第26章反比例函数全章

26.1.1反比例函数京沪铁路全程1463km，某列车的平均速度vkm/h随运行时间th的变化而变化(试用t表示v）.情境问题一V=1463t_____情境问题二某小区要种植一个面积为1000m的矩形草坪，它的长ym随宽xm的变化而变化（试用x表示y）.2y=1000x____情境问题三北京市总面积为1.68x10平方千米，人均占地面积S平方千米/人随全市人口n人的变化而变化（试用n表示s）.S=1.68x10n_______44比一比上述三个解析式分别为：1.你能说出它们的共同特征吗？2.你能用一个一般形式表示出来吗？vt1463nS41068.1xy1000思考反比例函数中自变量x的取值范围是什么?形如（k为常数,k≠0）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数。xkyvt1463nS41068.1xy1000你能举出几个反比例函数的表达式吗？思考:xy=4中,y是x的反比例函数吗？xkyy=kx-1xy=ky与x成反比例判断：下列各式是否是反比例函数，如果是,说出k的值.1.y=4x4.y=-2.y=6x+15.=33.xy=1236.y=5x3x__yx__(否)(否)(否)(是)(是)(是)-11.若函数y=(m+2)x是反比例函数，则m_____,n_____;2.若函数y=(m+3)x是反比例函数，则m=_____;3.若函数y=是反比例函数，则m=_______.n-1lml-4m-1x____lml=0≠-23-1填空：xkyy=kx-1xy=ky与x成反比例记住这三种等价形式：（k≠0）例1.下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？可以改写成，所以y是x的反比例函数，比例系数k=1。xy1xky不具备的形式，所以y不是x的反比例函数。y是x的反比例函数，比例系数k=4。xky不具备的形式，所以y不是x的反比例函数。可以改写成所以y是x的反比例函数，比例系数k=21)1()21(xy2)5(1)4(1)3(21)2(4)1(xyxyxyxyxy2)5(1)4(1)3(21)2(4)1(xyxyxyxyxy2)5(1)4(1)3(21)2(4)1(xyxyxyxyxy2)5(1)4(1)3(21)2(4)1(xyxyxyxyxy2)5(1)4(1)3(21)2(4)1(xyxyxyxyxyy=32xy=3x-1y=2xy=3xy=13xy=x1.224.05xyxyxyxyxyxyxyxy5157362下列函数中哪些是反比例函数?哪些是一次函数?.224.05xyxyxyxy.224.05xyxyxyxy224.05xyxyxyxyxyxyxyxy5157362xyxyxyxy5157362反比例函数一次函数1.在下列函数中，y是x的反比例函数的是（）（A）（B）+7（C）xy=5（D）2.已知函数是正比例函数,则m=___；已知函数是反比例函数,则m=___。y=8X+5y=x3y=x22y=xm-7y=3xm-7C863.关系式xy+4=0中y是x的反比例函数吗?若是，比例系数k等于多少？若不是，请说明理由。xy+4=0可以改写成xy4比例系数k等于－4所以y是x的反比例函数4.当m＝时，关于x的函数y=(m+1)xm2-2是反比例函数？分析:｛m2-2=-1m+1≠0｛即m=±1m≠-11例2.已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=6.(1)写出y与x的函数关系式:(2)求当x=4时y的值.xky解：设1因为当x=2时y=6，所以有26k12k∵y与x的函数关系式为xy12⑵把x=4代入得xy123412y【待定系数法求反比例函数的表达式】变式:y是x-1的反比例函数,当x=2时,y=-6.(1)写出y与x的函数关系式.(2)求当y=4时x的值.(2).根据函数表达式完成上表..xky.2k得.2xy2-41例3.(1).写出这个反比例函数的表达式;解:∵y是x的反比例函数,是哪类函数？的函数表达式，并判断与求时且当成反比例与已知xyyxxy,41,2112211xkxky解：由题意知2211xkxky由x=1时，y=4的一次函数是xyxyxykk3211143的一次函数是xyxyxykk3211143的一次函数是xyxyxykk3211143的一次函数是xyxyxykk3211143的一次函数是xyxyxykk3211143知识点1反比例函数的定义1.判别下列式子是否表示y是关于x的反比例函数？如果是，请指出相应的k值是多少？①y＝4x；②y＝－5x；③y＝6x＋1；④yx＝3；⑤xy＝123；⑥y＝－kx；⑦y＝－x；⑧y＝xπ；⑨y＝3x－1.解：②⑤⑨是反比例函数，k值分别为－5,123,3.反比例函数定义式及常见的变式(k为常数，k≠0)：①y＝kx；②y＝kx－1；③xy＝k.【跟踪训练】1．下列函数中，是反比例函数的是()D2．已知函数y＝kxk－2是反比例函数，求k的值．解：由题意得，k－2＝－1且k≠0，解得k＝1.A．x(y－1)＝1B．y＝1x＋1C．y＝1x2D．y＝3x3.已知函数是正比例函数,则m=___;已知函数是反比例函数,则m=___.已知函数是反比例函数,则m=___。y=xm-7y=3xm-7y=(m-3)x2-|m|86-3判断一个等式为反比例函数,要两个条件:(1)自变量的指数为-1;(2)自变量系数不为0.知识点2求反比例函数解析式(重点)2.(1)已知变量y与x成反比例，并且当x＝3时，y＝7，①写出y与x之间的函数解析式；②求当x＝7时函数的值；(2)已知函数y＝y1－y2，y1与x成正比例，y2与(x－2)成反比例，且当x＝3时，y＝5；当x＝1时，y＝－1，求出y与x的函数解析式．1．已知反比例函数y＝2x的图象经过点A(m,1)，则m的值为________【跟踪训练】22.