数值分析法--曲线拟合法、插值建模法

数值分析法相关知识在生产和科学实验中，自变量x与因变量y间的函数关系()yfx有时不能写出解析表达式，而只能得到函数在若干点的函数值或导数值，或者表达式过于复杂而需要较大的计算量。当要求知道其它点的函数值时，需要估计函数值在该点的值。为了完成这样的任务，需要构造一个比较简单的函数()yx，使函数在观测点的值等于已知的值，或使函数在该点的导数值等于已知的值，寻找这样的函数()yx有很多方法。根据测量数据的类型有以下两类处理观测数据的方法。（1）测量值是准确的，没有误差，一般用插值。（2）测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。曲线拟合法已知离散点上的数据集1122{(,),(,),,(,)}nnxyxyxy，即已知在点集12{,,,}nxxx上的函数值12{,,,}nyyy，构造一个解析函数（其图形为一曲线）使()fx在原离散点ix上尽可能接近给定的iy值，这一过程称为曲线拟合。曲线拟合的一般步骤是先根据实验数据，结合相关定律，将要寻求的最恰当的拟合曲线方程形式预测出来，再用其他的数学方法确定经验公式中的参数。对于事先给定的一组数据，确定经验公式一般可分为三步进行：(1)、确定经验公式的形式：根据系统和测定的数据的特点，并参照已知图形的特点确定经验公式的形式。（2）、确定经验公式中的待定系数：计算待定系数的方法有许多常用的法有图示法、均值法、差分法、最小二乘法、插值法等。（3）、检验：求出经验公式后，还要将测定的数据与用经验公式求出的理论数据作比较，验证经验公式的正确性，必要时还要修正经验公式。关于确定经验公式的形式，可从以下几个方面入手：（1）、利用已知的结论确定经验公式形式，如由已知的胡克定律可以确定在一定条件下，弹性体的应变与应力呈线性关系等。（2）、从分析实验数据的特点入手，将之与已知形式的函数图形相对照，确定经验公式的形式。（3）、描点作图法：将已知的点用光滑的曲线连接起来，寻找曲线的形式。（4）、多项式近似、线性插值或样条插值等。多项式近似是工程中十分常见的方法，它首先需要确定多项式的次数，一般可以用差分法、差商法来估计。一、差分方程法1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。(1)、说明：差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。(2)、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。2、基本知识：基本概念1、差分算子：设数列nx，定义差分算子nnnxxx1:为nx在n处的向前差分，而1nnnxxx为nx在n处的向后差分。（以后我们都是指向前差分），可见nx是n的函数。从而可以进一步定义nx的差分：nnxx2)(称之为在n处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。类似可定义在n处的k阶差分为：))((1nknkxx2、差分算子、不变算子、平移算子：记nnnnxIxxEx,1，称E为平移算子，I为不变算子。则有：nnnnxIEIxExx)(IE由上述关系可得：inkiikiknikiikiknknkxCxECxIEx00)1()1()(（1）这表明nx在n处的k阶差分由nx在knnn....1,，处的取值所线性决定。反之，由nnnxxx1得nnnxxx1：nnnnxxxx1222，得：nnnnxxxx2122,这个关系表明：第n+2项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来表现和计算。即一个数列的任意一项都可以用其前面的k项和包括这项在内的k+1项增量的增量的增量……..第k层增量所构成。……..,)1(10kninkiikiknkxxCx得：nkinkiikikknxxCx10)1(（2）可以看出：knx可以由nknnxxx,...,,的线性组合表示出来3、差分方程：由nx以及它的差分所构成的方程),...,,,(1nknnnkxxxnfx（3）称之为k阶差分方程。由（1）式可知（3）式可化为：),...,,,(11knnnknxxxnFx（4）故（4）也称为k阶差分方程（反映的是未知数列nx任意一项与其前，前面k项之间的关系）。由（1）和（2）可知，（3）和（4）是等价的，我们经常用的差分方程的形式是（4）式。4、差分方程的解与有关概念：（1）、如果nx使k阶差分方程（4）对所有的n成立，则称nx为方程（4）的解。（2）、如果xxn（x为常数）是（4）的解，即),...,,(xxnFx则称xxn为（4）的平衡解或叫平衡点。平衡解可能不只一个。平衡解的基本意义是：设nx是（4）的解，考虑nx的变化性态，其中之一是极限状况，如果xxnnlim，则方程（4）两边取极限（x就存在在这里面），应当有),...,,(xxnFx（3）、如果（4）的解nx使得xxn既不是最终正的，也不是最终负的，则称nx为关于平衡点x是振动解。（4）、如果令：xxynn，则方程（4）会变成),...,,(1knnknyynGy（5）则0y成为（5）的平衡点。