材料力学(土木类)第九章 压杆稳定(1)

§９–1压杆稳定性的概念构件的承载能力：①强度②刚度③稳定性工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。P一、稳定平衡与不稳定平衡：1.不稳定平衡2.稳定平衡3.稳定平衡和不稳定平衡二、压杆失稳与临界压力：1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡：F轴压F（较小）压弯F（较小）恢复直线平衡曲线平衡直线平衡QF（特殊值）压弯失稳曲线平衡曲线平衡F（特殊值）保持常态、稳定失去常态、失稳QQQ压杆失稳的现象：1.轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态；2.轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯一的平衡状态；稳定：理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的）（Stable）直线平衡状态；失稳：理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直（Unstable）线平衡状态；压杆失稳时，两端轴向压力的特殊值临界力（Criticalforce）§9-2细长中心受压直杆临界力的欧拉公式思路：假设压杆在某个压力Fcr作用下在曲线状态平衡，1）求得的挠曲函数≡0，2）求得不为零的挠曲函数，然后设法去求挠曲函数。若：平衡状态；说明只有直线确能够在曲线状态下平衡，说明压杆的稳现象。即出现失xwxyF(a)BAcrll2x(b)BywFcrM(x)=FcrwM(x)=Fcrw0''2wkw''EIw)(xMwFcrkxBkxAwcossin当x=0时，w=0。kxBAcos00得：B=0，kxAwsin2crkEIF令（+）以图示两端铰支压杆为例：xwxyF(a)BAcrll2x(b)BywFcrM(x)=FcrwkxAwsin又当x=l时，w=0。得Asinkl=0要使上式成立，1）A=0w=0；代表了压杆的直线平衡状态。2）sinkl=0此时A可以不为零。0sinkxAw失稳!!!0sinklnklnlEIFcr失稳的条件是：222crlEInFmincrcrFF22lEI理想中心压杆的欧拉临界力22crlEIF在确定的约束条件下，欧拉临界力Fcr：有关，1）仅与材料（E）、长度(l)和截面尺寸(A)2）是压杆的自身的一种力学性质指标，反映承载能力的强弱，3）与外部轴向压力的大小无关。材料的E越大，截面越粗，短，杆件越临界力Fcr越高；临界力Fcr越高，越好，稳定性承载能力越强；M(x)=0''2wkw''EIw)(xMwFcr2crkEIF令Fcr(-w)=-Fcrw与前面获得的结果相同。挠曲函数与采用的坐标系或规定弯矩的符号无关。xwF(c)BAcrll2xwFcrM(x)=Fcrwxy(d)By（+）§9-3不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式·压杆的长度系数0.5l各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式支承情况两端铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由两端固定但可沿横向相对移动失稳时挠曲线形状FcrABl临界力Fcr欧拉公式长度系数μ22lEIFcr22)7.0(lEIFcr22)5.0(lEIFcr22)2(lEIFcr22lEIFcr=10.7=0.5=2=1FcrABlFcrABl0.7lCCDC—挠曲线拐点C、D—挠曲线拐点0.5lFcrFcrl2llC—挠曲线拐点细长压杆临界力的欧拉公式的统一形式22)(lEIFcr其中，μ—压杆长度系数μl—压杆的相当长度。FMkwkw22MFwxMEIw)(EIFk2:令FMkxdkxcw/sincos0',;0',0wwLxwwx解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：边界条件为:例9-1试由挠曲线近似微分方程，导出下述两种细长压杆的临界力公式。ＦLxＦM0ＦM0ＦM0xＦFw-M0nkLnkLdFMc2,0,并2222)2/(4LEILEIFcr2kL为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：所以，临界力为：2nkL=0.5例9-2图示结构，各杆的EI相同，均为细长压杆，求临界力Fcr。Fcrlαα解：)cos1(2cos2cos)cos(2)7.0(32221222223122222lEIFFFlEIlEIFFlEIlEIFcrcrcrcrcrcr例9-3图示结构，各杆的EI相同，均为细长压杆，试求α=？F最大。αF①②30ol解：222222214,34)30cos(lEIFlEIlEIFcrocrsin34sin'221lEIFFcrcrcos4cos''221lEIFFcrcrocrcrtgFF43.18,31,'''AFcrcr一、欧拉公式的应用范围1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。3.柔度：222222)/()(EiLEALEIAFcrcr2.细长压杆的临界应力：—惯性半径。—AIi）—杆的柔度（或长细比—iL22Ecr即：§9-4欧拉公式的应用范围·临界应力总图4.欧拉公式的应用条件：PcrE22欧拉公式求。长细杆），其临界力用的杆称为大柔度杆（或满足PPPE2求。临界力不能用欧拉公式的杆为中小柔度杆，其P二、中小柔度杆的临界应力计算与临界应力总图1.直线型经验公式①PS时：scrbassba界应力用经验公式求。的杆为中柔度杆，其临PsbacriLcr界应力为屈服极限。的杆为小柔度杆，其临S22Ecr③临界应力总图②S时：scrbacrPSbassPPE22.抛物线型经验公式211bacrScEAA56.043.016253，锰钢：钢和钢、对于。时，由此式求临界应力c我国建筑业常用：①Ps时：21cscr②s时：scr3、折减弹性模量公式σsσcrOλσpλp22Ecr22rcrE例9-4图示结构，已知E=200Gpa,λ122时，σcr=240-0.0068λ2MPa。求Fcr=?Fcr61008300510解：1杆：122805.210025.21111111ilAIikNAFMPacrcrcr32.43.19600682.024011121Fcr610083005102杆：1225.145443.13007.0443.12222222ilAIikNlEIFcr66.4)(222所以，Fcr=4.32kN练习题：图示结构中，AB为刚性杆，BD杆为细长压杆，EI，l已知。试求结构的临界载荷。FCABaalD