反比例函数y＝kx和一次函数y＝12x－4都经过点A(－2，m)，求反比例函数的解析式．【课堂练习】1.y是x成反比例,当x=3时,y=4.(1)写出y与x的函数关系式.(2)求当y=1.5时x的值.2.已知函y=m+n,其中m与x成正比例,n与x成反比例,且当x=1时,y=4;x=2时y=5.(1)求y与x的函数关系式.(2)当x=4时,求y的值.26.1.2反比例函数的图象和性质(1)1、什么是反比例函数？2、反比例函数的定义中还需要注意什么？◆自变量x的取值范围一般地，形如的函数叫做反比例函数．kyx◆自变量x的次数为3、请回忆：正比例函数的图象和性质-2（k是常数，k≠0）-1x≠0◆若函数y=（m-2)xm2-5是反比例函数，则m=，性质图象名称解析式图象位于：一、三象限y随x的增大而增大图象位于：二、四象限y随x的增大而减小K0K0y=kx(k≠0)直线(过原点）增减性：增减性：x……y……1、列表:2、描点:3、连线:·y-4-3-2-101234x654321-1-2-3-4-5-6O········-0.5-1-2-44210.5◆请你另外取一个正整数k的值，作出其反比例函数图象图象会和坐标轴相交吗？◆反比例函数的图象2yx2y=x◆通过对k取不同的正值，作出了反比例函数的图象，你发现了反比例函数的图象是什么?分别在哪个象限内？-4-2-1-0.50.5124[注意]：图象不会与x轴、y轴相交·y-4-3-2-101234x654321-1-2-3-4-5-6O·y-4-3-2-101234x654321-1-2-3-4-5-6Oxy2xy31yx4yx下面是k取1、2、3、4的反比例函数图像◆图象不是直线，是两支曲线，分别在一、三象限内xy=x6123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xy16233241.551.2616-1-6-2-3-3-1.5-2-4-5-1.2-6-1…………◆图象由两条曲线组成，叫做双曲线，◆只要k取正值，图象都位于第一、三象限内◆K的值还可以取其他一些什么值？说说看6yx的图象xy6再认真观察·y-4-3-2-101234x654321-1-2-3-4-5-6O·y-4-3-2-101234x654321-1-2-3-4-5-6O2yxxy2xy33yx①列表、描点、连线②对称性的图象关于原点对称xky的图象关于坐标轴对称、xkyxky320、的图象？如时怎样画出当kxkyk反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和y=-x。对称中心是：原点xy012y=—kxy=xy=-x123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556yx123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xy发现函数值y怎样随着自变量x的变化而变化？·AB·如图xBxA但yByA6yx6yxD·C·的图象和观察xyxy66xAxB1、在每一个象限内2、在整个自变量的取值范围内K0K0当k＞0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小.当k＜0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.1.反比例函数的图象是双曲线;2.图象性质：图象性质y=xk反比例函数的图象和性质A：xyoB：xyoD：xyoC：xyo1、反比例函数y=-的图象大致是（）x5D例.已知反比例函数的图象的一支如图所示.（1）判断k是正数还是负数；（2）求这个反比例函数的解析式；（3）补画这个反比例函数图象的另一支。(0)kykx1、下列反比例函数的图象分别在哪个象限？⑴⑵yx0y=x3y=-x12、已知反比例函数（k≠0）的图象的一个分支如图，请补画它的另一个分支。y=xk(4，1).1、函数的图象在第________象限,在每一象限内，y随x的增大而_________.2、函数的图象在第________象限,在每一象限内，y随x的增大而_________.3、函数,当x0时,图象在第____象限,y随x的增大而_________.一、三二、四一减小增大减小yx30yx20yx练一练1函数y=kx-k与在同一条直角坐标系中的图象可能是.练一练2已知反比例函数(1)若函数的图象位于第一三象限，则k_______;(2)若在每一象限内，y随x增大而增大，则k_________.4kyx44练一练3D0kykxxyoxyoxyoxyo(A)(B)(C)(D)由两支曲线组成的.因此称它的图象为双曲线;当k0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内;当k0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内;当k0时,在每一象限内,y随x的增大而减小;当k0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远不能到达x,y轴⑴反比例函数的图象是轴对称图形.直线y=x和y=-x都是它的对称轴；⑵反比例函数与的图象关于x轴对称,也关于y轴对称。反比例函数的图象和性质形状位置增减性图象的发展趋势对称性kyxkyx26.1.2反比例函数的图象和性质(2)知识回顾函数正比例函数反比例函数表达式图象及象限性质在每一个象限内:当k0时，y随x的增大而减小;当k0时，y随x的增大而增大.y=kx(k≠0)(特殊的一次函数)当k0时，y随x的增大而增大;当k0时，y随x的增大而减小.k0xyoxyok0k0yx0y0k0x0)k(kxykx或yxky1或知识回顾函数正比例函