Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和

AdvancesinAppliedMathematics应用数学进展,2016,5(4),798-812PublishedOnlineNovember2016inHans.://dx.doi.org/10.12677/aam.2016.54092文章引用:赵晶,刘丹,胡汭炎.Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和[J].应用数学进展,2016,5(4):798-812.:Nov.11th,2016;accepted:Nov.26th,2016;published:Nov.30th,2016Copyright©2016byauthorsandHansPublishersInc.ThisworkislicensedundertheCreativeCommonsAttributionInternationalLicense(CCBY).矩阵与Nekrasov矩阵的子直和赵晶，刘丹，胡汭炎云南大学数学与统计学院，云南昆明收稿日期：2016年11月11日；录用日期：2016年11月26日；发布日期：2016年11月30日摘要本文给出了Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和为Nekrasov矩阵的充分条件，并用数值例子对所给结论进行了说明。OpenAccess赵晶等799关键词Nekrasov矩阵，子直和，严格对角占优1.引言矩阵在诸如概率统计，微分方程，最优化，控制论与系统理论，计算数学等数学分支都有着重要应用。1999年Fallat和Johonson引入方阵的k-子直和的概念[1]。由于矩阵的子直和在很多领域具有重要应用[1][2][3][4]，之后对矩阵的子直和的研究相继取得许多重要结果。2005年Pedroche和Szyld等给出两个非奇异M矩阵的子直和是非奇异M矩阵的一些充分条件[2]，2006年他们再次给出S严格对角占优矩阵的k-子直和是S严格对角占优阵的充分条件[5]。2007年朱燕，黄廷祝研究了双对角占优矩阵的子直和[6]，2010年Bru，Cvetkovic，Kostic，Pedroche对Σ-严格对角占优矩阵的子直和进行了研究[7]，2015年李朝迁，李耀堂等对Nekrasov矩阵的子直和进行了研究[8]。2016年赵晶，李耀堂等对严格对角占优矩阵与Nekrasov矩阵的子直和进行了研究[9]。本文我们继续研究Nekrasov矩阵的子直和，期望找到Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和仍为Nekrasov矩阵的条件。下面先给出本文中要用到的基本知识。定义1.1[1]：设A为1n阶方阵，B为2n阶方阵，k为正整数且{}121min,knn≤≤，A和B有如下22×分块形式：1112111221222122,AABBABAABB==(1)其中22A和11B是k阶方阵。令111221221112212200AACAABBBB=+，称C为A和B的n(12nnnk=+−)阶k-子直和，记为kCAB=⊕。注1[5]：设ijAa=，ijBb=，kijCABc=⊕=，则由定义1.1易得：1111111121321,22,2331,323,,,0,,,,,,,,,,,,0,,,,,.ijijijinkjnkijinkjnkinkjnkaiSjSSiSjSaiSjSabiSjScbiSjSiSjSbiSjSS−+−+−+−+−+−+∈∈∪∈∈∈∈+∈∈=∈∈∈∈∈∈∪其中{}{}{}1121113111,2,,,1,2,,,1,2,,SnkSnknknSnnn=−=−+−+=++。(2){}123:1,2,,SSSNn∪∪==。故C有可表示如下：赵晶等8002111111111111111111221,11,111,1,1111,1,1,11,,1,1,,,1,1,11,,1,0000SSnknnknknknknknknknknnkknnkknnnkkkknnkaaaaababaaCababaabbbb−+−−+−+−+−+−+−−+−++++=++32222221,11,,1,1,11,,1,00Sknkkknkkknnknnbbbbbbbb++++++定义1.2[10][11][12]：设矩阵ijAa=是n阶矩阵，若对任意一个iN∈，()iiiarA成立，其中()111iniijijjjirAaa−==+=+∑∑，则称A为严格对角占优矩阵。定义1.3[13][14]：设矩阵ijAa=是n阶矩阵，令()()()11111,,2,3,,injijijjjijjhAhArAaaina−==+=+=∑∑若对任意一个iN∈，()iiiahA成立，则A称是Nekrasov矩阵。注2[13]：由严格对角占优矩阵与Nekrasov矩阵的定义得严格对角占优矩阵是Nekrasov矩阵的一个子类。2.Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和首先我们用一个例子说明Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和不一定是Nekrasov矩阵。