考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结

1考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaFxftdt形如上式的积分，叫做变限积分。注意点：1、在求导时，是关于x求导，用课本上的求导公式直接计算。2、在求积分时，则把x看作常数，积分变量t在积分区间],[xa上变动。（即在积分内的x作为常数，可以提到积分之外。）关于积分上限函数的理论定理1如果)(xf在],[ba上连续，则)(xf在（a，b）上可积，而)(xf可积，则xadttfxF)()(在],[ba上连续。定理2如果)(xf在],[ba上有界，且只有有限个间断点，则)(xf在（a，b）上可积。定理3如果)(xf在],[ba上连续，则xadttfxF)()(在],[ba上可导，而且有).(])([)(xfdttfdxdxFxa==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(xf作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。这是积分上限函数的良好性质。而我们知道，可导函数)(xf经过求导后，其导函数)(xf甚至不一定是连续的。（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。2重要推论及计算公式：推论1)(])([xfdttfdxdbx变上限积分改变上下限，变号。推论2)()]([])([)(xxfdttfdxdxc上限是复合函数的情况求导。推论3)()]([)()]([])([)()(xxfxxfdttfdxdxx上下限都是变的时候，用上限的减去下限的。题型中常见积分限函数的变形和复合情况：（1）比如xdttftxxF0)()()((被积函数中含x,但x可提到积分号外面来.)在求)(xF时，先将右端化为xxxxdtttfdttfxdtttfdttxf0000)()()()(的形式，再对x求导。分离后左边的部分要按照(uv)＇=u＇v+uv＇进行求导！（重点）（2）比如xdtxttfxF0)()((f的自变量中含x,可通过变量代换将x置换到f的外面来)在求)(xF时，先对右端的定积分做变量代换xtu（把x看作常数），此时，dudt，0t时，xu；xt时，0u，这样，)(xF就化成了以u作为积分变量的积分下限函数：000)()()()()(xxxduuufduufxduufuxxF，然后再对x求导。(3)比如10)()(dtxtfxF(这是含参数x的定积分,可通过变量代换将x变换到积分限的位置上去)在求)(xF时，先对右端的定积分做变量代换xtu（把x看作常数），此时，xdudt，0t时，0u；1t时，xu，于是，)(xF就化成了以u作为积分变量的积分上限函数：xduufxxF0)(1)(，然后再对x求导。有积分限函数参与的题型举例（1）极限问题：例1xxxdtttttdt00230)sin(sinlim2（提示：0/0型，用洛必达法则，答：12）例2xdttxx0sinlim（提示：洛必达法则求不出结果，用夹逼准则，0=|sinx|=1。答：2）3例3已知极限1sin1lim00xxxdtcttabxe，试确定其中的非零常数.,,cba（答：.1,1,1cba）（2）求导问题例4已知.sin,)cos1(00ttuduyduux求.dxdy(参数方程，你懂的！答:)cos1(2sinttt)例5已知.0cos00xyyttdtdte求.dxdy(答:)cos()cos(xyxexyyy)例6求xdttxdxd02)sin((答:2sinx)例7设)(xf在),(内连续且,0)(xf求证xxdttfdtttfx00)()()(在),0(内单调增加.（同济高数课本Unit5-3例题7）（3）最大最小值问题例8在区间],1[e上求一点,使得下图中所示的阴影部分的面积为最小.(提示:先将面积表达为两个变限定积分之和:exxdtttdtxA)ln1(ln)(1,然后求出)(xA,再求出其驻点.答:e.)例9设0x，n为正整数.证明xntdtttxf022sin)()(的最大值不超过.)32)(22(1nney=lnxxy11O4(提示:先求出函数的最大值点,然后估计函数最大值的上界.)(4)积分问题例10计算10)(dxxxf，其中21sin)(xdtttxf.(提示:当定积分的被积函数中含有积分上限函数的因子时,总是用分部积分法求解,且取)(xu为积分上限函数.答:).11(cos21)例11设)(xf在),(内连续,证明.])([))((000xuxdudttfduuxuf(提示:对右端的积分施行分部积分法.)例12设.2,00,212,10)(xxxxxxxf求xdttfx0)()(在),(内的表达式.(说明:这类题在概论课中求连续型随机变量的分布函数时会遇到.求表达式时,注意对任一取定的x,积分变量t在],0[x内变动.答:.21,21)2(211,1021,00)(22xxxxxxx)(5)含有未知函数的变上限定积分的方程（称为积分方程）的求解问题例13设函数)(x连续，且满足.)()()(00xxxdttxdtttex求).(x(答:)sin(cos21)(xexxx)（说明：这类问题总是通过两端求导，将所给的积分方程化为微分方程，然后求解.注意初值条件隐含在积分方程内.答:xxxsincos)(）例14设)(xf为正值连续函数,,1)0(f且对任一0x,曲线)(xfy在区间],0[x上的一段弧长等于此弧段下曲边梯形的面积,求此曲线方程.(说明:根据题设列出的方程将含有)(xf的积分上限函数.5答:))0(2)(xeexfxx(6)利用积分上限函数构造辅助函数以证明积分不等式等.例15设)(),(xgxf均在],[ba上连续,证明以下的Cauchy-Swartz不等式:.)()())()((222bababadxxgdxxfdxxgxf说明:本题的通常证法是从不等式0)]()([badxxtgxf出发,由关于t的二次函数非负的判别条件即可证得结论.但也可构造一个积分上限函数,利用该函数的单调性来证明.提示如下:令.)()(])()([)(222xaxaxadttgdttfdttgtfxF则.0)(aF求出)(xF并证明.0)(xF从而)(xF单调减少,于是得.0)()(aFbF由此可得结论.这种证法有一定的通用性.例如下例.例16设)(xf在[0,1]上连续且单调减少.证明:对任一,10有.)()(100dxxfdxxf(提示:即证.1)()(100dxxfdxxf于是作,)()(0xdttfxFx只需证)(xF单调减少即可得结论.)利用积分上限函数构造辅助函数,还常用于证明与微分中值定理有关的某些结论.比如下题.例17设)(),(xgxf在],[ba上连续.求证:存在),(ba,使abdxxfgdxxgf)()()()(.(提示:令bxxadttgdttfxF)()()(.对)(xF在],[ba上用Rolle定理即可证得结论)关于积分限函数的奇偶性与周期性定理4设xf连续，xdttfx0.如果xf是奇（偶）函数，则x是偶（奇）函数；如果xf是周期为T的函数，且00Tdxxf,则x是相同周期的周期函数.证设xf奇,则xduufduufudufdttfxxfxxutx0000奇,即x为偶函数.6设xf偶,则xduufduufudufdttfxxfxxutx0000偶,即x为奇函数.若00Tdxxf，则xdttfxdttfdttfdttfTxTTxxxTx000,即)(x为周期为T的周期函数.例18设)(xf在),(内连续,xdttfxtxF0)()2()(.证明:(a)如果)(xf是偶函数,则)(xF也是偶函数;(b)如果)(xf是单调减少函数,则)(xF也是单调减少函数.