各种概率分布方法大全

概率分布方法随机事件的概率概率的古典定义（1）某随机试验的样本空间只有有限个样本点—n个；（2）在每次试验中每个样本点出现的可能性完全相同；（3）如果事件A含有Ω中k个样本点，则定义P(A)=k/n12n12120P(A)P()1AAA()(((123nnPAAAPAPAPA古典概率具有以下性质：——非负性——规范性如果，，性质性质性…两两互斥，则）））——质有限可加性ج-概率的几何定义1几何型试验如果试验具有如下两个特征：（1）试验结果为无限不可列个；（2）每个结果出现的可能性是均匀的；则称该随机试验为几何型试验。2概率的几何定义：设试验E的样本空间为某可度量的区域Ω，且Ω中任意区域出现的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比而与该区域的位置和形状无关，则称试验E为几何概型。ج-概率的几何定义如果A是Ω中的一区域，且A可以度量，则定义事件A的概率为P(A)=A的几何度量/Ω的几何度量1条件概率定义1.8在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件A对事件B的条件概率，记作P(A|B)。相应地，把P(A)称为无条件概率。P(AB)P(A|B)P(B)0P(B)，ب-全概率公式和贝叶斯公式定理1.1如果n个事件A1，A2，…An构成一个完备事件组，且都具有正概率，则对任一事件B，有1212121122()()[()]()()()()()(|)()(|)()(|)nnnnnPBPBPBAAAPABABABPABPABPABPAPBAPAPBAPAPBAA1A2A5A7A3A6A4B定理1.2如果n个事件A1，A2，…An构成一个完备事件组，且都具有正概率，则对任一个概率不为零的事件B11122()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)()(|)()(|)mmmmniiimmnnPABPAPBAPABPBPAPBAPAPBAPAPBAPAPBAPAPBA这就是著名的贝叶斯定理或贝叶斯公式。一随机变量的概念定义2.1离散型随机变量连续型随机变量3随机变量与分布函数二随机变量的分布函数122112211221()()-()(0)()()(0)()()()()()(0)()(0)(2.2)XFxPXxxXPXxFxPXxFxFxPxXxFxFxPxXxFxFxPxXxFxFx定义分布函设是随机变量，对于任意实数，令，称之为随机变量的。以随机变量表示的任意随机事件都可以用分布函数来表示：，数()()-FxPXxx，120120.30()()()xFxPXaptdt()()()-()baPaXbpxdxFbFaab分布函数F(x)具有下列性质：（1）F(x)是不减函数；（2）0=F(x)=1;（3）F(x)是右连续函数，即经典概率论123-1)()-1-2[-(-2)][-(-1)]n(-1)(-2)[-(-1)]rnnrrrnnnnrnrPnnnr从个不同的元素中任取个排成一列，称为一个。所有不同的排列数可以按照如下方法分析计算：（）（）（）（排列(1)(2)21!nnPnnnn1.1排列B全排列•1排列组合知识复习A选排列mmnAnC重复排列D不尽相异元素的全排列：如果在n个元素中，分布有n1,n2,…nm个元素相同，且n1+n2+…+nm=n，则这n个元素的全排列为不尽相异元素的全排列，其排列种数为A无重复组合1.2组合与组合数!!(-)!!rrnnnrPnCrnrr从个不同的元素中任取个组成一组，称为一个。所有不同的组合数的计算公式为：组合B多组组合把n个不同的元素分成m（m=n）组，第i组中有ni（i=1，2，…,m）个不同的元素，且n1+n2+…+nm=n，则这样的组合数为C有重复的组合从n个不同的元素中，每次取出k（k=n）个元素，可以重复，不考虑次序组成一组，这种组合称为有重复的组合，其组合数为一随机现象和确定现象在相同条件下只有一种结果的现象称为确定性现象。在相同条件下不只发生一种结果，并在事先无法确定每一次究竟发生其中哪个结果的现象，称为随机性现象。2事件与概率随机现象的特点：1.在一定条件的试验下，结果是许多结果中的一个2.每次试验的结果在试验前未知，即呈现偶然性，凭机会而定三随机事件部分样本点的集合，称为随机事件，简称事件，一般用A、B、C等大写拉丁字母表示。事件具有以下性质特征：（1）任一事件A都是样本空间Ω的子集；（2）事件A的发生，当且仅当属于A的任意一个样本点发生；当且仅当属于A的样本点发生时，事件A发生A（3）任一随机试验的样本空间Ω都有一个最小的子集，即空集Φ，对应的事件称为不可能事件，仍记为Φ；（4）任一随机试验的样本空间Ω都有一个最大的子集，即Ω自己，对应的事件称为必然事件，仍记为Ω；（5）事件的表示既可以用集合，也可以用语言。四随机事件之间的关系和运算1包含：如果A的样本点全部都属于B，则称B包含A，或A包含于B。记作或如果A含于B，则当A发生时，B一定发生。但是反过来则不一定B河南人A郑州人BAAB2事件的相等3事件的并运算并事件发生时，意味着至少其中之一发生，或者A发生，或者B发生，或A、B同时发生。B大学生A河南人2事件的相等3事件的并运算并事件发生时，意味着至少其中之一发生，或者A发生，或者B发生，或A、B同时发生。4事件的交运算：交事件AB发生时，事件A、B同时发生。