（5）、如果（5）的所有解是关于0y振动的，则称k阶差分方程（5）是振动方程。如果（5）的所有解是关于0y非振动的，则称k阶差分方程（5）是非振动方程。（6）、如果（5）有解ny，使得对任意大的yN有：0nNnySupy则称ny为正则解。（即不会从某项后全为零）（7）、如果方程（4）的解nx使得xxLimnn，则称nx为稳定解。5、差分算子的若干性质（1）nnnnyxyx)(.)(（2）)(1)(1nnnnnnnnyxxyyyyx（3）nnnnnnyxxyyx1)(（4）bakkkabakabbkkyxyxyxxy111（5）niiinnnnxCxIxEx0000)(6、Z变换：定义：对于数列nx，定义复数级数0)()(kkknzxxZzX（6）这是关于z洛朗级数。它的收敛域是：21RzR，其中2R可以为，1R可以为0。称)(nxZ为nx的z-变换。由复变函数展开成洛朗级数的唯一性可知：z变换是一一对应的，从而有逆变换，记为：))((1zXZxn（7）z变换是研究数列的有效工具。z变换的若干重要性质：（1）线性性：)()()(nnnnyZxZyxZ（2）平移性质：])([)(10NkkkNNnzxzXzxZz变换举例：（1）0,00,)(nnn,则001)1()())((kkkkzzknZ（2）0,00,1)(kknu，则00,1,1)())((kkkkzzzzzkunuZ（3）设,)(nanf则0,0,,)(kkknaazazzzaaZ（4）设,!1)(nnf则0,!1)!1(01zezknZkzk3、差分方程常用解法与性质分析：1、常系数线性差分方程的解方程)(...110nbxaxaxankknkn（8）其中kaaa,...,,10为常数，称方程（8）为常系数线性方程。又称方程0...110nkknknxaxaxa（9）为方程（8）对应的齐次方程。如果（9）有形如nnx的解，带入方程中可得：0...1110kkkkaaaa（10）称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。基本结果如下：（1）、若（10）有k个不同的实根，则（9）有通解：nkknnncccx...2211，（2）、若（10）有m重根，则通解中有构成项：nmmncncc)...(121（3）、若（10）有一对单复根i，令：ie，arctan,22，则（9）的通解中有构成项：ncncnnsincos21（4）、若有m重复根：i，ie，则（9）的通项中有构成项：nncnccnncnccnmmmmnmmsin)...(cos)...(1221121综上所述，由于方程（10）恰有k个根，从而构成方程（9）的通解中必有k个独立的任意常数。通解可记为：nx如果能得到方程（8）的一个特解：*nx，则（8）必有通解：nxnx+*nx（11）（8）的特解可通过待定系数法来确定。例如：如果)(),()(npnpbnbmmn为n的多项式，则当b不是特征根时，可设成形如)(nqbmn形式的特解，其中)(nqm为m次多项式；如果b是r重根时，可设特解：rnnb)(nqm，将其代入（8）中确定出系数即可。2、差分方程的z变换解法：对差分方程两边关于nx取Z变换，利用nx的Z变换F（z）来表示出knx的Z变换，然后通过解代数方程求出F（z），并把F(z)在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的nx例1设差分方程1,0,0231012xxxxxnnn，求nx解：解法1：特征方程为0232，有根：2,121故：nnnccx)2()1(21为方程的解。由条件1,010xx得：nnnx)2()1(解法2：设F（z）=Z(nx),方程两边取变换可得：0)(2))((3)1.)((0102zFxzFzzxxzFz由条件1,010xx得23)(2zzzzF由F（z）在2z中解析，有000)21()1(2)1(1)1(211111)2111()(kkkkkkkkkkzzzzzzzzzF所以，nnnx)2()1(3、二阶线性差分方程组设)(nz)(nyxn，)(dcbaA，形成向量方程组)()1(nAznz（12）则：)1()1(zAnzn（13）（13）即为（12）的解。为了具体求出解（13），需要求出nA，这可以用高等代数的方法计算。常用的方法有：（1）如果A为正规矩阵，则A必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值，相似变换矩阵由A的特征向量构成：)1()()1(,,111zppnzppAppAnnn。（2）将A分解成,,/,A为列向量，则有AAnnn.)(.......).(1//.//从而，)1(.)()1()1(1/AzzAnznn（3）或者将A相似于约旦标准形的形式，通过讨论A的特征值的性态，找出nA的内在构造规律，进而分析解)(nz的变化规律，获得它的基本性质。4、关于差分方程稳定性的几个结果（1）k阶常系数线性差分方程（8）的解稳定的充分必要条件是它对应的特征方程（10）所有的特征根kii...2,1,满足1i（2）一阶非线性差分方程)(1nnxfx（14）（14）的平衡点x由方程)(xfx决定，将)(nxf在点