搜索
遊戲類科展寫作範例衛道中學菁英班經典課程彙編:SNAKE1NimNimNimNim單堆遊戲單堆遊戲單堆遊戲單堆遊戲玩法一置若干火柴（或小石子）於桌上，兩人輪流取，每人每次最少取一根，最多取k根，取得最後一根火柴者獲勝。例1.假設桌上有7根火柴，甲、乙兩人輪流取，每次最少取一根，最多取2根，甲先取，則甲該如何取才會贏？(1)7──→─甲取…──→─甲取1──→─1乙取0乙勝(2)7──→─甲取…──→─甲取2──→─2乙取0乙勝由(1)(2)可推得，甲欲贏就得避免留下1或2根火柴。(3)7──→─甲取…──→─甲取3──→─1乙取2──→─2甲取0甲勝(4)7──→─甲取…──→─甲取3──→─2乙取1──→─1甲取0甲勝由(3)(4)可推得，甲若留下3根火柴，乙一定會留下1或2根，於是甲可勝。所以甲在取得最後一根火柴之前，要以留下3根火柴為目標。(5)7──→─甲取…──→─甲取4──→─1乙取3乙勝(6)7──→─甲取…──→─甲取5──→─2乙取3乙勝由(5)(6)可推得，若甲取完後留下4或5根火柴，乙就有機會讓火柴數變成3根，於是乙可勝。所以甲得避免留下4或5根火柴。(7)7──→─1甲取6──→─2乙取4──→─1甲取3甲可勝(8)7──→─1甲取6──→─1乙取5──→─2甲取3甲可勝由(7)(8)可推得，甲若留下6根火柴，則乙取完後不是剩4根，就是剩5根，於是甲又有機會讓火柴變成3根，贏得勝利。所以甲每次取完剩下的火柴數為6、3，而6和3都是3的倍數。若一開始桌上有14根火柴呢？這個策略仍然可行嗎？請試試。遊戲類科展寫作範例衛道中學菁英班經典課程彙編:SNAKE2例2.假設桌上有11根火柴，甲、乙兩人輪流取，每次最少取一根，最多取3根，甲先取，則甲該如何取才會贏？(1)11──→─甲取…──→─甲取1──→─1乙取0乙勝(2)11──→─甲取…──→─甲取3──→─3乙取0乙勝(3)11──→─甲取…──→─甲取2──→─2乙取0乙勝由(1)(2)(3)可知，甲取完後剩下1,2,或3根火柴時，乙都可全取，並得到最後一根火柴。所以甲欲贏就得避免留下1,2,或3根火柴。(4)11──→─甲取…──→─甲取4──→─3乙取1──→─1甲取0甲勝(5)11──→─甲取…──→─甲取4──→─2乙取2──→─2甲取0甲勝(6)11──→─甲取…──→─甲取4──→─1乙取3──→─3甲取0甲勝由(4)(5)(6)可推得，甲若留下4根火柴，乙一定會留下1,2,或3根，於是甲可勝。所以甲在取得最後一根火柴之前，要以留下4根火柴為目標。(7)11──→─甲取…──→─甲取5──→─1乙取4乙勝(8)11──→─甲取…──→─甲取6──→─2乙取4乙勝(9)11──→─甲取…──→─甲取7──→─3乙取4乙勝由(7)(8)(9)可推得，若甲取完後留下5,6,或7根火柴，乙就有機會讓火柴數變成4根，於是乙可勝。所以甲得避免留下5,6,或7根火柴。(10)11──→─3甲取8──→─1乙取7甲可勝(11)11──→─3甲取8──→─2乙取6甲可勝(12)11──→─3甲取8──→─3乙取5甲可勝由(10)(11)(12)可推得，甲若留下8根火柴，則乙取完後要不剩5根，要不剩6根，再不然就剩7根，於是甲又有機會讓火柴變成4根，贏得勝利。所以甲一開始的時候要以留下8根火柴為目標。(13)11──→─1甲取10──→─2乙取8乙可勝(14)11──→─2甲取9──→─1乙取8乙可勝由(13)(14)可知，若甲讓火柴剩下9或10根，乙就有機會留下8根火柴，於是乙可勝。所以甲得避免留下9或遊戲類科展寫作範例衛道中學菁英班經典課程彙編:SNAKE310根火柴。總而言之，若甲讓桌上剩下的火柴數為8、4，便可以贏得勝利。而8和4都是4的倍數。若一開始桌上有21根火柴呢？這個策略仍然可行嗎？請試試。訣竅若有n根火柴，兩人輪流取，每次取1至k根，先取者讓桌上的火柴數為k+1的倍數，則先取者可勝。