统计学7总体参数估计1

第一节参数估计的一般问题第二节一个总体参数的区间估计第三节两个总体参数的区间估计第四节样本容量的确定第六章总体参数估计参数估计在统计方法中的地位参数估计假设检验统计方法描述统计推断统计第六章总体参数估计统计推断的过程样本总体样本统计量如：样本均值、比例、方差第六章总体参数估计第一节参数估计的一般问题一、估计量与估计值用来估计总体参数的统计量的名称，称为估计量，用符号表示。用来估计总体参数时计算出来的估计量的具体数值，称为估计值。(例：样本均值80就是估计值）第六章总体参数估计二、点估计与区间估计（一）点估计定义：用样本估计量的值直接作为总体参数的估计值，称作参数的点估计。（例：用样本均值直接作为总体均值的估计）第六章总体参数估计（二）区间估计定义：在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个范围，称为参数的区间估计。例如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%样本统计量(点估计)置信区间置信下限置信上限第六章总体参数估计置信区间图示x95%的样本-1.96x+1.96x99%的样本-2.58x+2.58x90%的样本-1.65x+1.65xxxzx2第六章总体参数估计置信水平1.将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平2.表示为（1-）为是总体参数未在区间内的比例3.常用的置信水平值有99%,95%,90%相应的为0.01，0.05，0.10第六章总体参数估计置信区间1.由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间2.统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间3.用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个第六章总体参数估计置信水平与置信区间均值的抽样分布(1-)%区间包含了%的区间未包含x1–/2/2xx第六章总体参数估计影响置信区间宽度的因素1、总体数据的离散程度（总体标准差）2、样本容量3、置信水平，影响z的大小nzx2第六章总体参数估计定义：由样本统计量构造的总体参数估计区间，称为置信区间，其中区间的最小值称为置信下限，最大值称为置信上限。定义：如果我们将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总体参数真值的次数所占的比率，称为置信水平，或称为置信系数。第六章总体参数估计三、评价估计量的标准（一）无偏性定义：无偏性是指估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数。设总体参数为，所选择的估计量为，如果，则称为的无偏估计量。P()BA无偏有偏ˆˆ第六章总体参数估计（二）有效性定义：对同一个参数的两个无偏估计量和，若，我们称是比更有效的一个估计量。AB的抽样分布的抽样分布1ˆ2ˆP()ˆˆ第六章总体参数估计（三）一致性定义：一致性是指随着样本容量的增大，点估计量的值越来越接近被估计的总体参数。AB较小的样本容量较大的样本容量P()ˆˆ第六章总体参数估计第二节一个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值比例方差2xp2sP第六章总体参数估计一、总体均值的区间估计（一）正态总体、方差已知，或非正态总体、大样本当总体服从正态分布且已知，或总体不是正态分布但大样本时，样本均值的抽样分布均为正态分布，其数学期望为总体均值，方差为。而样本均值经过标准化后的随机变量则服从标准正态分布，即～N(0，1)。第六章总体参数估计根据正态分布的性质可以构造出总体均值在置信水平下的置信区间为：第六章总体参数估计如果总体服从正态分布但未知，或总体并不服从正态分布，只要在大样本条件下，总体方差用样本方差S2代替，这时总体均值在置信水平下的置信区间可以写为：第六章总体参数估计例题：一家食品生产企业以生产袋装食品为主，每天的产量大约为8000袋左右。按规定每袋的重量应为100g。为对产量质量进行监测，企业质监部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量（单位：g）如表所示。第六章总体参数估计112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3表：25袋食品的重量已知产品重量服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%。第六章总体参数估计例题：一家保险公司收集到由36投保人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄数据如表所示。试建立投保人年龄90%的置信区间。样本标准差:表：36个投保人年龄的数据S=233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532第六章总体参数估计（二）正态总体、方差未知、小样本需要用样本方差S2代替，这时样本均值经过标准化以后的随机变量则服从自由度为（n-1）的t分布，即～t(n-1)这时需要应用t分布来建立总体均值的置信区间。第六章总体参数估计t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布xt分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)z第六章总体参数估计根据t分布建立的总体均值在置信区间为是自由度为n-1时，t分布中右侧面积为时的t值，该值可以通过t分布表查得。