第4章测试信号的频谱分析

第4章测试信号的频谱分析本章学习要求：1.掌握信号频谱的概念2.掌握频谱分析的作用与频谱求取方法3.理解信号频谱的数字计算4.了解快速傅里叶变换（FFT）的应用5.掌握随机信号的功率谱估计6.了解信号的倒频谱分析第4章测试信号的频谱分析复杂信号是由众多频率不同的谐波信号叠加而成的，各谐波的强弱比例的改变以及相位的改变，都会使信号总体特性产生变化。谐波的幅值和相位的构成被称为信号的频谱。分析信号的频谱有重要的意义，特别在振动工程、噪声、语音识别、语音合成、故障诊断等领域。第4章测试信号的频谱分析信号频谱X(f)代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。时域(timedomain)分析与频域(frequencydomain)分析的关系幅值时域分析频域分析第4章测试信号的频谱分析信号频域分析是采用傅立叶（级数）变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。8563ASPECTRUMANALYZER9kHz-26.5GHz傅里叶变换X(t)=Asin(2πft)0t0f第4章测试信号的频谱分析时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。图例：受噪声干扰的多频率成分信号第4章测试信号的频谱分析在许多场合，用信号的频率来描述事物的特征也更简洁和明确。下表是不同音阶的时域波形和频谱，频率值的大小直观地反映了音阶的高低。131Hz147Hz165Hz175Hz频域参数对应于设备转速、固有频率等参数，物理意义更明确。第4章测试信号的频谱分析频谱图的概念工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以fn(ωn)为横坐标，bn、an为纵坐标画图，称为实频或虚频谱图。图例第4章测试信号的频谱分析以fn为横坐标，An、为纵坐标画图，则称为幅值或相位谱；n以fn为横坐标，为纵坐标画图，则称为功率谱。2nA第4章测试信号的频谱分析周期信号的频域分析：傅立叶级数非周期信号的频域分析：傅立叶变换对随机信号而言，不能直接用傅立叶积分进行频谱分析。原因是：不符合绝对可积的条件（狄里赫利条件）一般采用自相关函数或互相关函数的傅立叶变换（功率谱密度函数）。自功率谱密度函数(自谱):自相关函数的傅立叶变换互功率谱密度函数(互谱):互相关函数的FTdteRfSfjxx2)()(dteRfSfjxyxy2)()(第4章测试信号的频谱分析第4章测试信号的频谱分析第4章测试信号的频谱分析仿真实验：典型信号的频谱分析第4章测试信号的频谱分析第4章测试信号的频谱分析第4章测试信号的频谱分析第4章测试信号的频谱分析白噪声信号对信号的波形干扰很大，但对信号的频谱影响很小。第4章测试信号的频谱分析谐波信号具有优异的数学性质和深厚的物理背景，通常作为基本信号之一。谐波信号在数学上是一个无起点的简谐震荡周期信号，数学表达式如下：4.1信号频谱的形式与物理意义tjtjeccetAtAtbtatx)cos()sin(sincos)(jeAcAbAa2sin)cos(2式中ftje2C上式中的复指数通常称为复指数谐波，它同一个与其共轭的复指数谐波构成一个实际谐波。ftjeC2*第4章测试信号的频谱分析谐波信号(harmonicsignal)的波形总可由三个特征参数完全描述。其中频率f是一个重要参数，它描述了信号变化的快慢。也经常用到角频率w。谐波信号的重要性质包括两方面：①微分不变性②大部分工程实用信号都可以分解成一系列不同频率谐波的线性组合。如何分解正是谐波分析的重要任务之一。4.1信号频谱的形式与物理意义工程实践中有大量谐波信号。例如…第4章测试信号的频谱分析谐波信号往往对应信号源的一种单纯、谐和运动状态。谐波成分的分布情况能很好说明信号的复杂程度，是信号传输、处理中需要了解的重要特性。周期信号、瞬态信号、各态历经的平稳随机信号都可以通过相应的途径进行谐波分解。4.1信号频谱的形式与物理意义第4章测试信号的频谱分析4.1.1周期信号的信号频谱借助于傅里叶级数(Fourierseries)，一般周期信号可利用傅里叶级数展开成多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号的线性叠加。前提是需满足Dirichlet条件（在周期内只有有限个间断点且绝对可积）。a)傅里叶级数的三角函数展开式：)sincos()(0100tnbtnaatxnnn,...)3,,2,1(n100)cos()(nnntnAatx可变形为：,...)3,,2,1(n第4章测试信号的频谱分析;;;sin)(;cos)(;)(222/2/022/2/022/2/10nnabnnnnTTTnTTTnTTTarctgbaAtdtntxbtdtntxadttxa式中：a0、an、bn为傅里叶系数ω0为信号的基频T为信号基波成分的周期n称为谐波阶数An为各谐波分量的幅值Φn为各谐波分量的初相角Tf2200第4章测试信号的频谱分析b)傅里叶级数的复指数展开式：......2,1,0;)(2/2/10ndtetxCTTtjnwTn00aCxtCennjntn(),(,,,...)0012nnnnnnjbaCjbaC2121第4章测试信号的频谱分析按三角傅里叶级数展开式（4.1-6）或（4.1-11,12），已将x(t)分解成了一系列由序号n标记的实谐波之和。