第2讲矢性函数

《矢量分析与场论》第2讲矢性函数张元中中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院主要内容1.矢性函数的概念2.矢端曲线3.矢性函数的极限和连续性4.矢性函数的导数5.矢性函数的微分6.矢性函数的导数公式教材：第1章，第1节，第2节常矢：矢量的模和方向都保持不变。变矢：模和方向或其中之一发生变化。1.矢性函数的概念)(tuu)(tAAut标量函数：标量随参量的变化。tA矢量函数：矢量随参量的变化。1.矢性函数的概念矢性函数：设有数性变量和变矢，如果对于在某个范围内的每一个数值，都有一个确定的矢量和它对应，则称为数性变量的矢性函数，记作：ttGtAAA)(tAAAG并称为函数的定义域。1.矢性函数的概念ktAjtAitAtAAzyx)()()()(t矢性函数的坐标函数分量也是的函数。zoyx)(tAitAx)(jtAy)(ktAz)()(tAx)(tAy)(tAz2.矢端曲线自由矢量：当两个矢量的模和方向相同时，可以认为这两个矢量相等。zoyx)(tAMl矢端曲线：矢量的终点随参量的变化曲线称为矢性函数的矢端曲线，也称为矢性函数的图形。)(tAtM)(tAl2.矢端曲线矢量方程：zoyx)(tAMl)(tAAktAjtAitAtAAzyx)()()()(t当定义随增大的方向为的走向，则矢端曲线为有向曲线。ll)(tA为矢性函数的矢量方程。2.矢端曲线参数方程：zoyx)(tAMl)(tAxx矢性函数与参数方程之间有一一对应的关系。)(tAyy)(tAzzktAjtAitAtArzyx)()()()(l)(tA矢性函数对应矢端曲线的参数方程。2.矢端曲线例：圆柱螺旋线的参数方程（P3图1-3）：cosax其矢量方程为：sinaybzkbjaiarsincos2.矢端曲线例：摆线的参数方程（P3图1-4）：)sin(ttax其矢量方程为：)cos1(tayjtaittar)cos1()sin(3.矢性函数的极限和连续性0)(AtA定义：设矢性函数在点的某个领域内有定义（但在处可以没有定义），为一常矢，若对于任意给定的正数，都存在一个正数，使当满足时，有：)(tA0t0t0At00tt成立，则称为矢性函数当的极限，记作：0A)(tA0tt0)(lim0AtAtt矢性函数极限与数性函数完全类似。3.矢性函数的极限和连续性为数性函数；，为矢性函数，当均存在极限。)(tA0tt)(tB)(tu)(lim)(lim)()(lim000tAtutAtutttttt)(lim)(lim)]()([lim000tBtAtBtAtttttt)(lim)(lim)]()([lim000tBtAtBtAtttttt)(lim)(lim)]()([lim000tBtAtBtAtttttt矢性函数极限的运算法则3.矢性函数的极限和连续性矢性函数的极限，归结为求三个数性函数的极限。)(lim)(lim)(lim)(lim0000tAtAtAtAzttyttxttttktAjtAitAtAzyx)()()()(3.矢性函数的极限和连续性连续性定义：若矢性函数在点的某个领域内有定义，而且有：)(tA0t)()(lim00tAtAtt矢性函数在处连续的充要条件是：都在处连续。)(tA0tzyxAAA,,0t)(tA0t则称在处连续。4.矢性函数的导数矢性函数的增量：OMtA)(oMN)(tA)(ttAAlONttA)(MNtAttA)()(为的增量，表示为：)(tA)()(tAttAA4.矢性函数的导数ttAttAtAtAdtAdtt)()(limlim)(00'ttAttAtA)()()(tA导数的定义：设矢性函数在点的某一领域内有定义，并设也在这个领域之内，增量的比值为：ttt在时，其极限存在，则称此极限为在处的导数（简称导矢），表示为：0t)(tAt4.矢性函数的导数tAdtAdt0limktAjtAitAtAzyx)()()()(导数的分量表示：tzyxAAA,,在点处可导。tkAtjAtiAztytxt000limlimlimkdtdAjdtdAidtdAzyxktAjtAitAtAzyx)()()()(''''4.矢性函数的导数例1：圆柱螺旋线的矢量方程（P3图1-3）：kbjaiarsincos)(求导矢)('r解：kbjaiar'''')()sin()cos()(kbjaiacossin4.矢性函数的导数例2：设试证明：jiesincos)(),()(1'ee证：jiecossin)(1),()('1ee)()(1eejie''')(sin)(cos)(jicossin)(1e4.