四节点矩形单元有限元分析

平面问题有限元分析四节点矩形单元天津大学建筑工程学院TianjinUniversity本节内容提要1、分析提高有限元法求解精度的途径2、简要回顾三节点三角形单元有限元分析过程3、全面介绍四节点矩形单元有限元分析过程4、总结分析提高有限元求解精度的途径TianjinUniversity一、三节点三角形单元的缺点三节点三角形单元精度低，收敛慢，由于单元内应力和应变均为常量，故在单元内不能很好地反映应力和应变的变化。该单元只有三个节点，单元自由度少，单元位移插值函数（位移模式）只能是线性函数，描述单元内位移变化的能力差。分析提高有限元求解精度的途径TianjinUniversity二、提高有限元求解精度的途径第一个途径是对某一种特定类型的单元采用网格划分加密，依靠单元的收敛性提高求解精度。第二个途径是对一定的单元网格和单元尺寸，采用高精度单元来提高求解精度。分析提高有限元求解精度的途径TianjinUniversity三、建立高精度单元的原理和途径原理：提高单元位移插值函数多项式的阶次，从而提单元拟合局部区域位移、应力变化的能力。途径：增加单元的节点数目。对于平面有限元问题，除三节点三角形单元外，还可以考虑六节点三角形单元和四节点矩形单元。TianjinUniversity三节点三角形单元有限元分析过程设位移函数求位移函数中的未知量代入函数中整理可得形函数()ijmN、（性质？）几何方程求解应变（几何矩阵）B物理方程求解应力（弹性矩阵应力矩阵）DS运用虚功原理求解eK由合成(方法？)eKK建立节点荷载列阵（方法？F处理位移约束条件（方法？）组成？)TianjinUniversity四节点矩形单元有限元分析过程一、四节点矩形单元位移函数12345678uxyxyvxyxy单元节点编号为k，l，m，n（逆时针）单元节点位移列阵为：Tnnmmllkkevuvuvuvu设位移函数为：(,)[(,)]{}xyfxy或写为：TianjinUniversity四节点矩形单元有限元分析过程二、求解位移函数中的未知系数将节点坐标(,),(,),(,),(,)abababab代入函数中，并写成矩阵形式：123456781000000001100000000110000000011000000001kklelmmnnuababvababuababvababAuababababvababuababv解上述方程组可得：1eATianjinUniversity四节点矩形单元有限元分析过程三、将所求值代入位移函数中1(,)[(,)][]exyfxyATianjinUniversity四节点矩形单元有限元分析过程四、整理位移函数可得形函数(,,)klmnN1(,)[(,)][][(,)]{}eexyfxyANxy展开上式可得：0000(,)0000kkllklmnklmnmmnnuvuvNNNNuxyNNNNvuvuv四节点矩形单元有限元分析过程其中，形函数为：)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41byaxNbyaxNbyaxNbyaxNnmlkTianjinUniversity四节点矩形单元有限元分析过程单元位移插值函数可以由单元形状函数与节点位移值的乘积表示：,,{,}(,)lmniiikxyNxy即可以表示为：(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)kkllmmnnkkllmmnnuNxyuNxyuNxyuNxyuvNxyvNxyvNxyvNxyvTianjinUniversity四节点矩形单元有限元分析过程(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)kkllmmnnkkllmmnnuNxyuNxyuNxyuNxyuvNxyvNxyvNxyvNxyv由此可见，位移插值函数完全由形函数决定；因此抛开节点位移，只讨论形函数的性质，就可以了解单元的变形性质。例如：四节点矩形单元，若则由可得：因此可以看出，单元变形完全由形函数决定。1,0,klmnklmnuuuuvvvv,,{,}(,)lmniiikxyNxy,,(,)lmneiikkkikuNxyNuNvTianjinUniversity四节点矩形单元有限元分析过程另外，可以验证形函数另外两个性质：（1）同理对于其余三个形函数,()1,(,)0,iiiijjNxyNxyiy,,,,1()(1)(1)141()(1)(1)041()(1)(1)041()(1)(1)04kkklkkmkknnnabNxyababNxyababNxyababNxyab,(),(,),(,)lmnNxyNxyNxy。