因為剩k+1的倍數根火柴時，無論對手如何取，先取者都可以取出若干根火柴使得剩下的火柴數仍為k+1的倍數。最後，先取者必可留下k+1根火柴，而對手無法一次取完，而且無論對手取了幾根，留下的火柴數一定不超過k根，先取者便可全部拿走，獲得勝利。(玩法二)置若干火柴（或小石子）於桌上，兩人輪流取，每人每次取的火柴數只可以是1、3、7，取得最後一根火柴者獲勝。假設桌上有n根火柴，甲、乙兩人輪流取，那麼甲該如何取才會贏呢？分析由於1、3、7均為奇數，所以甲若使桌上的火柴剩下偶數根，則乙必無法一次取完，而且不論乙取多少，桌上的的火柴數都會變成奇數（因為「偶－奇＝奇」），也許正是1、3或7，那麼甲就可拿到最後一根火柴；也許不是，但甲可以再讓火柴剩下偶數根（因為「奇－奇＝偶」），如此輪取，甲最終必為贏家。問題是：火柴數為奇或偶也非甲所能控制。若桌上一開始有奇數根火柴，則甲隨便取都可以使火柴剩偶數根，注定會獲得勝利；相反地，若開始時是偶數根火柴，則甲必輸。訣竅：若一開始桌上有奇數根火柴，則先取者必勝；若一開始桌上有偶數根火柴，則後取者必勝。玩法三：置若干火柴（或小石子）於桌上，兩人輪流取，每人每次只可取1或4根火柴，取得最後一根火柴者獲勝。假設桌上有n根火柴，甲、乙兩人輪流取，致勝關鍵為何？分析：由之前的經驗，我們知道，若甲取完之後留下5,10,15…等5的倍數根火柴，則甲可勝。若甲取完之後留下5的倍數根火柴，不論乙取1根或4根，甲都可以取成仍然剩下5的倍數根火柴；最後，剩5根火柴時，乙無法一次取完，而且不論乙取1根或4根，甲都可以一次取完剩下的部分。除此之外，當甲留下7,12,17…等5的倍數加2根火柴時，也可以取得勝利。因為不論乙取多少，甲都能夠用同樣的技巧使火柴維持在5的倍數加2根，最後就剩2根火柴，那時乙只能取1，甲便取得最後一根火柴。因此，若一開始的火柴數為5n+1,5n+3,5n+4時，則甲可勝；若一開始的火柴數為5n,5n+2時，則乙可勝。為了講解方便，這裡引進兩個術語：「安全殘局」與「不安全殘局」（哈佛大學數學系副教授查理士．理昂納德．包頓ChalesLeonardBouton提出）。以玩法三的狀況來說：火柴數為「5的倍數」與「5的倍數加2」是所謂的「安遊戲類科展寫作範例衛道中學菁英班經典課程彙編:SNAKE4全殘局」，面對一個安全殘局，而對手又是專家則是必輸的局面。火柴數不為「5的倍數」與「5的倍數加2」是所謂的「不安全殘局」。玩法三中，若開局時是不安全殘局（非「5的倍數」亦非「5的倍數加2」的情形），先取者就能夠讓它變成安全殘局（「5的倍數」與「5的倍數加2」），使得後取者無論怎麼取都會留下一個不安全殘局。先取者必定會拿到最後一根火柴，贏得勝利。((((玩法四(雙倍遊戲)置若干火柴（或小石子）於桌上，兩人輪流取，先取的一方可任意取，但不可全部取走，之後每人每次至少取一根火柴，最多不可超過前一人所取火柴數的兩倍，取得最後一根火柴者為勝。假設桌上有n根火柴，甲、乙兩人輪流取，致勝關鍵為何？分析：在開始玩前，有件事值得我們注意：若一開始有n根火柴，而甲先取，甲只能取少於3n根火柴；也就是說，若甲取k根火柴，則必須是k3n。因為甲若取大於等於3n根火柴，即k≥3n則剩下的火柴數為n–k≤n–3n≤n–3n=23n≤23n≤2k所以對手可以將剩下的火柴全部取走。那麼現在開始玩玩看：開始時是2根火柴，甲必輸，因為2───→─1甲只能取1──→─1乙取0開始時是3根火柴，甲必輸，因為3──→─1甲取2──→─2乙取0開始時是4根火柴，甲可贏，因為4──→─1甲取3參考B的情形，但甲乙順序相反。開始時是5根火柴，甲必輸，因為5──→─1甲取4乙只能取1，否則甲可以將剩下的火柴全部取走。參考C的情形，但甲乙順序相反。開始時是6根火柴，甲必贏，因為6──→─1甲取5遊戲類科展寫作範例衛道中學菁英班經典課程彙編:SNAKE5乙只能取1，否則甲可以將剩下的火柴全部取走。