5点的运动学

理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波一.运动学任务1.点和刚体运动的描述(运动方程);2.点的运动特征量(轨迹,速度和加速度);3.刚体运动特征量(角速度和角加速度)。二.明确两个基本概念1.物体在空间的位置必须说明它是对哪个物体而言的；2.运动学中涉及的时间概念主要是瞬时和时间间隔。理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波四.难点,重点:（1）点的合成运动；（2）刚体的平面运动。三.要求1.能选用合适的方法描述点的运动和刚体的基本运动。能熟练的计算速度和加速度,角速度和角加速度;2.能正确的分析刚体的平面运动,能熟练地确定速度瞬值，计算刚体角速度,熟练的选用不同的方法求平面图形上各点的速度和角速度;3.正确地选择动点和动系，应用合成运动的方法求点的速度和加速度。理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波主要内容1．能用矢量法建立点的运动方程，求点的速度和加速度。2．能熟练地应用直角坐标法建立点的运动方程，求点的轨迹、速度和加速度。3．能熟练地应用自然法求点在平面上作曲线运动时的运动方程、速度和加速度，并正确理解切向加速度和法向加速度的物理意义。理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波第一节矢量法矢径()tOPr运动方程()trr位移()()tttrrr()tr矢端曲线OPP´r速度加速度()ttr轨迹理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波矢端曲线速度矢径矢端曲线切线加速度速度矢端曲线切线第一节矢量法理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波第二节直角坐标法()()()()txtytztrijkyzp)(troijkx运动方程速度加速度理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波第二节直角坐标法例1椭圆规的曲柄OC可绕定轴O转动，其端点C与规尺AB的中点以铰链相连接，而规尺A，B两端分别在相互垂直的滑槽中运动。,,OCACBClMCat已知：。求：①M点的运动方程；②轨迹；③速度；④加速度。理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波第二节直角坐标法解：点M作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。运动方程()cos()cosxOCCMlattalAMysin)(sin消去t,得轨迹1)((2222alyalx）理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波第二节直角坐标法速度talxvxsintalyvycos)(22()sincos(,)2cos2xvlatvivlaalt22()coscos(,)2cos2yvlatvjvlaalt2222222222()sin()cos2cos2xyvvvlatlatlaalt理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波第二节直角坐标法加速度talxvaxxcos2talyvayysin2taltalaaayx24224222sin(cos）2222cos2laalt22()coscos(,)2cos2xalataialaalt22()sincos(,)2cos2yalatajalaalt理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波第二节直角坐标法例2正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速转动，它与水平线间的夹角为其中为t=0时的夹角，为一常数。已知动杆上A，B两点间距离为b。求点A和B的运动方程及点B的速度和加速度。,t理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波第二节直角坐标法解：A，B点都作直线运动，取Ox轴如图所示。运动方程)sin(sintrbrbxA)sin(sintrrxBB点的速度和加速度trxvBBcos22sinBBBaxrtx理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波()xtTxt周期运动频率Tf1第二节直角坐标法理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波第二节直角坐标法绳的一端连在小车的A点上另一端跨过B点的小滑车绕在鼓轮C上，滑车离地的高度为h。若小车以匀速度v沿着水平方向向右运动，求当时B、C之间绳上一点P的速度和加速度。45hPθCABxv例3：理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波第二节直角坐标法半径为R的轮子沿直线轨道纯滚动(无滑动地滚动)。设轮子保持在同一竖直平面内运动，且轮心的速度为已知值u，试分析轮子边缘一点M的运动。例三:MMRo理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波第二节直角坐标法取坐标系Axy如图所示，并设M点所在的一个最低位置为原点A，则当轮子转过一个角度后，M点坐标为)sin(sinROMACx)cos1(cosROMOCy这是旋轮线的参数方程。oRCAxyM理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波第二节直角坐标法0vORCAxyM—M点在该瞬时静止！当M点位于最高点时，即(21)k2k当M点与地面接触时，即2vRi为什么？理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波第三节自然坐标法如果点沿着已知的轨迹运动，则点的运动方程可用点在已知轨迹上所走过的弧长随时间变化的规律描述。