例2.1：设1.510.400.500.6001.650.800.800.500.102.000.900.500.800.301.50A−−−−−=−−−−−−，7.900.500.500.509.0012.005.005.004.0009.603.004.90006.00B−−−−−−=−−−。容易验证A是Nekrasov矩阵，B是Nekrasov矩阵。由定义得A与B的3-子直和3CAB=⊕为1.510.400.500.60009.551.301.300.500.509.1014.005.905.000.504.800.3011.103.0004.90006.00C−−−−−−=−−−−−−−−−。直接计算得()11.5000hC=，()23.1000hC=，()314.3506hC=，()45.3623hC=，()51.5906hC=。显然，()333chC，因此3CAB=⊕不是Nekrasov矩阵。注3：例2.1表明任意给出的Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和不一定是Nekrasov矩阵。下面我们来寻找Nekrasov矩阵与Nekrasov矩阵的子直和是Nekrasov矩阵的条件。为此先给出下面引理。引理2.1：设ijAa=是1n阶Nekrasov矩阵，ijBb=是2n阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若{}121min,knn≤≤，123,,SSS如(2)所示，其中12nnnk=+−，且22A，11B的主对角线元素全正(或全负)，赵晶等801则对于k-子直和kCAB=⊕有：对任意的1iS∈，()()iihChA=。证明：该引理的结论可由注1直接得到。引理2.2[9]：设ijAa=是1n阶严格对角占优矩阵，ijBb=是2n阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若{}121min,knn≤≤，123,,SSS分布如(2)所示，其中12nnnk=+−，22A，11B的主对角线元素全正(或全负)，则对于k-子直和kCAB=⊕和2iS∈有：1)()()()111111111122111,111,1,1222nnknknknkjjnkjjnknkjnkjjnkjSjShChAahBbabh−+−+−+−+−+−+=−+==−+∈∈=−+−++∑∑∑；2)当1121nkin−+≤≤−时：()()()()()11111112211111111211,,1111,,11,ninkikjjiiijijinkinkjinkjjnkjijjinkjjjjjSjSnjijinkjnkijinkjnkjnkjijjjnkjnkjSjhAhBhChAaahBbbabhababab−+−−−+−+−+=−+=+==−++∈∈−+−+−+−+=−+=+−+−+∈=−−+−−+++++∑∑∑∑∑21iiSh−∈∑；3)()()()()()1111121111111211,,111,,1,nkjjnnnjkkjjnkjjjjjjSnjnjkjnknjnkjjjnkjnkjShAhBhChAahBbabhabhab−−=−+=∈−−+=−+−+−+∈=−+−+++∑∑∑。引理2.3[9]：设ijAa=是1n阶严格对角占优矩阵，ijBb=是2n阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若{}121min,knn≤≤，123,,SSS如(2)所示，其中12nnnk=+−，22A和11B的主对角线元素全正(或全负)，且()()()111111111121211221,1112,222,,,,nknknkkknknknknknnkkhhhhBhBhBbbbababab−+−+−+−+−+−+≤≤≤+++，则在A与B的k-子直和kCAB=⊕中，对任意的3iS∈，()()1iinkhChB−+≤成立。首先说明文献[9]中引理2.2，即本文引理2.2[9]不完整。在此，我们先将结论进行更正。其证明方法同本文引理2.4。引理2.2[9]更正：设ijAa=是1n阶严格对角占优矩阵，ijBb=是2n阶的Nekrasov矩阵，其分块如(1)所示，若{}121min,knn≤≤，123,,SSS分布如(2)所示，其中12nnnk=+−，22A，11B，的主对角线元素全正(或全负)，则对于k-子直和kCAB=⊕，2iS∈分三种情形讨论：1)当1k=时：()()111nnhhAhB=+。2)当2k=时：分下面2种情形讨论：①()()()1111111111,1121,121nnnnnnnkhChAahBbabh−−−−−+=−+−++；②()()()()()1111111111111111,1221,121111,11,111nnnnnnnnnnnnnhAhhBhChAahBbabhbaab−−−−−−−−=−+−+++。3)当{}122min,knn≤时：分下面3种情形讨论：①()()()111111111122111,111,1,1222nnknknknkjjnkjjnknkjnkjjnkjSjShChAahBbabh−+−+−+−+−+−+=−+==−+∈∈=−+−++∑∑∑；赵晶等802②当1121nkin−+≤≤−时：()()()()()111