第4章 频率特性分析(机械控制理论)

Matlab软件在控制系统分析与设计中的应用Matlab简介Matlab是MatrixLaboratory的缩写。由美国的MathsWorks公司于1982年推出，最初用于数值及矩阵运算，经不断更新扩充，至今已经升级到Ver7.0版本。可方便地进行科学分析和工程计算，功能强大、效率高，长于数值分析、矩阵运算、复杂的信息处理等。并拥有完美的图形显示。丰富的工具箱：控制系统工具箱/信号处理工具箱系统辨识工具箱/图像处理工具箱鲁棒控制工具箱/模糊/神经网络工具箱等等…….1.用Matlab进行数值运算例1：求例2：矩阵运算2184(73)5123987456654789321AB已知：，CAB求2.用Matlab绘制二维曲线基本指令：plot(x,y)X：横坐标；y：纵坐标例：绘制两个周期内的正弦曲线；例：同时绘制两个周期内的正弦曲线和余弦曲线。3.用Matlab处理传递函数变换基本指令：例：11101110()mmmmnnnnbsbsbsbGsasasasa，，，，mm-110num=[bbbb]，，，，nn-110den=[aaaa]32432532()2431sssGsssssG=tf(num,den)num=[1532]den=[12431]，，，，，，，4.用Matlab进行时间响应分析阶跃响应基本指令：脉冲响应基本指令：例：试绘制阶跃响应曲线。11101110()mmmmnnnnbsbsbsbGsasasasay=step(num,den,t)210()210Gsssy=impulse(num,den,t)Simulink仿真软件及应用Simulink是Matlab里的工具箱之一，主要功能是实现动态系统建模、仿真与分析；提供图形化交互工具，只需用鼠标拖动的方法，就能迅速建立系统框图模型，并在此基础上对系统进行仿真分析和改进计算。例：已知单位反馈系统开环传递函数为用Simulink建模并进行阶跃响应仿真。35()(0.21)(0.011)Gssss111()350.210.011Gssss第四章频率特性分析本章主要内容4.1频率特性的概念4.2频率特性图示法之1：Nyquist图4.2频率特性图示法之2：Bode图4.3闭环频率特性4.4频率特性的特征量4.5最小相位系统和非最小相位系统4.1频率响应的概念前面我们学习了，借助微分方程或传递函数对系统进行分析的有关概念和知识，针对的几种输入情况主要有阶跃、脉冲、斜坡、加速度等，这些信号都是非周期信号。在机械工程中，机械受到一定频率作用力时，会产生强迫振动，由于内反馈还会引起自激振动，对这些问题的研究，就要考虑输入信号是周期信号的形式。一种典型的周期信号正弦信号，实际当中还有很多其它形式的周期信号，但是正弦是最简单的，为什么呢？正弦是最简单最基本的周期信号任何周期信号都能利用傅立叶级数展开成正弦波的叠加，所以人们通常以正弦信号为输入，来研究和频率有关的问题，由此产生了频率特性这种分析方法；任何非周期性信号，都可以看作是T的周期信号，所以，频率特性也能用来研究一般的问题，而且还很方便。是一种间接的方法，通常要利用试验或作图。周期为T=2/的周期函数（非正弦函数）可以展开成由简单的周期函数如三角函数组成的级数在电工学上，这种展开称为谐波分析：其中，常数项称为直流分量，称为一次谐波（又叫基波）；称为二次谐波，三次谐波等等…..物理意义：把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同的简谐振动的叠加。01()sin()nnnftAAnt11sin()At2233sin(2)sin(3)AtAt，0A定义频率响应:定义1：在正弦输入信号作用下，线性系统输出的稳态分量。定义2:线性定常系统对谐波输入的稳态响应。频率特性：频率响应与正弦输入信号之间的关系。频率分析法的特点根据开环频率特性研究闭环系统的性能；对二阶系统而言，频率特性与过渡过程性能指标之间有确定的对应关系；频率特性有明确的物理意义；图解分析法；适用于线性定常系统，也可应用于某些非线性控制系统；可针对系统的噪声频率范围对系统进行抑止噪声处理。例：有一传递函数为的系统，设输入信号，分析输出响应。分析：再取Laplace反变换，并整理得第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。随着时间推移，瞬态分量迅速衰减至零，系统的输出即为稳态响应：()1KGsTs()sinutUt22()()()1KUYsGsUsTss/2222()sin()11tTUKTUKytetarctgTTT22()sin()1UKyttarctgTT可以看到：输出是与输入同频率的谐波信号，其幅值为相位当谐波频率不同时，输出的幅值和相位也不同，这就为我们研究系统提供了一种方法。22()sin()1UKyttarctgTT221UKT()arctgT频率特性的包括两部分——幅频特性和相频特性幅频特性：线性系统在谐波输入作用下，稳态输出幅值和输入的幅值之比。记为：相频特性：稳态输出和输入的相位差。记为()。当系统输入不同频率的谐波信号时，输出相位会超前或滞后，规定超前时()0，滞后时()0，坐标图上规定，逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。