n=0:直流分量—特殊谐波（最简单的谐波），即n=1:基波分量-频率为f1(x(t)的基本频率）的谐波分量，即n1:n此谐波分量-频率为fn=nf1(基波频率的n倍）的谐波分量，即000000sincos)(AAatx)2sin()2cos()2sin()2cos()(11111111111tfAtfAtfbtfatx)2sin()2cos()2sin()2cos()(1111nnnnnnntnfAtnfAtnfbtnfatx第4章测试信号的频谱分析ntfjneCtx1200)(Ctx按指数傅里叶级数展开式4.1-8，便将x(t)分解成了一系列由序号n标记的复（指数）谐波之和，则tfjtfjeCtxeCtx11211211)()(n=0:直流分量-对于实信号x(t)，每个非直流谐波分量x+n(t)都将同一个与其共轭的复谐波x-n(t)合成一个实谐波分量。n=1:基波分量-n1:n此谐波分量-tnfjnntnfjnneCtxeCtx1122)()(第4章测试信号的频谱分析将信号分解成谐波分量时，若将每个谐波分量的特征参数按序排列成图，便能形象地表达信号分解的情况。由于各个谐波分量可由其频率明确区分，故通常以谐波频率为序（不同频率对应不同谐波分量）来刻画谐波分量的幅度及相位等特征参数的分布情况，形成所谓的频谱。对应周期信号分解的四种表达形式，其频谱(spectrum)有五种不同的刻画方法：第4章测试信号的频谱分析对应式4.1-11分解，用（单边）幅值谱An-f和（余弦）相位谱φn-f表示幅频谱--以圆频率ω0（或频率f）为横坐标,幅值An为纵坐标(amplitudespectrum)相频谱--以圆频率ω0（或频率f）为横坐标,相位Φn为纵坐标(phasespectrum)Anω1ω(f)ω20●●●●●●●●●●●●●ω1ω2ω3ω(f)φ(n)第4章测试信号的频谱分析对应式4.1-12分解，用（单边）幅值谱An-f和（正弦）相位谱θn-f表示对应式4.1-6分解，用余弦谱an-f和正弦谱bn-f表示。对应式4.1-8分解，用双边幅值谱、双边相位谱，或实谱、虚谱表示。常见单边频谱图4-5与双边频谱图4-6的关系为00,21~arg0~nnnnACACnCn第4章测试信号的频谱分析例1：复杂周期信号通过求傅里叶级数，可得....5/)5sin(3/)3sin()sin(4)(1tAtAtAtxn第4章测试信号的频谱分析例2如图所示的周期方波，以复指数展开形式求频谱，并作频谱图。,.....)4,2,0(0,.....)5,3,1(2)sin)(cos()(2/2/0012/2/10nnnAjdttnjtntxdtetxCTTTTTtjnwTn,...)3,1(,12)(0nenAjtxntjn第4章测试信号的频谱分析第4章测试信号的频谱分析例3周期单位脉冲序列的频谱周期单位脉冲序列函数（又称采样函数）表达式为其频谱为：)()(nsnTttg)(1)(1)(nssnssTnfTnffTfG第4章测试信号的频谱分析不同形式的频谱的功效完全等价，之间有明确的对应关系（4.1-10、13、14），可任选其一。常用的频谱有图4-5、4-6两种。前者由于其描述的谐波参数有直观意义（有实际的物理意义）而受重用，后着则由于数学运算相对简单而受欢迎。三角函数展开形式的频谱是单边谱（ω从0到∞）复指数展开形式的频谱是双边谱（ω从-∞到∞）双边幅频谱为偶函数，双边相频谱为奇函数。第4章测试信号的频谱分析周期信号频谱的特点：离散性、谐波性、收敛性。谱线间隔为：nw0=n2π/T0信号的能量主要集中在低频段选仪器时要注意频带宽度。第4章测试信号的频谱分析dttxTPTtt0021tnfAtxnn12cos)(对任意周期信号x(t)，定义其平均功率)1(2)0(1220200nAnadttxTGnTttnnnn上式可表达信号x(t)的总体强弱。当x(t)分解成三角谐波分量组合时，其谐波分量的平均功率为4.1.2周期信号的功率谱第4章测试信号的频谱分析0nnnSGPtnfjnnAeCtx12)(nCdttxtxTSnnATttnAnnn2*001当x(t)分解成指数谐波分量组合时，其谐波分量的的平均功率可定义为4.1.2周期信号的功率谱来表达其总体强弱。不难证明有下列Parserval关系：即周期信号无论分解成三角谐波之和还是指数谐波之和，其平均功率都等于所有各个谐波的平均功率之和。第4章测试信号的频谱分析nnSGSG200由此可知，各谐波分量的功率也是重要参数，可以比较直接地表达它对合成总信号的贡献。于是将谐波分量的功率按频率顺序排列，构成功率谱（单边和双边）。4.1.2周期信号的功率谱双边功率谱对称于纵轴。双边功率谱Sn与单边Gn有下列关系：第4章测试信号的频谱分析对于非周期连续时间信号x(t),若满足Dirichlet条件，在数学上不难证明下列傅里叶变换关系与周期信号不同的是：1.每个谐波分量xf(t)的幅度X(f)df都是无穷小量2.各谐波分量在频率f轴上连续排列，而周期信号各谐波分量之间间隔频率f1=1/T由上式可知，它将时限信号x(t)分解成了一系列复指数谐波分量的和。4.1.3非周期信号的频谱密度xtXfedfXfxtedtjftjft()()()()22ftjfedffXtx2第4章测试信号的频谱分析虽然各谐波分量的幅度都是无穷小量，但可通过X(f)表达各自的特性：模X(f)可表达xf(t)幅度的相对大小，辐角argX(f)正是xf(t)的零时相位。可见：任意频率f附近单位频带内的谐波分量合成近似为频率f、幅度为、零时相位为argX(f)的（复）指数谐波。由此，X(f)被称为信号x(t)的（双边）频谱密度函数。相应地也分为幅度谱、相位谱、实谱、虚谱。进一步考察在任意频率f=