材料力学(土木类)第七章 应力状态和强度理论(2)

上次课回顾：1、一点处的应力状态2、平面应力状态分析（1）斜截面上的应力2sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyx（2）应力圆OC2FA1B1B2A2D1D2Exyyx120应力圆和单元体的对应关系圆上一点，体上一面；圆上半径，体上法线；转向一致，数量一半；直径两端，垂直两面。（3）主平面和主应力22122xyxyx22222xyxyxyxx2arctan210§7-3空间应力状态的概念下图所示单元体的应力状态是最普遍的情况，称为一般的空间应力状态。图中x平面有：xzxyx,,图中y平面有：yzyxy,,图中z平面有：zyzxz,,在切应力的下标中，第一个表示所在平面，第二个表示应力的方向。xyzOdxdydzxyxzxyxyyzxyzzxxyxxzzyzzxyxyyzzxyzxyzyx,,,,,可以证明，对上述应力状态一定可找到一个单元体，其三对相互垂直的面都是主平面，其上应力分别为：321,,空间应力状态共有9个分量，然而，根据切应力互等定理可知，独立的分量只有6个，即：空间应力状态：三个主应力都不等于零；平面应力状态：两个主应力不等于零；单向应力状态：只有一个主应力不等于零。该单元体称为主单元体。考虑图a所示主单元体中斜截面上的应力。对与3平行的斜截面：同理：和2平行的斜截面上应力与2无关，由1、3的应力圆确定；和1平行的斜截面上应力与1无关，由2、3的应力圆确定。下面分析空间应力状态下的最大正应力和切应力。cab133(b)2121332(a)进一步研究表明，一般斜截面abc面上应力位于图c所示的阴影部分内。由图b可知，该面上应力、与3无关，由1、2的应力圆来确定。1max3min231maxmax作用面为与2平行，与1或3成45°角的斜截面。所以，由1、3构成的应力圆最大，max作用点位于该圆上，且有：因为：O321maxBDAmax(c)注意：max作用面上，0。例7-4用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主平面，最大切应力max及作用面。解：由图示应力状态可知z=20MPa为一主应力，则与该应力平行的斜截面上的应力与其无关。可由图b所示的平面应力状态来确定另两个主应力。202040(b)(a)20MPa20MPa40MPa20MPaxyzMPa461MPa202MPa263图b所示平面应力状态对应的应力圆如图c。最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图d。O31ACD2D1(c)Omax321BACD2D1(d)由此可得：MPa36maxBC作用面与2平行而与1成45°角，如图e所示。最大剪应力对应于B点的纵坐标，即x(e)321max17°解析法：oyxxxyxyxtgMPaMPa85.162211.261.464)(21)(211022minmaxMPaMPaMPa1.26,29,1.46321MPa1.36231max§7-4应力与应变之间的关系1、各向同性材料的广义胡克定律P时，ExEyEz2）纯剪应力状态：GxxyP1）单向应力状态：横向线应变：xxy时，3）空间应力状态：对图示空间应力状态：;,,zyx正负号规定：正应力分量同前，拉为正、压为负；切应力分量重新规定，正面（外法线与坐标轴指向一致）上切应力矢与坐标轴正向一致或负面上切应力矢与坐标轴负向一致时，切应力为正，反之为负。六个应力分量，zxyzxy,,dxdydzxyxzxyxyyzxyzzxxyxxzzyzzxyxyyz对应的六个应变分量，zxyzxyzyx,,,,,正负号规定：正应变分量同前，拉为正、压为负；切应变分量以使直角减小为正，反之为负。对各向同性材料，在线弹性、小变形条件下，正应力只引起线应变，切应力只引起切应变，应力分量和应变分量的关系可由叠加原理求得：三个正应力分量单独作用时，x方向的线应变为：ExxEyxEzxyxzzE1zyxxxxxE1zxyyE1同理可得：则可得：对切应力分量与切应变的关系，有：GxyxyGyzyzGzxzx上述六个关系式即为空间应力状态下，线弹性和小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律。对平面应力状态：设z=0，xz=0，yz=0，有：yxzEyxxE1xyyE1xyxyG1若用主应力和主应变来表示广义胡克定律，有：213331223211111EEE21312221111EEE二向应力状态：,03设有12EG可见，即使3=0，但30而且各向同性材料有VV每单位体积的体积改变，称为体积应变，即：zyxVdddzyxzyxVddd1d1d1d1321321所以：32132121E2、各向同性材料的体应变对图示主单元体，有：而变形后单元体体积为：321dxdzdy可见，任一点处的体积应变与三主应力之和成正比。