数值分析4-2

第四章数值积分与数值微分§2牛顿—柯特斯公式一、牛顿—柯特斯公式二、偶阶求积公式的代数精度三、几种低阶求积公式的余项四、举例nkknknbaxfCabIdxxf0)()()()(一、牛顿—柯特斯公式1.牛顿—柯特斯公式对于机械求积公式,nabh将积分区间[a,b]划分为n等分，步长nkkkbaxfAdxxf0)()(选取等距节点构造出的插值型求积公式khaxk称作Newton-Cotes公式柯特斯系数2.柯特斯系数的计算由插值型求积公式可知baknkknkkkbadxxlxfxfAdxxf)()()()(00所以baknkdxxlabC)(1)(引入变量变换thaxdxxxxxabjkjbankjj01则jhaxkhaxjk,于是有dtjkjtabhCnnkjjnn00)(dtjtjknnnkjjnkjj)(11000()nabhdtjtnkkknnnkjj)())...(2)(1(11)...1(1100dtjtknnknnkjjkn)()!(!)1(00即柯特斯系数的计算公式dtjtknnkCnnkjjknnk)()!(!)1(00)(当n=1时，1001)1(0)1()!01(!01)1(dttC211011)1(1)0()!11(!11)1(dttC21故一阶的牛顿—柯特斯公式为梯形公式当n=2时，2002)2(0)2)(1()!02(!02)1(dtttC6120)2(1)2)(0(21dtttC64故二阶的牛顿—柯特斯公式为辛甫生(Simpson)公式20)2(2)1)(0(41dtttC61)]()2(4)([6bfbafafabS而n=4时的牛顿—柯特斯公式为)](7)(32)(12)(32)(7[9043210xfxfxfxfxfabC这里4,abhkhaxk特别称为柯特斯(Cotes)公式注：其余柯特斯系数详见书上的表.牛顿-柯特斯求积公式在哪里？？？？机械求积公式牛插值型公式N-C公式2(n+1)(n+1)1柯特斯系数牛二、偶阶牛顿-柯特斯求积公式的代数精度实际的代数精度到底是多少？作为插值型的求积公式，n阶牛顿—柯特斯公式至少具有n次代数精度，那么两种特殊偶阶求积公式的代数精度辛甫生(Simpson)公式)]()2(4)([6bfbafafabS首先它是二阶公式，因此至少具有二次代数精度，进一步当f(x)=x3时，])2(4[6333bbaaabS而4443abdxxIba这时有S=I即辛甫生公式对次数不超过三次的多项式均能准确成立，又容易验证它对f(x)=x4是不准确的，因此，二阶辛甫生公式实际上具有三次代数精度。对四阶柯特斯公式进行检验发现：四阶柯特斯公式实际上具有五次代数精度。这不是偶然，一般地，有下面的定理。偶数阶求积公式的代数精度定理当n为偶数时，牛顿—柯特斯公式至少有n+1次代数精度。注：在实际应用时，出于对计算复杂性和计算速度的考虑，我们常常使用低阶偶数求积公式，代替高一阶的奇数求积公式。三、几种低阶求积公式的余项方法：根据定理：若求积公式的代数精度为m，则余项形如)()()(][)1(0mnkkkbaKfxfAdxxffR其中K是不依赖于f(x)的待定参数。例：求如下求积公式的余项)0(61)1(31)0(32)(10fffdxxf解：由于此求积公式的代数精度为2，则余项)()()(][0fKxfAdxxffRnkkkba令f(x)=x3，则可得。（省略）1.求梯形公式的余项)]()([2)(bfafabTdxxfba梯形公式解：梯形公式的余项)]()([2)(bfafabdxxfRbaT)(fK3)(12)(abfRT令f(x)=x2，可得K.2.求辛甫生公式的余项辛甫生公式)]()2(4)([6bfbafafabS解：辛甫生公式的余项)]()2(4)([6)(bfbafafabdxxfRbaS)()4(kf令f(x)=x4，可得K.)(2180)4(4fababRS3.柯特斯公式的余项)()4(945)(2)6(6fababCIRc四、举例试分别使用梯形公式和辛甫生公式计算积分211dxex的近似值，并估计余项。解用梯形公式计算1835.2)(21221121eedxex3)(12)(abfRT余项,)(1xexf,1)(12xexxf,)12()(143xexxxf1548.8)1(|)(|max21fxfx所以余项为3)(12)(||abfRT6796.0|)(|max12)12(213xfx用辛甫生公式计算0263.2)4(612215.11121eeedxex余项)(2180)4(4fababRS,)2436121()(15678)4(xexxxxxf43.198)1(|)(|max)4()4(21fxfx所以余项为06890.0|)(|max2880)12()4(215xfx)(2180)4(4fababRS例：习题5.作业(第4，5版)习题3，4，5