2t第六章总体参数估计例题：已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命（单位：h）如下：1510145014801460152014801490146014801510153014701500152015101470建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间。第六章总体参数估计二、总体比例的区间估计（大样本）总体比例P在置信水平下的置信区间当P未知时，用p来代替P第六章总体参数估计例题：某城市要估计下岗职工中女性所占的比例，随机抽取了100名下岗职工，其中65人为女性。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间。第六章总体参数估计三、总体方差的区间估计1.估计一个总体的方差或标准差2.假设总体服从正态分布3.总体方差的点估计量为,且1~1222nsn4.总体方差在1-置信水平下的置信区间为22-12222211snsn22S第六章总体参数估计总体方差区间估计（图示）222212总体方差1的置信区间自由度为n-1的2第六章总体参数估计【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3第六章总体参数估计例题：已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命（单位：h）如下：1510145014801460152014801490146014801510153014701500152015101470建立该批灯泡寿命方差95%的置信区间。第六章总体参数估计第三节两个总体参数的区间估计一、两个总体均值之差的区间估计二、两个总体比例之差的区间估计三、两个总体方差比的区间估计第六章总体参数估计两个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值之差比例之差方差比2121PP222121xx21pp2221ss第六章总体参数估计一、两个总体均值之差的区间估计（一）两个总体均值之差的估计：独立样本1、大样本的估计假定条件①两个总体都服从正态分布，、已知②若不是正态分布,可以用正态分布来近似(n130和n230)③两个样本是独立的随机样本2122第六章总体参数估计使用正态分布统计量z)1,0(~)()(2221212121Nnnxxz第六章总体参数估计（1）1２，2２已知时，两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为（2）222121221)(nnzxx222121221)(nsnszxx（2）1２、2２未知时，两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为第六章总体参数估计【例1】某地区教育委员会想估计两所中学的学生高考时的英语平均分数之差，为此在两所中学独立抽取两个随机样本，有关数据如右表。建立两所中学高考英语平均分数之差95%的置信区间两个样本的有关数据中学1中学2n1=46n2=33S1=5.8S2=7.2861x782x第六章总体参数估计解:两个总体均值之差在1-置信水平下的置信区间为两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为5.03分~10.97分)97.10,03.5(97.28332.7468.596.1)7886()(22222121221nsnszxx第六章总体参数估计2、小样本的估计假定条件①两个总体都服从正态分布②两个总体方差未知③两个独立的小样本(n130和n230)（1）两个总体方差未知但相等：1２=2２总体方差的合并估计量2)1()1(212222112nnsnsnsp第六章总体参数估计估计量x1-x2的抽样标准差21221211nnsnsnsppp第六章总体参数估计两个样本均值之差的标准化)2(~11)()(21212121nntnnsxxtp两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为21221221112nnsnntxxp第六章总体参数估计【例2】为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各随机安排12名工人，每个工人组装一件产品所需的时间（分钟）下如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差相等。试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间两个方法组装产品所需的时间方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.521第六章总体参数估计解:根据样本数据计算得合并估计量为：两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为0.14分钟~7.26分钟5.321x996.1521s8.282x358.1922s677.1721212358.19)112(996.15)112(2ps56.37.3121121677.170739.2)8.285.32(第六章总体参数估计（2）两个总体方差未知且不相等：且n1=n2=n使用统计量在置信水平下的置信区间为2221)2(~)()(212221212121nntnsnsxxt21122212121221)2(nsnsnntxx第六章总体参数估计（3）两个总体方差未知且不相等：且n1≠n2使用统计量样本均值之差将标准化后不再服从自由度为（n1+n2-2）的t分布，而是近似服从自由度为v的t分布2221)(~)()(2221212121vtnsnsxxt第六