材料力学(土木类)第二章 轴向拉压(3)

§2-5拉（压）杆的变形·胡克定律1、拉(压)杆的纵向变形绝对变形线应变--每单位长度的变形，无量纲lll-1ll相对变形长度量纲FFdll1d1当杆件因荷载或截面尺寸变化的原因而发生不均匀变形时，不能用总长度内的平均线应变代替各点处的纵向线应变。xyzCAOBxAB'xx+dxx截面处沿x方向的纵向平均线应变为xxdx截面处沿x方向的纵向线应变为xxxxxxddlim0dd线应变以伸长时为正，缩短时为负。2、横向变形dd横向绝对变形ddd-1横向线应变FFdll1d1AFllEAFll3、荷载与变形量的关系——胡克定律当杆内应力不超过材料的某一极限值（“比例极限”）时引进比例常数EEAlFNFFdll1d1E—弹性模量，量纲与应力相同，为，2-1-TMLEAlFlN拉（压）杆的胡克定律EA—杆的拉伸（压缩）刚度。单位为Pa；FFdll1d1AFEllN1E称为单轴应力状态下的胡克定律EAlFlN即FFdll1d14、横向变形的计算单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，一点处的纵向线应变与横向线应变的绝对值之比为一常数：ν或ν-n-----横向变形因数或泊松比FFdll1d1低碳钢（Q235）：28.0~24.0νGPa210~200E例2-8一阶梯状钢杆受力如图，已知AB段的横截面面积A1=400mm2，BC段的横截面面积A2=250mm2,材料的弹性模量E=210GPa。试求：AB、BC段的伸长量和杆的总伸长量。F=40kNCBAB'C'解：由静力平衡知，AB、BC两段的轴力均为FFNl1=300l2=200故11N1EAlFlmm143.022N2EAlFlmm152.0233mm400MPa10210mm300N1040233mm250MPa10210mm200N1040F=40kNCBAB'C'l1=300l2=200AC杆的总伸长21lll+mm295.0152.0143.0+F=40kNCBAB'C'例2-9图示杆系，荷载F=100kN,求结点A的位移A。已知两杆均为长度l=2m，直径d=25mm的圆杆，=30º，杆材(钢)的弹性模量E=210GPa。解：1、求两杆的轴力。cos22N1NFFF0xFFFcos21N2N1NFF0yF得xyFN2FN1FABC12AF2、由胡克定律得两杆的伸长：21llEAlFEAlF2N1Ncos2EAFlcosπd22EFl根据杆系结构及受力情况的对称性可知，结点A只有竖向位移。FABC123、计算节点位移此位置既应该符合两杆间的约束条件，又满足两杆的变形量要求。关键步骤——如何确定杆系变形后结点A的位置？ABC12A'21A2A1A'A''coscos21AAAAAA即coscos21llΔA由变形图即确定结点A的位移。由几何关系得22cosπ2dEFl21A2A1A'A'')(mm293.130cos])mm25(π)[MPa10210()mm102)(N10100(222333AΔ代入数值得杆件几何尺寸的改变，标量此例可以进一步加深对变形和位移两个概念的理解。变形位移结点位置的移动，矢量与各杆件间的约束有关，实际是变形的几何相容条件。二者间的函数关系ABC12A'§2-6拉(压)杆内的应变能应变能——弹性体受力而变形时所积蓄的能量。单位：WVεmN1J1应变能的计算：能量守恒原理焦耳J弹性体的功能原理Fl1ll拉(压）杆在线弹性范围内的应变能外力功：lFW21)(EAFllWVε杆内应变能：lF21EAlF22EAlF22NFl1llFlFl)(EAFllWVεlF21llEA2)(2或Fl1llFlFl应变能密度VVvεε应变能密度单位：3m/Jεv——杆件单位体积内的应变能两端受轴向荷载的等直杆，由于其各横截面上所有点处的应力均相等，故全杆内的应变能是均匀分布的。AllF2121E2222E)(EFFll1qxxF)(NEAxxFV2d)(d2NεllEAxxFVV02Nεε2d)(dFN(x)FN(x)+dFN(x)lBAqxBqqldxFN(x)J67.64mmN1067.64])mm25(4π)[MPa10210()mm102()30cos2N1010()cos2(22323323221NεEAlFEAlFV解：例2-10求图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理求结点A的位移A。已知F=10kN,杆长l=2m，杆径d=25mm,=30°，材料的弹性模量E=210GPa。cos22N1NFFFFABC12)(mm293.1N10100mmN1067.642233εFVΔAε21VFΔAJ67.64mmN1067.643εV而FABC12练习题：求图示变截面杆D点的位移。已知，E=200GPa,A1=500mm2,A2=300mm2。50kN20kN40kNA1A2A1ABCD1m2m1m