第五章 其他常用单元刚度矩阵

第五章其他常用单元刚度矩阵简介第一节三棱圆环单元的刚度矩阵机器中许多零件如飞轮、缸体等在几何形状上具有共同点，即它们都是某一平面图形绕平面内某一轴线旋转而形成的回转体，此平面称为子午面。当回转体承受的载荷和支撑条件相对于该轴线也对称时，分析求解这类零件的应力、应变问题，称为轴对称问题。轴对称问题中，回转体内各点只有轴向和径向两个方向的位移，一个三维问题就简化为二维问题。对这类零件的离散化可以在子午面内进行，最常用的是三角形截面的轴对称单元，简称为三棱圆环单元。1.位移模式及形状函数由于轴对称的特点，不再用直角坐标系（x,y,z）,而用柱面坐标系（r,θ,z）描述物体。物体内任意一点只有沿r和z方向的位移u和w，而无θ方向的位移。当纵剖面上三角形单元(e)的三个节点总码分别为I、j、k时，相应的节点位移向量为Tkkjjiiewuwuwu)(与弹性力学平面问题中的三角形单元一样，采用线性位移模式，则zrzrwzrzru654321),(),(与平面问题的推导步骤完全相同，可以得到与平面问题相似的结果：其中形状函数为：)()()()(),(),(),(),(eeeezrNzrwzruzrzrrzzrzrzrNkjjkjkkji)(21),(zrrzzrzrzrNikkikiikj)(21),(zrrzzrzrzrNjiijijjik)(21),(2.应变与位移的关系（几何矩阵）轴对称问题中表示应变与位移关系的几何方程与弹性力学平面问题相似，所不同的是：单元内一点在径向产生的位移u，会在圆周方向引起相应的应变。一个半径为r的圆环，周长为2r，环上的各点都沿各自的径向产生位移u后，其圆周长度变成。因此，在圆周方向的应变为)(2urrurrur22)(2由于各点在圆周方向上无位移，因而剪应变和均为零。将应变写成向量的形式，rwzuzwrururzzrrvrv根据上式，可推导出几何方程其中几何矩阵)(eBijjikiikjkkjjiikkjijkjjkkjizrzrzrrrrzzzrzrNrzrNrzrNB0000000),(0),(0),(213.弹性方程和弹性矩阵[D]依照广义虎克定律，同样可以写出在轴对称中应力和应变之间的弹性方程，其形式为)(1zrruE)(1zruE)(1rzzuErzrzEr)1(2所以弹性方程为式中应力矩阵弹性矩阵DTrzzr221000010101)21)(1(ED4.单元刚度矩阵与平面问题相同，仍用虚功原理来建立单元刚度矩阵，其积分式为)(ekdVBDBkVTe)(在柱面坐标系中，rdrdzdV2rdrdzdV2代入dVBDBkVTe)(rdrdzBDBkTe2)(则即为轴对称问题求单元刚度矩阵的积分式。与弹性力学平面问题的三角形单元不同，在轴对称问题中，几何矩阵[B]内有的元素（如等）是坐标r、z的函数，不是常量。因此，乘积不能简单地从式的积分号中提出。如果对该乘积逐项求积分，将是一个繁重的工作。一般采用近似的方法：用三角形形心的坐标值代替几何矩阵[B]内的r和z的值。用表示在形心处计算出的矩阵[B]。rzrNi),(BDBTrdrdzBDBkTe2)(B),(zr其中：3)(,3)(kjikjizzzzrrrr只要单元尺寸不太大，经过这样处理引起的误差也不大。被积函数又成为常数，可以提出到积分号外面：rBDBrdrdzBDBkTTe22)(——三角形的面积。由式可以看出，两轴对称的三角形单元，当形状、大小及方位完全相同而位置不同时，其刚度矩阵也不相同。距离主轴线越远的单元，其刚度越大。这与平面问题不一样。rBDBrdrdzBDBkTTe22)(二、等参数的刚度矩阵对一些由曲线轮廓的复杂结构，如果采用直角边单元进行离散，由于用直线代替了曲线，除非网格划分得很细，否则不能获得较高的精度；对另一些应力随坐标急剧变化的结构，采用简单的常应力单元离散时，也必须划分成大量的微小单元，以保证足够的精度。为此引入一种高精度的单元——等参数单元。它既能简化复杂单元划分的工作，又能在满足同样精度的要求时，大大减少使用的单元数。目前流行的大程序中较常用，它成功地解决了许多二维和三维的弹性力学问题。为导出等参数单元的刚度矩阵，首先要建立根据每个单元的形状确定的自然坐标系，然后将位移模式和形状函数都写成自然坐标的函数。一个单元在自然坐标系内的点与单元整体坐标系内的点成一一对应的关系。通过映射，可以将整体坐标系中的图形转化为自然坐标系中的相应图形。例如可以将整体坐标系中的一个任意四边形（实际单元）映射到自然坐标系中成为一个正方形（基本单元）。同样也可以将任意四面体、六面体（包括直边和曲边的）分别映射成正四面体和正六面体。位移模式和形状函数几何矩阵[B]单元刚度矩阵第1节矩形双线性单元Tevuvuvuvu44332211TeYXYXYXYXR44332211矩形单元结点位移、结点力列阵一、位移模式与形函数87654321aaaavaaaauo112341111111正方形规则单元41443322114144332211iiiiiivNvNvNvNvNvuNuNuNuNuNu4,3,2,1,,4)1)(1(0000iNiii其中：统一公式：eNvuf第2节四结点四边形等参单元一、母单元的形函数母单元iiiiiiyNyxNx4141,三、位移模式eNvufo12341111yx03214四边形单元4,3,2,1,,4)1)(1(0000iNiii其中：二、坐标变换iiiiiivNvuNu4141,由此可知：单元的位移场和单元形状用相同的形函数，故称等参数单元（等参元）四、导数的坐标变换yxJyxyxyxyyxxyyxx][xxyyJyxdet1iiiiiiiiiiiiyNyxNxxNyxNx,,,其中：七、单元刚度矩阵ddJhBDBkT1111六、应力eTxyyxBDD近似计算。可以使用高斯积分进行五、应变eTTxyyxBxvyuyvxu)43,2,1(00，ixNyNyNxNBTiiiii八、等效结点力TyxyxyxeRRRRRRR332211单元结点等效力eeeePQFR