对平面纯剪应力状态：0231；xy因此：021321E即在小变形条件下，切应力不引起各向同性材料的体积改变，在空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变有关，并有：zyxE21例7-5已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变值为1=240×10-6，3=–160×10-6。材料的弹性模量E=210GPa，泊松比=0.3。求该点处的主应力值数，并求另一应变2的数值和方向。解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：02即为平面应力状态，有3111E1331E联立两式可解得：MPa3.44101603.02403.011021016293121EMPa3.20102403.01603.011021016291323E669312103.34103.203.44102103.0E主应变2为：其方向必与1和3垂直，沿构件表面的法线方向。例7-6讨论图示各应力状态下的体积应变。MPa70321MPa70321因为：所以：2010050(a)408050(b)MPa7021Ea因为：所以：MPa7021Eb可见：ba03210321可见，图c和d所示应力状态下无体积应变。4010060(c)(d)因为：所以：0c因为：所以：0d例7-7边长a=0.1m的铜立方块，无间隙地放入体积较大、变形可忽略的钢凹槽中，如图a所示。已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比=0.34。当受到F=300kN的均布压力作用时，试求铜块的主应力、体应变以及最大切应力。解：铜块应力状态如图b所示，横截面上的压应力为：yxz(b)yxz(a)Faa01zyxxE01xyzzE联解可得：MPa5.15112yzxMPa30AFy受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零，并产生压应力，即有：7.25MPa231max利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：则铜块的主应力为：MPa30MPa5.15321，由此可得其体应变为：43211095.121E例7-8已知图示简支梁C点45°方向的线应变，材料的弹性模量为E，横向变形系数为ν求载荷F。l/32l/3FC45°bhEEE1113145bhFE21⇒12bhEF而：所以：解：C点的应力状态为图示纯剪应力状态。C3210，，31主应力方向如图中红线所示，一主应力方向的应变已知，并且bhFbhFbhFS23/2323例7-9图示圆截面杆，已知d=100mm,E=200Gpa,ν=0.3,.求F、M。FFMMστPWMAF,kNEAFE78500解：6456010400ε,10500ε00)]1(2)1([1])1(21[1)]2()2[(1045PWMEEEEomkNEWMoP.79.6)21(1045§7-5空间应力状态下的应变能密度在线弹性范围和小变形条件下，应变能与加载顺序无关，只取决于外力(变形)的最终值。VVvdd单位体积的应变能，称为应变能密度，即：1、单向应力状态dzdydx2222121ddEEVVvzyxzyxyxxzyVddd21ddd21ddzd21ddd21d3322113322112、三向应力状态比例加载：图示主单元体中，各面上的应力按同一比例增加直至最终值。dzdydx213此时，对每一主应力，其对应的应变能仅与对应的主应变有关，而与其它主应力在该主应变上不作功，同时考虑三个主应力，有：33221121ddVVv由前述广义虎克定律213331223211111EEE有：313221232221221Ev则应变能密度为：zyxVdddd而主单元体体积为：32131m3、形状改变比能一般情况，单元体有体积改变，也有形状改变。1=+主单元体分解为图示两种单元体的叠加，有23(a)mmm(b)2m2'1m1'3m3'(c)平均应力：则体积不变，仅发生形状改变。0321在m作用下，图b无形状改变，且其体积应变同图a，而对图c，因为：与此对应，图a的体积改变能密度等于图b的应变能密度，而图a的形状改变能密度等于图c所示单元体的应变能密度，即：mmmmmmmEE211321而：mmmmmmVv321212121213331223211111EEE332211d212121v而：所以：232121621221323EEvmmmV另外，由图c可得：所以：231232221d61EvdvvvV由两者相加并与图a的应变能密度比较可证明：对一般空间应力状态的单元体，应变能密