统计学5-参数估计(精)

第五章参数估计有时候人们可能对于总体的某个数量特征感兴趣。比如：1.北方学院师生的月平均消费金额2.北方学院师生的月平均消费金额中各项消费所占的比例上述数据是北方学院全体师生这个总体的在消费方面的数量特征，要知道这些特征，有哪些办法？方法一：对北方学院的全体师生做普查——描述统计方法二：抽取部分师生做样本，进行抽样调查，根据样本的数量特征推断总体的数量特征——推断统计（参数估计+假设检验）参数估计：用样本统计量去估计总体的参数。如：用样本均值x估计总体均值，用样本方差s2估计总体方差σ2用样本比率p估计总体比率∏本章要求掌握知识点估计量与估计值的概念点估计与区间估计的区别评价估计量优良性的标准一个总体参数的区间估计方法两个总体参数的区间估计方法样本容量的确定方法1.估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比率、样本方差等例如:样本均值就是总体均值的一个估计量2.参数用表示，估计量用表示3.估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值x=80，则80就是的估计值估计量与估计值(estimator&estimatedvalue)ˆ参数估计的方法估计方法点估计区间估计期中考试考完统计学，别人问你能考多少分？你可能会有两种回答：1.80分，270-90分，试比较这两种回答的优缺点。标准：1.可靠程度；2.精确程度点估计(pointestimate)1.用样本的估计量直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计2.没有给出估计值接近总体参数程度的信息3.点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等区间估计(intervalestimate)1.在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的2.根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%样本统计量(点估计)置信区间置信下限置信上限区间估计的图示x95%的样本-1.96x+1.96x99%的样本-2.58x+2.58x90%的样本-1.65x+1.65xxxzx2xzx21.将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比率称为置信水平2.表示为(1-为是总体参数未在区间内的比率3.常用的置信水平值有99%,95%,90%相应的为0.01，0.05，0.10相应的Zα/2为2.58，1.96，1.65置信水平1.由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间2.统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间3.用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个置信区间(confidenceinterval)置信区间与置信水平样本均值的抽样分布(1-)%区间包含了%的区间未包含x1–/2/2xx影响区间宽度的因素1.总体数据的离散程度，用来测度2.样本容量，3.置信水平(1-)，影响z的大小nx评价估计量标准一——无偏性(unbiasedness)无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数。P()BA无偏有偏ˆˆ评价估计量标准二——有效性(efficiency)有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效AB的抽样分布的抽样分布1ˆ2ˆP()ˆˆ评价估计量标准三——一致性(consistency)一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本容量较大的样本容量P()ˆˆ第二节一个总体参数的区间估计总体均值的区间估计总体比率的区间估计总体方差的区间估计总体均值的区间估计(大样本)1.假定条件总体服从正态分布,且方差(２)未知如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n30)2.使用正态分布统计量z3.总体均值在1-置信水平下的置信区间为),(~10Nnxz)(22未知或nszxnzx总体均值的区间估计(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3总体均值的区间估计(例题分析)解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得：总体均值在1-置信水平下的置信区间为28.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzx该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g36.105x总体均值的区间估计(小样本)1.假定条件总体服从正态分布,且方差(２)未知小样本(n30)2.使用t分布统计量3.总体均值在1-置信水平下的置信区间为)(~1ntnsxtnstx2t分布t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布xt分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)淡黄色z总体均值的区间估计(例题分析)【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间16灯泡使用寿命的数据1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470总体均值的区间估计(例题分析)解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131根据样本数据计算得：，总体均值在1-置信水平下的置信区间为21503814762131490167724131214902.,....nstx该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～1503.2小时1490x77.24s总体比率的区间估计1.假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似2.使用正态分布统计量z)1,0(~)1(Nnpppz3.总体比率在1-置信水平下的置信区间为)()-1()1(22未知时或nppzpnzp总体比率的区间估计(例题分析)【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比率，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比率的置信区间解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96%35.74%,65.55%35.9%65100%)651%(6596.1%65)1(2nppzp该城市下岗职工中女性比率的置信区间为55.65%~74.35%一个总体参数区间估计在SPSS中的实现：分析——探索——统计量——描述性——均值的区间估计，输入置信度。比率估计数据用虚变量表示。总体方差的区间估计1.估计一个总体的方差或标准差2.假设总体服从正态分布3.总体方差的点估计量为s2,且4.总体方差在1-置信水平下的置信区间为1~1222nsn111122122222nsnnsn总体方差的区间估计(图示)221222总体方差1的置信区间自由度为n-1的2分布总体方差的区间估计(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3总体方差的区间估计(例题分析)解:已知n＝25，1-＝95%,根据样本数据计算得s2=93.212置信度为95%的置信区间为401.12)24()1(2975.0212n364.39)24()1(2025.022n39.18083.56401.1221.93125364.3921.9312522该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区间为7.54g~13.43g第三节两个总体参数的区间估计两个总体均值之差的区间估计两个总体比率之差的区间估计两个总体方差比的区间估计两个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值之差比率之差方差比2121222121xx21pp2221ss两个总体均值之差的估计(大样本)1.假定条件两个总体都服从正态分布，1２、2２已知若不是正态分布,可以用正态分布来近似(n130和n230)两个样本是独立的随机样本2.使用正态分布统计量z)1,0(~)()(2221212121Nnnxxz两个总体均值之差的估计(大样本)1.1２，2２已知时，两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为2221212α21nσnσz)xx(222121221)(nsnszxx2.1２、2２未知时，两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为两个总体均值之差的估计(例题分析)【例】某地区教育委员会想估计两所中学的学生高考时的英语平均分数之差，为此在两所中学独立抽取两个随机样本，有关数据如右表。建立两所中学高考英语平均分数之差95%的置信区间两个样本的有关数据中学1中学2n1=46n1=33S1=5.8S2=7.2861x782x两个总体均值之差的估计(例题分析)解:两个总体均值之差在1-置信水平下的置信区间为两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为5.03分~10.97分)97.10,03.5(97.28332.7468.596.1)7886()(22222121221nsnszxx两个总体均值之差的估计(小样本:1222)1.假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知但相等：1２=2２两个独立的小样本(n130和n230)2.总体方差的合并估计量2)1()1(212222112nnsnsnsp3.估计量x1-x2的抽样标准差21221211nnsnsnsppp两个总体均值之差的估计(小样本:1222)1.两个样本均值之差的标准化)2(~11)()(21212121nntnnsxxtp2.两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为21221221112nnsnntxxp两个总体均值之差的估计(例题分析)【例】为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各随机安排12名工人，每个工人组装一件产品所需的时间（分钟）下如表。假定两种方法组装产品的时间服