TianjinUniversity四节点矩形单元有限元分析过程TianjinUniversity（2）即在单元内任意一点处的形函数之和等于1。,,(,)1lmniikNxy,,1(,)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)4lmniikxyxyxyxyNxyabababab1(1)(11)(1)(11)4xyyxyyabbabb12(1)2(1)4xxaa1四节点矩形单元有限元分析过程TianjinUniversity五、几何方程求解应变将位移插值函数代入几何方程中：eexyyxBNxyyx00形函数矩阵经过微分算子矩阵作用后得到3×8几何矩阵：ybxaybxaybxaybxaxaxaxaxaybybybybabB0000000041四节点矩形单元有限元分析过程TianjinUniversity六、物理方程求解应力由平面问题物理方程可得：其中：eeDDBS21010(1)1002ED)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)()()()()()()()()()()()()()()()()1(42ybxaybxaybxaybxaxaybxaybxaybxaybxaybxaybxaybxaybabES因此，应力矩阵为：S四节点矩形单元有限元分析过程TianjinUniversity结论：对于平面四节点矩形单元，其单元上的应力、应变不再是常数，而是在一定程度上呈线性变化，即：方向的正应力和正应变随坐标线性变化；方向的正应力和正应变随坐标线性变化；剪应力沿坐标和坐标均成线性变化。因此，若在弹性体中采用相同数目的节点时，矩形单元的精度要比常应变三角形单元的精度高。xyyxxy四节点矩形单元有限元分析过程TianjinUniversity七、运用虚功原理求解eK由虚功原理，节点力在节点的虚位移上所做的虚功应等于单元内部应力在虚应变上所做的虚功，即内力虚功=外力虚功，也即：;WQ{}{}{}{}eTeTAFtdxdy将{}{}TTeTB和{}eBD代入上式，可得：{}{}TeeFBDBtAeTKBDBtA由此，可得：四节点矩形单元有限元分析过程TianjinUniversity2222222222222222211111111111()(1)()(13)()(1)(1)(13)328348628681111111111()(13)(1)(1)()(13)()32868628341(1)ebaabbaabbaabbaababababababababEhKab2222222222222222221111111()(1)(1)(13)()(1)3286862811111111()(13)()(1)()32834862111111()(1)()(13)328348111()328baabbaabbaababababababbaabbaababa对称2222221(13)(1)6111()(1)32811()32babbaabab四节点矩形单元有限元分析过程TianjinUniversity)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41byaxNbyaxNbyaxNbyaxNnmlk1(1)(1)4rrrN引入无量纲坐标：(,,,)rklmn,xyab,rrrrxyab四节点矩形单元有限元分析过程TianjinUniversity1xyxyuubxvvayabuvuvabyx由几何方程可得单元应变场表达式：可记为：{}eB四节点矩形单元有限元分析过程TianjinUniversity几何矩阵可表示成分块形式：klmnBBBBB其中：0(1)01100(1)4(1)(1)rrrrrrrrrrrrrNbbNBaaabababNNab(,,,)rklmn四节点矩形单元有限元分析过程TianjinUniversity由应力与应变关系，可得单元应力场表达式：{}{}{}eeDDBS应力矩阵可表示成分块形式：klmnSSSSS其中：2(1)(1)(1)(1)4(1)11(1)(1)22rrrrrrrrrrrrrrbaESDBbaabab(,,,)rklmn对于平面应变问题：2,11EE四节点矩形单元有限元分析过程TianjinUniversitykkklkmknelklllmlnmkmlmmmnnknlnmnnKKKKKKKKKKKKKKKKK1112221224(1)rskkEtKkkab(,,,,)rsklmn其中：TrsrsKBDBtA即：单元刚度矩阵：四节点矩形单元有限元分析过程TianjinUniversity1112221224(1)rskkEtKk