•弧坐标sOM(－)(+)n()sft运动方程：•自然轴系曲线上任一点的切线和法线组成曲线在该点的自然坐标系n理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波MM111副法线nbbn第三节自然坐标法理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波第三节自然坐标法理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波•运动速度1r2rMMrosv,0ttrvt0limsdtdsvdtdsvv•运动方程)(tsssrdtdstssrt0lim第三节自然坐标法理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波•运动加速度dtvdatdtdt0limdtdvdtdvsMM2sin2,0t,022sintsst0limtssts00limlimv1nvdtdva2第三节自然坐标法理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波第三节自然坐标法22tnaaa22ddddtvsatt—切向加速度221ddnvsat—法向加速度曲线匀速运动0000,,tavvssvt常数曲线匀变速运动20001,,2tttavvatssvtat常数理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波第三节自然坐标法特殊情况:•直线运动.0naaat•匀速曲线运动.常量dtdsv,0tanaavtss0•匀变速曲线运动.常量ta20021tatvsst)(20202ssavvttavvt0理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波第三节自然坐标法01lim2sin2ss0limssdds1)(tss0sP´srPor—曲线上P点的曲率2sin2理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波dtdva点的运动加速度aanavs匀速000匀变a=C0a=C直线运动变速0匀速0匀变a=C曲线运动变速dtdvaCvvttfs)(atvv02021attvstadtvv00tvdts0dtdva2van2van2van2va22naaa22naaaCvtavv0tdtavv00vts2021tatvstvdts0第三节自然坐标法理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波例4列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达54km/h。求列车起点和未点的加速度。第三节自然坐标法理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波解：列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图。215ms=0.125ms120stvat2220.308mstnaaa①0,0nat20.125mstaa②120smin2t222(15ms)=0.281ms800mnvaR00,0ttavv常数已知：R=800m=常数，2min54kmhtv。02min,ttaa求：。0,0tav由常数tavt有第三节自然坐标法理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波解：由点M的运动方程，得txatxvxx4sin32,4cos8tyatyvyy4cos32,4sin84,0zzvzaz222222280ms,32msxyzxyzvvvvaaaa从而2d0,32msdtnvaaat而22.5mnva故例5已知点的运动方程为x=2sin4tm，y=2cos4tmz=4tm。求：点运动轨迹的曲率半径。第三节自然坐标法理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波例6半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（称为纯滚动），设轮子转角为常值），如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点M的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。(t第三节自然坐标法理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波解：M点作曲线运动，取直角坐标系如图所示。OCMCrrtttrMOOCxsinsin1从而trMOCOycos1cos11由纯滚动条件1cos,sinxyvxrtvyrt)202sin2)cos1(222ttrtrvvvyx（第三节自然坐标法理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波第三节自然坐标法22sin,cosxyaxrtayrt222raaayx又点M的切向加速度为2cos2ttavr则有222sin2nttaaar理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波【思考题】1.选择题D(1)动点作匀速曲线运动是指()A.点的加速度大小B.点的加速度C.点的切向加速度大小D.点的切向加速度常量a常量a常量a常量a理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波(2)已知点沿其轨迹的运动方程为s=b+ct，式中b、c均为常量，则()CA.点的轨迹必为直线B.点的轨迹必为曲线C.点必作匀速率运动D.点的加速度必等于零(3)动点在运动过程中，恒有，点做何种运动()0naa常量，BA.加速曲线运动B.匀变速曲线运动C.变速直线运动D.匀变速直线运动理论力学第五章点的运动学临沂大学机械工程学院机械工程系徐波(4)已知点的运动方程为，其轨迹方程为()33,4232tytxB03642.02422.01823.03643.yxDyxCyxByxA(5)在图9-1中，动点M沿螺线自外向内运动