曲柄滑块机构的运动规律

1曲柄滑块机构的运动规律1实验目的着重介绍运用建立近似模型并进行数值计算来研究、讨论函数的方法。2实验问题曲柄滑块机构是一种常用的机械结构，它将曲柄的转动转化为滑块在直线上的往复运动，是压气机、冲床、活塞式水泵等机械的主机构。2记曲柄OQ的长为r，连杆QP的长为l，当曲柄绕固定点O以角速度P在水平槽内作往复直线运动。旋转时，由连杆带动滑块假设初始时刻曲柄的端点Q位于水平线段OP上，曲柄从初始位置起转动的角度为，连杆QP与OP的锐夹角为（称为摆角）。3在机械设计中要研究滑块的运动规律和摆角的变化规律，确切地说，要研究滑块的位移、速度和加速度关于的函数关系，摆角及其角速度和角加速度关于的函数关系，4（1）求出滑块的行程S（即滑块往复运动时左、右极限位置间的距离）；（2）求出滑块的最大和最小加速度（绝对值），以了解滑块在水平方向上的作用力；（3）求出的最大和最小角加速度（绝对值），以了解连杆的转动惯量对滑块的影响。在求解上述问题时，我们假定)(100mmr)(3003mmrlmin)/(240转58.3数学模型取O点为坐标原点，OP方向为x轴正方向，P在x轴上的坐标为x，那么可用x表示滑块的位移。利用三角关系，立即得到222cossin(8.1)xrlrt(8.2)dxdxddxdtddtd6222cossin(8.1)xrlr2222sincossin(8.3)sindxrrdlr于是滑块的速度ddxdtdddxdtdxv222cossin1(8.4)sinrrlr进而，可以得到滑块的加速度为7dddtda224232222(cos2sin)cos(8.5)(sin)rlrrlr同样，基于关系式sinsin(8.6)lr我们有摆角的表达式arcsinsin(8.7)rl式（8.6）对t求导，coscoscosrdtdrdtdl8coscoslrdtd由此再得222sincoscossin(8.9)cosddrdtdtl利用（8.6），sinsin(8.6)lr不难由上两式导出222cos(8.10)sindrdtlr2222322222sin()(8.11)(sin)drlrdtlr9至此，我们得到了滑块位移x和连杆摆角运动规律中有关变量依赖的表达式。滑块的加速度为224232222(cos2sin)cos(8.5)(sin)rlrarlr2222322222sin()(8.11)(sin)drlrdtlr虽然我们已经得到了有关变量的解析式，但是要求出问题的解并非十分简单。由于滑块加速度和摆角角加速度的函数表达式（8.5）和（8.11）相当复杂，从这两个式子来了解这两个量并不方便，而要用它们进一步求出极值则更加不易（当然，可以借助数学软件来进行，我们把这一点留给读者）。10由于数学模型本身是对实际问题的抽象，从而也必定有某种简化和忽略。即使我们得到了问题的解析形式解，一般说来，它仍然是对实际情况的近似。为了方便起见，对较为复杂的解析模型进行近似处理常常是必要的。事实上，在曲柄连杆结构（以及不少工程问题）的研究中，确实经常使用着这个方法。8.4近似模型将位移的表达式（8.1）改写为222cossin(8.1)xrlr21222sin1coslrlrx(1)1,1(8.12)aa11一般而言，22lr是远比1小的数，滑块位移的近似模型为221cossin(8.13)2rxrll从而有相应的近似速度2sin2sin2111lrrdtdddxdtdxsinsin2(8.14)2rrl和近似加速度211coscos2(8.15)drardtl这里速度和加速度是直接对近似位移模型求导得来，而不是对v和a的精确表达式（8.4）和（8.5）的近似。12当然，我们也可以直接从滑块速度的解析式（8.4）进行近似。222cossin1(8.4)sinrvrlr仍利用公式（8.12）(1)1,1(8.12)aa22221222222sin211sin11sin1lrllrlrl把上式代入（8.4），就得到滑块速度的近似模型2222sin21cos1sinlrlrr13323sin2sinsin2sin(8.16)24rrrll从（8.16）出发，又可得近似加速度32232242cossin22(sin2coscoslrlrra）(8.17)对摆角可以利用幂级数展开的Maclaurin公式3arcsin,1(8.18)6arcsinsin(8.7)rl得到摆角的近似模型。粗略一些，可以取1sin(8.19)rl而必要时，可以取3323sinsin(8.20)6rrll141sin(8.19)rl3323sinsin(8.20)6rrll相应的近似角速度为1cos(8.21)drdtl3223cossincos8.222drrdtll或（）近似角加速度为2212sin8.23drdtl（）2323223sin(sinsin2cos)8.242drrdtll或（）158.5问题的解法和讨论Ⅰ．滑块的位移和行程利用滑块位移的解析式（8.1）和近似式（8.13），222cossin(8.1)xrlr221cossin(8.13)2rxrll表8.1列出了从0到π位移一些相应数值（单位：mm）。考虑到对称性和周期性，只要计算这一区间中的函数值就可以了。16表8.1mmx1x12/12/212/312/812/1012/110400.000400.000395.475395.476382.407382.436362.258362.377337.228337.500…..…………209.201209.231202.289202.291200.000200.000行程可以从表8.1中的值求得，17)(200200400mms从几何直观上看也十分明显：,,minmaxrlxrlx)(2002)()(mmrrlrlsⅡ．滑块的加速度及其最值利用精确表达式（8.5）和近似表达式（8.15）、（8.17），224232222(cos2sin)cos(8.5)(sin)rlrarlr211coscos2(8.15)drardtl322223cos2(sin22sincos2cos8.174rrarll）（）18计算滑块的加速度。注意加速度仍具有对称性和周期性。表8.2列出了一些相应的数值（单位：mm/s2）：表1.2mm/s2a2a1a12/12/212/312/412/52/12/712/80－84220.6－84220.6－84220.6－79463.6－79461.5－79247.5－65837.4－65815.3－65230.5－45302.0－45249.6－44664.7－21086.8－21055.2－21055.22739.22684.81885.922332.422224.921055.235436.135381.734582.742078.642110.342110.31912/912/1012/1144027.544079.944664.743568.443590.544175.342562.842564.842778.942110.342110.342110.3从表8.2中可以看出，用加速度的近似公式计算，2a的结要相当好。1a的结果稍微差一些，考虑到在应用近似模型时，表达式的推导和有关计算工作量都将明显地减少，因此在某些情况下，这样的做法还是合适的。加速度绝对值的最大值从表8.2立即得到。无论用哪种模型，均在0)/(6.22084212smmaaa20至于加速度绝对值的最小值，显然是加速度的零点。从表上看出：零点在124125、之间。运用方程求根的数值方法，例如Newton法，对于加速度的三种表达式，分别可以得出0,407.02772.1a时0,407.02773.12a时0,409.02862.11a时因此在求加速度（绝对值）的最值时，近似模型也是十分有效的。21我们有由摆角的精确模型导出的表达式（8.11）和由近似模型导出的表达式（8.23）、（8.24），同样可以计算角加速度在各离散点的值。Ⅲ．摆角的角加速度和其最值2222322222sin()(8.11)(sin)drlrdtlr2212sin8.23drdtl（）2323223sin(sinsin2cos)8.242drrdtll（）近似模型的误差仍然是不大的，请读者自行计算。无论采用哪个表达式都在0和π达到最小值0；2达到最大值：而且都在2232.223max22dtd55.210,25.222max212max222dtddtd在这个实验中我们看到了采用近似模型的可行性。238.6实验任务1191,3P