B大学生A河南人A河南人5事件的差运算从A中去掉属于B的样本点之后剩下的样本点组成的事件，称为A与B的差。差事件A－B发生时只有A发生，而B不发生。BAAB-AB-AB大学生B大学生A河南人5事件的差运算从B中去掉属于A的样本点之后剩下的样本点组成的事件，称为B与A的差。差事件B－A发生时只有B发生，而A不发生。B-AB-ABAB山东人6互不相容如果事件A和事件B没有相同的样本点，或者说A、B含有的样本点全都不相同，则称A、B互不相容。A、B互不相容时，它们不能同时发生，即AB=Φ.但是可以同时不发生A河南人B河北人7对立事件：在Ω中除去属于A之外其余样本点构成的事件，称为事件A的对立事件。相互对立的两个事件一定不会同时发生，但每次必定有其中之一发生40岁以上的中老年人AA40岁以下的青年人8完备事件组若事件A1、A2、…、An两两互不相容，且A1+A2+…+An=Ω，则称A1、A2、…、An构成一完备事件组，又称之为样本空间的一种划分。ΩA1A3A2A4A5A7A6离散型随机变量的分布一概率分布分布律分布列分布阵分布律的性质Xx1x2…xi…Pp1p2…pi…二常见离散型随机变量的分布1两点分布如果随机变量X的分布列为：则称X服从两点分布或贝努利分布，特别地，当a=0，b=1时的两点分布称为0-1分布，记为B(1，p)0-1分布的概率函数可表示为P(X=k)=pk(1-p)1-k，k=0，1XabP1-pp2二项分布00()(1)~()()(1)[(1)]110-1kknknnnkknkniinXPXkCppXnpXBnpPXkCppppn如果随机变量具有概率函数：则称服从参数为，的，记为，易知在二项分布中，当时，就是二项分布分布1(1)!(1)P{}!()!!P{-1}(1)(1)![(1)]!(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1(1)(1)P{}P{-1}P{}(1)knkknknppXkknknXkppknkpnkpnkkkkpkpkpnpknpkkpkpkXkXkXkknp由此可以看出，当时，，随着的增加而P{}P{-1}{(1)P}kXkXkXnkpk增加；当时，，随着的增加而下降。000000(1)(P{}P{-1}max(1)11)1[(1)](1)1(1)npknpkkXkXknpkkppnpknpppnnnpnnknpn因此，当时，，其中，为正整数，其他称为二项分布的。当较大或最可能值重复试验次数很大时，频率接近概时，将有，率的可能就是说，性最大！00P45012!40~13!kxkkkXPkPXkekkXXPePXkek（）如果随机变量具有概率函数（）（），，，，其中，则例泊松分布泊松（普哇松）分布称服从参数为的记为（）。根据的幂级数展开式，易知），（~()(01)0lim012!(1)1(1)(1)11(1)(12.2nnnnnknnknkkknkknnnnnknkXBnpppnnpPXkekkPXkCppCnnnnnkknnn设，，其中与有关，且，则有（），，，，（定理（泊松定理）证明：）！21)(1)11nkkknnknn！lim121lim(1)(1)(1(1)!!1n)1pkkknknnnnkknknnnPXkknnnknnekPXppkCek（）！就是说，在一定条件下，二项分布以泊松分布为极限。因此，在比较大，较小的情况下，可以用泊松分布近似二项分布：（)11i1P46(1)123~().1(1)1)541(1kkXPXkppkXpXGppppp（）如果随机变量具有分布律：（），，，，……则称服从参数为的几何分布，记为利用几何级数的求和公式例几何分布容易验证----00123min{}5~().1knkMNMnNknklMNMnkNXCCPXkklCnNMNlnMnMNXNMnXHNMnCCC如果随机变量具有分布律：（），，，，，…，其中，，，，、、均为正整数，则称服从参数为、、的超几何分布，记为，，可以验证超几何分布20-200800201000---4701220()li72.m(1)3kkknkkknkMNMnnNNCCPPXkkCNnMNpnkNCCCppCN（）（），，，，，当充分大，而相对很小时，不放回抽样可近似按放回抽样对待，从而可以用二项分布近似超几何分布。若当时，，不变，则有就是说，时，超几何分例定理（二项布以二项分布定理）为极限。1111111111(1)(2)[(1)]!121(1)(1)(1)!(1)(2)[(1)]()!121(1)(1)(1)()!kMknkNnkMMMMkCmMmmMMMNNNNnkCnkNnknkNNNNNM证明，：其中111111(1)(2)[(1)]121(1)(1)(1)!!()12!()1121(1)(1)(1)(1)(1)(1)121(1)(1)(1)!!!!()!nkknnNknknnkkknMNnNNNNNNnNnCnnNNNCCPXkCknkMMMNNNnNNMknkNNnNnMknkNN1111111121121(1)(1)(1)(1)(1)(1)121(1)(1)(1)121121(1)(1)(1)(1)(1)(1)121(1)(1)(1)-lim()kkknkmmnnnNmknkMMMNNNnNNNknkMMMNNNCpqnNNNNMNMpqNNNPXkCpq，1p§2.3连续型随机变量的分布一概率密度()()()()())24(.baXpxxXabPaXbpxdxX