材料力学(土木类)第十一章 能量法(1)

§11－1概述1.能量法：利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法。2.能量法的应用范围：（1）线弹性体；非线性弹性体（2）静定问题；超静定问题（3）是有限单元法的重要基础§11－2应变能余能1.应变能(1)线弹性体的各基本变形形式下的应变能表达式(参见上册)拉(压)杆EAlFWV22N＝＝圆轴扭转IGlTWVp22＝＝梁弯曲lEIxxMWV2d)(2＝＝(2)非线性弹性体的应变能表达式对图(a)的拉杆,)关系如图(其bΔFF在d上所作微功为dW=FdF作的总功为：1100ddFWW（F-曲线与横坐标轴间的面积）AFl(a)FF1FdO1(b)由能量守恒得应变能：10dFWV(此为由外力功计算应变能的表达式）类似，可得其余变形下的应变能：wwFV0d＝而弯曲：梁受F0edMVMe＝而弯曲：梁受0xdMVMx＝而扭转：圆轴受若取各边长为单位长的单元体，则作用于上、下表面上的力为:F=11=其伸长量为：＝1＝则作用于此单元体上的外力功为：10dW注意到此单元体的体积为单位值，从而此时的应变能(数值上等于上式中的W)为应变能密度:10dv(-曲线与横坐标轴间的面积）Od11(c)若取边长分别为dx、dy、dz的单元体，则此单元体的应变能为：zyxvVdddd整个拉杆的应变能为：VvVVvvdd(此为由应变能密度计算应变能的表达式)为常量积内特别地，在拉杆整个体vεAlvVvV所以有说明：线弹性体的v、V可作为非线性体的v、V的特例。由于线弹性的F与或与成正比，则F－曲线或－曲线与横坐标轴围成一个三角形，其面积等于应变能V和应变能密度v。lEAEAlFFWV2221212111EEv22121d21211101同理，可得纯剪时的应变能密度v为：GGv22121d21211101例11-1弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作用，如图所示。试求梁内的应变能。解：梁的挠曲线方程为：lxlxlxEIlqw44334224荷载所作外力功为：wxqWld210将前一式代入后一式得：EIlqWV24052wxlyABqx例11-2原为水平位置的杆系如图a所示，试计算在荷载F1作用的应变能。两杆的长度均为l，横截面面积均为A，其材料相同，弹性模量为E，且均为线弹性的。解：设两杆的轴力为FN，则两杆的伸长量均为：EAlFlN两杆伸长后的长度均为：EAFlllN1F111ll(a)EAFllllllllllllllNl222112222由图a的几何关系可知：F111ll(a)22tan2sin2FllFFFFN代入前一式得：lEAF3或：EAlF3（几何非线性弹性问题）其F-间的非线性关系曲线为：应变能为：1134103104141dd1FEAlEAlFVFF=()EA3O/l2.余能设图a为非线性弹性材料所制成的拉杆，拉杆的F-曲线如图b。“余功Wc”定义为：FCFW10d与余功相应的能称为余能Vc，余功Wc与余能Vc在数值上相等。F(a)FOdF1F1(b)FCcFWV10d（代表F-曲线与纵坐标轴间的面积）即：FOdF1F1(b)另外，也可由余能密度vc计算余能Vc：VvVcccd其中，余能密度vc为：10dcv（代表图c中-与纵坐标轴间的面积）Od1(c)•对线弹性材料，余能和应变能仅在数值上相等，其概念和计算方法却截然不同。注意：•对非线性材料，则余能Vc与应变能V在数值上不一定相等。•余功、余能、余能密度都没有具体的物理概念，仅是具有功和能的量纲而已。例11-3试计算图a所示结构在荷载F1作用下的余能Vc。结构中两杆的长度均为l，横截面面积均为A。材料在单轴拉伸时的应力一应变曲线如图b所示。解：两杆轴力均为：cos21FFN两杆横截面上的应力为：cos211AFAFNO111)(n/1nK(b)F1CBD(a)11cos)1()2()(2nnnccFnKAllAvV所以余能为余能密度为：1100ddncKv由已知nK§11－3卡氏定理1.卡氏第一定理设图中材料为非线性弹性，由于应变能只与最后荷载有关，而与加载顺序无关。不妨按比例方式加载，从而有iniiFWVd101假设与第i个荷载相应的位移有一微小增量di,则应变能的变化为：iiVVdd123n123nB因仅与第i个荷载相应的位移有一微小增量,而与其余各荷载相应的位移保持不变，因此，对于位移的微小增量di，仅Fi作了外力功，外力功的变化为：iiFWdd注意到上式与下式在数值上相等iiVVdd从而有：iiVF（卡氏第一定理）注意：•卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体。•式中Fi及i分别为广义力、广义位移。•必须将V写成给定位移的函数，才可求其变化率。例11-4由两根横截面面积均为A的等直杆组成的平面桁架，在结点B处承受集中力F，如图a所示。