矢性函数的导数例2：设试证明jiesincos)()()(1'ee证：jiecossin)(1)()('1ee)()(1eejie'''1)(cos)sin()(jisincos)(e4.矢性函数的导数例2：设试证明jiesincos)()()(1'ee证：jiecossin)(1)()('1ee)()(1ee))(cos(sin)sin)((cos)()('ee0)()(1ee4.矢性函数的导数为一单位矢量，其矢端曲线为一单位圆，因此也叫做圆函数。)(eoyx)(e)(1e)(1e亦为一单位矢量，其矢端曲线也为一单位圆。4.矢性函数的导数oMN)(tA)(ttAA)('tAtAlttAtAt)(lim)(0'是在的割线上的一个矢量。ttA)(lMN0t时，其极限为点的切线位置。M导矢在几何上为一矢端曲线的切向矢量，并始终指向对应增大的方向。t5.矢性函数的微分dttAAd)(')(tdt微分的概念：设有矢性函数，把)(tAA称为在处的微分。)(tAtoM)(tAl)0(dtAd)0(dtAd)('tA微分与导矢的几何意义相同，为矢量矢端曲线的切线。，与导矢的方向一致；，与导矢的方向相反。0dt0dt5.矢性函数的微分微分的计算表达式：dttAAd)('或：kdttAjdttAidttAxyx)()()('''ktdAjtdAitdAAdzx)()()(矢性函数的微分，归结为求三个数性函数的微分。5.矢性函数的微分解：例3：设，求及。jbiarsincos)(rdrdjbdiadrd)sin()cos(jdbidacossindjbia)cossin(22)cos()sin(dbdarddba2222cossin5.矢性函数的微分的几何意义：dsrdkzjyixrktAjtAitAtAzyx)()()()()(tAxx)(tAyy)(tAzz矢性函数矢性函数微分kdzjdyidxrd微分的模222)()()(dzdydxrd5.矢性函数的微分的几何意义：dsrd弧长微分即：矢性函数微分的模，等于（其矢端曲线的）弧微分的绝对值。dsdsrddsdsrdrdMl0ds0ds0M222)()()(dzdydxdsdsrd5.矢性函数的微分的几何意义：dsrd得到：1dsrddsrdMl0ds0ds0Mkjidsrdcoscoscos矢性函数对（其矢端曲线的）弧长的导数在几何上为一切向单位矢量，恒指向增大的方向。用表示。ss5.矢性函数的微分矢端切线方向的方向余弦dsdxdzdydxdx222)()()(cosdsdydzdydxdy222)()()(cosdsdzdzdydxdz222)()()(cos1coscoscos2225.矢性函数的微分例4：试证明证：dtrddtdskdtdzjdtdyidtdxdtrd222)()()(dtdzdtdydtdxdtrd2222)()()()(dtdzdydxdtds222)()()(dtdzdtdydtdxdtrd5.矢性函数的微分可以得到：矢端曲线的切向单位矢量的计算公式例4：试证明dtrddtdsdtrddtrddtdsdtrddsrd5.矢性函数的微分解：例5：求圆柱螺旋线的切向单位矢量。ktjtitr4sin3cos3kjtitdtrd4cos3sin354)cos3()sin3(222ttdtrddtdsdtdsdtrddsrd//kjtit54cos53sin536.矢性函数的导数公式设矢性函数及数性函数在的某个范围内可导，则以下公式成立：)(),(tBtA)(tut0dtCd（1）（为常矢量）C（2）dtBddtAdBAdtd)(（4）dtAduAdtduAudtd)(（3）dtAdkAkdtd)(（为常数）k6.矢性函数的导数公式（5）BdtAddtBdABAdtd)(dtduduAddtAd（）AAA2dtAdAAdtd2)(2（6）BdtAddtBdABAdtd)(（7）复合函数求导：)(),(tuuuAA1.矢性函数导数公式的应用证明（5）：BdtAddtBdABAdtd)(证：BABBAABA)()()(BABAABBABABAABBAtBAtABtBAtBA)(6.矢性函数的导数公式证明（5）：BdtAddtBdABAdtd)(dtBddtAdBdtBdABAdtd0)(dtAdBdtBdA证：令两端取极限，得到：0t6.矢性函数的导数公式例：设三阶可导，证明（习题1第5题）)(ta证：)()]([3223dtaddtadadtaddtadadtd)()()]([222222dtaddtaddtdadtaddtaddtaddtaddtadadtd)()()(33222222dtaddtadadtaddtadadtaddtaddtad)(33dtaddtada0)(BAA