对物理系统，相位一般是滞后的，即一般是负值。()()YAU幅频特性和相频特性总称为系统的频率特性。记作或者说，频率特性定义为的复变函数，其幅值为：A()，相位为：()。()()()()jAAe或仿真实验取T=1()1()()1YsGsUsTs频率特性的物理意义例：惯性环节正弦输入下的响应uyRCi输入：UsintU=1，ω=0.5U=1，ω=1输出U=1，ω=5U=1，ω=2U=1.5ω=10U=1，ω=10观察到的现象当输入为正弦信号时,系统输出稳态仍为正弦信号只是幅值和相位发生了变化。22()()()1()111jarctgYsKGssjUsTsKKKGsesjsjTsjTT，令频率特性与传递函数的关系一般线性定常系统下式仍然成立：()()AGjGj，（）（）所以频率特性也记作()()()()jGjGjGjGje或频率特性的求法根据定义来求：如果已知系统的微分方程，可将输入变量以正弦函数代入，求输出变量的稳态解，输出变量稳态解与输入正弦函数的复数比即为系统的频率特性函数。如果已知系统的传递函数，可将系统传递函数中的s代之以j，即得到系统的频率特性函数。可以通过实验手段求出。微分方程频率特性传递函数系统pjjspsdpdt当输入为正弦信号时,系统输出稳态仍为正弦信号，只是幅值和相位发生了变化。频率特性的包括两部分——幅频特性和相频特性频率特性的两种表示方法：()()()()jGjGjGjGje或()()()()jAAe或()Re[()]Im[()]()()GjGjGjujv实频特性虚频特性4.2频率特性的两种图示方法4.2.1Nyquist图(奈奎斯特)（极坐标图、幅相曲线）4.2.2Bode图（伯德/波特图）（对数坐标图）4.2.1频率特性的Nyquist图()()()()jGjGjGjGje或()()()()jAAe或()()()0()GjGjGjGj是的复变函数，故可在复平面上用复矢量或其端点来表示。矢量的长度为幅值，与正实轴的夹角为其相角，逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。当从时，端点的轨迹即为频率特性的极坐标图，或称Nyquist图。Im0Re11()Gj234n1()Gj幅相曲线典型环节的Nyquist图()()()0()Re[]()Im[]0GsKGjKAGjKGjuGjKvGj实频特性：虚频特性：传递函数：（）频率特性：（）（）（）（）（1）比例环节的Nyquist图ImK0Re比例环节的Nyquist图为实轴上的一个定点，坐标为（K,j0）()()()()11()190()Re[]0()I1m[]GssAGjGjGjjvGjjuG实频特性：虚频特性：传递函数：（）（）（）频率特性为：（2）积分环节的Nyquist图ImωRe090()()()()90()Re[]0()Im[]AGjGjuGssGjjvGjjG实频特性：虚频特性：传递函数：（）频率特性：（）（）（）（3）微分环节的Nyquist图ImωRe0902222222222()()1()arctg()Re[](1)Im()11111[]KAGjGjuGKGsTsKKKTGjjjTTTTTKTjvGjKTT实频特性：虚频特性：（）（）（）传递函数：（）频率特性：（4）惯性环节的Nyquist图22(1)(1)(1)1KjTKjKTjTjTT2222221()()()1()arcg111tKGsTsKKKTGjjjTKAGjGTTjTT（传递函数：（）频特性：）率（4）惯性环节的Nyquist图ReImω0K1T0()()1()/2()45()0()009GjKGjGjKGjTGjGj时：，时：，时：，ReImω0Kab22abK需证：2222()(1)1uvKTKTT实频特性：虚频特性：()()uv，22()()1()arctg0()1()1()2()45()(1)100()9AGjGjGGsTsGjjjGjGjGTTTjTGjGj时：，时：，时：，传递函数：（）频率特性：（）（5）一阶微分环节（导前环节）的Nyquist图((1))uTv实频特性：虚频特性：ReImω01,0j()（6）振荡环节的Nyquist图2222222222222222222222()01)211()2121()212()()(1)4(1)412()()()()114nnnnnnnnGsssGjjjjuvAGjGjarctg传递函数：频率特性：＝实频特性：，虚频特性：，(欠阻尼下，即00()1()11()()902()0()1800nGjGjGjGjGjGj当，即时：，当，即时：，当，即时：，ImRe（7）延时环节的Nyquist图()()cossin()Re[()]cos()Im[()]sin()1()sjGseGjejuGjvGjGjGj实频特性：虚频特性：幅频特性：相频特性:传递函数：频率特性：1ω0ImRe4.2.2Nyquist图的绘制方法一般步骤：()()()()()()()()()()NyquistGjuvGjGjGjGjuvGj（1）由，，，。（2）求出若干特征点，如起点、终点，与实轴交点，与虚轴交点