两杆的材料相同，其弹性模量为E，且均处于线弹性范围内。试按卡氏第一定理，求结点B的水平和铅垂位移。解：设结点B的水平和铅垂位移分别为1和2，先假设结点B只发生水平位移1（图b）10112245cosBCAB则：AB(b)CB'1ABF45O(a)Cl同理，结点B只发生铅垂位移2（图c）则：2022245sin0BCAB当水平位移与铅垂位移同时发生时，则有（叠加）21122BCABAB(c)CB''221212121221212222lEAlEAlEAVii应用卡氏第一定理得FVV210及解得：EAFlEAFl）（及22121桁架的应变能为2.卡氏第二定理设有非线性弹性的梁，梁内的余能为：iniFccFiWVd110假设第i个荷载Fi有一微小增量dFi，而其余荷载均保持不变，因此，由于Fi改变了dFi，外力总余功的相应改变量为：iicFWdd余能的相应改变量为：iiccFFVVdd123n123nB由于外力余功在数值上等于余能，得ccWVdd解得：FVici（称为“余能定理”）特别：对线弹性体，由于力与位移成正比，应变能V在数值上等于余能Vc，此时上式变为：FVii（称为“卡氏第二定理”）式中的Fi和i分别为广义力和广义位移。注意：•卡氏第一定理和余能定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体，而卡氏第二定理作为余能定理的特例，仅适合于线弹性体。lilipliNNlilpilNiixFMEIMxFTGITxFFEAFxEIMFxIGTFxEAFFdddd2d2d2222•所导出的位移是加力点沿加力方向的位移。•当所求位移处无相应广义力时，可在该处“虚加”上广义力，将其看成已知外力，反映在反力和内力方程中，待求过偏导后，再令该“虚加”外力为0。•实际计算时，常采用以下更实用的形式：例11-5求悬臂梁B点的挠度。EI为常数。qFAxBlxFxMqxFxxM)(,2)(2EIqlEIFldxFxMEIxMFVwlB83)()(43例11-6图示桁架结构。已知：F=35kN,d1=12mm,d2=15mm,E=210Gpa。求A点垂直位移。CB45o30o①②1mA0.8mF312,312312,3122121FFFFFFFFNNNNmmEAFlEAFlFFAElFFVniNjjjjNjy365.13123122222111例11-7弯曲刚度为EI的悬臂梁受三角形分布荷载如图所示。梁的材料为线弹性体，且不计切应变对挠度的影响。试用卡氏第二定理计算悬臂梁自由端的挠度。解：在自由端“虚加”外力F任意x截面处的弯矩为：Fxxlq)x(M)x(M)x(MFq3061xF)x(MqqxlyABx00lxFEIlqxxlxqEIxFxMEIxMwllFA30d61d)()(4003000例11-8弯曲刚度均为EI的静定组合梁ABC，在AB段上受均布荷载q作用，如图a所示。梁材料为线弹性体，不计切应变对梁变形的影响。试用卡氏第二定理求梁中间铰B两侧截面的相对转角。解：在中间铰B两侧虚设一对外力偶MB（图b)各支反力如图b。AB段弯矩方程：222)(22xqlqMxlMqlxMBBqACBllMBMB222qlMBlMqlBlMBACBqxx由卡氏第二定理得：EIlqxxxMEIxMBMBMlB247d)()(300结果符号为正，说明相对转角B的转向与图b中虚加外力偶MB的转向一致。BC段弯矩方程xlM)x(MB例11-9求图示刚架B截面ΔBx,ΔBy。F=qaFfCBqaAa解：（1）求ΔBx：222222111)(,2)(:0)(,)(:xFxMxFqxFaxMACFxMFxxMBCfffafBxEIqadxxqxqaEIFV042222228521（2）求ΔBy：aFxMqxFaxMACxFxMFxxMBC)(,2)(:)(,)(:22221111EIqadxqxFadxxFxEIaaBy2321420022111例11-10图示弯曲刚度为EI的等截面开口圆环受一对集中力F作用。环的材料为线弹性的，不计圆环内剪力和轴力对位移的影响。试用卡氏第二定理求圆环的张开位移和相对转角。。解：1、张开位移)cos1()()cos1()(RFMFRMFRFR(1-cos))(3dcos12)d()()(1232030EIRFEIRFRFMMEIFV所以FRFR(1-cos)2、相对转角：FRFR(1-cos)MfMf0222)cos1(21)()cos1()(EIFRdEIFRMMMFRMffFMNAAFBT例11-11图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力F的作用，求A点的垂直位移。解：①求内力sin)(:FRM弯矩)cos1()(:FRT扭矩AFRFN②变形：LLPEIMFTGITRdF)M()(Rd)()(022022d)(sind)cos1(REIFRRGIFRP)(22333EIFRGIFRP