乙只能取1，參考D的情形，但甲乙順序相反。開始時是7根火柴，甲可贏，因為7──→─2甲取5乙只能取1，否則甲可以將剩下的火柴全部取走。參考D的情形，但甲乙順序相反。開始時是8根火柴，甲必輸，因為8──→─1甲取7參考F的情形，但甲乙順序相反。8──→─2甲取6參考E的情形，但甲乙順序相反。開始時是9根火柴，甲可贏，因為9──→─1甲取8──→─1乙取7參考F的情形。──→─2乙取6參考E的情形。開始時是10根火柴，甲可贏，因為10──→─2甲取8乙只能取1或2，參考G的情形，但甲乙順序相反。開始時是11根火柴，甲可贏，因為11──→─3甲取8乙只能取1或2，參考G的情形，但甲乙順序相反。開始時是12根火柴，甲可贏，因為12──→─1甲取11──→─1乙取10參考I的情形。12──→─1甲取11──→─2乙取9參考H的情形。開始時是13根火柴，甲必輸，因為13──→─1甲取12──→─1乙取11──→─1甲取10參考J的情形，但甲乙順序相反。13──→─1甲取12假設乙不是笨蛋，乙不會取2，13──→─1甲取12──→─2乙取10──→─2甲取8遊戲類科展寫作範例衛道中學菁英班經典課程彙編:SNAKE6如G，但甲乙順序相反；如此則讓甲有贏的機會。13──→─2甲取11（參考J的情形，但甲乙順序相反）13──→─3甲取10（參考I的情形，但甲乙順序相反）13──→─4甲取9（參考H的情形，但甲乙順序相反）由以上的例子中可以觀察到，當火柴數為2,3,5,8,13時，對先取者不利。此外，當火柴數為4,6,9,12時，先取者只要取1根，火柴數為7,10時，取2根，火柴數為11時，取3根，就能立於不敗之地。繼續推演下去你會發現，只要開始時的火柴數為費氏數(Fibonaccinumbers)，如2,3,5等，對先取者不利。（註：雖然1亦是費氏數，但不予考慮，因為若一開始的火柴數為1，則遊戲無法進行。）反之，若開始時的火柴數不為費氏數如10,11,12等，則先取者可贏，當然他得懂得其中的竅門。當一開始的火柴數n不是費氏數時，先取者甲該怎麼取才能拿到最後一根火柴？若n不是費氏數，則n一定可以寫成某些費氏數之和，而且這些費氏數在費氏數列中互不相鄰（證明）：n=1kF+2kF+…+rkF,其中1kF2kF…rkF，而且k1≥k2+2,k2≥k3+2,…,kr–1≥kr+2。此時，取上列費氏數中最小的數rkF，甲就可以贏得勝利。例如：12可以寫成12=8+3+1，其中8=5F,3=3F,1=1F，都不是相鄰的費氏數。因此，當開始的火柴數為12時，甲應取的火柴數即為費氏數8,3,1中最小的1。又如：4=3+1，甲應取1；6=5+1，甲應取1；7=5+2，甲應取2；9=8+1，甲應取1；10=8+2，甲應取2；11=8+3，甲應取3；15=13+2，甲應取2。遊戲類科展寫作範例衛道中學菁英班經典課程彙編:SNAKE7雙倍遊戲的致勝法則解析：現在我們來解釋為什麼根據這樣的法則來玩必能致勝。如果n1，則nF1nF+2nF。證明n=2時，因為2F=2,3F=3所以2F3F22F假設對於所有的nk，nF1nF+2nF成立因此我們有2-kF1-kF22-kF1-kFkF21-kF而費氏數又有以下性質：Fn=Fn-1+Fn–2故前兩式相加便得到kF1kF+2kF由I,II及數學歸納法得證。當火柴數n為費氏數時，後取者可勝。[證明]n=2=2F時，的確如此。假設當火柴數為比n小的費氏數時，後取者可勝。n為費氏數也就是n=mF（某一費氏數）而mF=1-mF+2-mF（1-mF2-mF）甲若取2-mF根火柴由於1-mF22-mF乙便可全取1-mF根火柴甲輸遊戲類科展寫作範例衛道中學菁英班經典課程彙編:SNAKE8甲為了避免(i)的情形，只好取少於2-mF根火柴。這時的情形可以考慮成一開始有2-mF根火柴，既然2-mF為比n小的費氏數，乙便