表面上k点处与其轴线成45°和135°角即x,y两方向分别贴上应变片,然后在圆筒两端作用矩为m的扭转力偶,如图所示已知圆筒材料的弹性模量为E=200GPa和=0.3,若该圆筒的变形在弹性范围内,且max=80MPa,试求k点处的线应变x,y以及变形后的筒壁厚度。Dtymk450900x450900Dtxymkτmaxτmaxxyk0MPa80MPa802max3max1zxy可求得:解:从圆筒表面k点处取出单元体,如图所示13k点处的线应变x,y为)(1)(1maxmaxEEyxx)(102.54拉应变xy)(102.5E)(14max压应变圆筒表面上k点处沿径向(z轴)的应变为0)()(maxmaxEEyxz同理可得,圆筒中任一点(该点到圆筒横截面中心的距离为)处的径向应变为0)(Ez因此,该圆筒变形后的厚度并无变化,仍然为t=10mm.§7–9复杂应力状态下的体积应变、比能一、体积应变dxdydzdx+△dxdy+△dydz+△dzdxdydzV0))()((1dzdzdydydxdxV)1)(1)(1(dzdzdydydxdxdxdydz)1)(1)(1(321dxdydzdxdydzV0)1)(1)(1(3211dxdydzV略去高阶微量，得)1(32101VV单元体的体积应变321001VVVV)]([1)]([1)]([1213313223211EEE代入式得：)(21321EV纯剪应力状态：321,0,可见剪应力并不引起体积应变，对于非主应力单元体，其体积应变可改写为0V)(21zyxVE体积应变只与三个主应力（正应力）之和有关，而与其比例无关。令)(31321m)21(3EKKmVm称为平均正应力，K称为体积弹性模量。二、比能单位体积的变形能称为变形能密度，简称比能。⒈单向拉压比能dxdzdydxdydzlddNdU21)(21d(△l)dxdzdy2121dxdydzdxdydzdVdUu⒉纯剪切比能dxdydz)(21))((21dydzdxdxdydzdU21dxdydzdUdVdUu⒊复杂应力状态的比能)(21332211u)](2[21133221232221E⒋体积改变比能与形状改变比能123mm1-mm2-m3-m=+u=uV+uf状态1受平均正应力m作用，因各向均匀受力，故只有体积改变，而无形状改变，相应的比能称为体积改变比能uV。状态2的体积应变：0)]()()[(21)(3212mmmVE状态2无体积改变，只有形状改变，相应的比能称为形状改变比能uf。123mm1-mm2-m3-m=+u=uV+uf2321222)(6213221)323(21EEEummmV2321133221232221)(621)](2[21EEuuuVf])()()[(61213232221Euf[例1]边长为a的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性模量为E、泊桑比为，顶面受铅直压力P作用，求钢块的体积应变V和形状改变比能uf。Pxyzxyz解：由已知可直接求得：,2aPANy,0z,0xxyz,2aPyx)]0([10yxE23221,,0aPaP222321)1)(21()0(21)(21EaPaPaPEEV42222222223)1)(1(])()()[(61EaPaPaPaPaPEuf[例2]证明弹性模量E、泊桑比、剪切弹性模量G之间的关系为。)1(2EG31证明：纯剪应力状态比能为212121Gu321,0,用主应力计算比能222213322123222121)]00(2)(0[21)](2[21EEEu21uu22121EG)1(2EG构件由于强度不足将引发两种失效形式(1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于屈服的强度理论：最大切应力理论和最大畸变能密度理论(2)塑性屈服：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。关于断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论§7-10强度理论概述1.最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力是引起材料断裂的主要因素。即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大拉应力达到简单拉伸时破坏的极限值，就会发生脆性断裂。01－构件危险点的最大拉应力1－极限拉应力，由单拉实验测得b00§7-11四种常见强度理论及强度条件b1断裂条件nb1强度条件铸铁拉伸铸铁扭转局限性：1、未考虑另外二个主应力影响，2、对没有拉应力的应力状态无法应用，3、对塑性材料的破坏无法解释，4、无法解释三向均压时，既不屈服、也不破坏的现象。实验表明：此理论对于大部分脆性材料受拉应力作用，结果与实验相符合，如铸铁受拉、扭。2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大伸长线应变达到简单拉伸时破坏的极限值，就会发生脆性断裂。01－构件危险点的最大伸长线应变1－极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得0E/)]([3211Eb/0实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。强度条件][)(321nb断裂条件EEb)]([1321b)(321即最大切应力是引起材料屈服的主要因素。即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大切应力达到了简单拉伸屈服时的极限值，材料就会发生屈服。0max3.最大切应力理论（第三强度理论）－构件危险点的最大切应力max－极限切应力，由单向拉伸实验测得02/0s2/)(31max屈服条件ss31n强度条件低碳钢拉伸低碳钢扭转ANrmax313tWTτmaxmax313r2max轴向拉、压（单向应力状态）max圆轴扭转（纯剪切应力状态）45)45(第三强度理论在工程中实际问题中的应用实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。局限性：2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。1、未考虑的影响，试验证实最大影响达15%。2最大畸变能密度是引起材料屈服的主要因素。即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大畸变能密度达到简单拉伸屈服时的极限值,材料就会发生屈服。0ddvv4.最大畸变能密度理论（第四强度理论）－构件危险