第二章 单自由度体系的振动 (2)

Page1教学模块第1章概述第2章单自由度体系振动第3章多自由度体系振动第4章无限自由度体系振动第五章讲座第六章结构稳定理论第七章结构极限荷载第二章单自由度体系的振动Page32.1.1单自由度体系自由振动2.1单自由度体系的自由振动2.1.2单自由度体系自由振动微分方程解答2.1.3结构的自振周期和自振频率2.1.4阻尼对自由振动的影响Page42.1.1单自由度体系自由振动最典型的无阻尼自由振动模型就是右图所示的质量弹簧振子体系，我们知道，它的运动方程为同除以m,得令0kyym0ymkymk2Page5C1和C2由振动的初始条件决定。我们之前已经知道，质量弹簧体系作周期振动，我们称之为简谐振动或谐和振动。叫做自振周期。，叫做自振频率。得微分方程它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：02yytCtCtycossin)(2121Tf,2TPage6下面我们讨论建立自由振动微分方程的两种方法：1、刚度法：研究作用于被隔离的质量上的力，建立动力平衡方程。m..yj.yd静平衡位置质量m在任一时刻的位移y(t)=yj+ydk力学模型.ydmmWS(t)I(t)+重力W弹性力)()()(djyyktkytS恒与位移反向惯性力)()()(djyymtymtIWyykyymdjdj)()(……………(a)其中kyj=W及0jy上式可以简化为0ddkyym或)......(..........0bkyym由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。Page72、柔度法：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。..m静平衡位置I(t)).(..........)()()(ctymtIty0)(ytymk1可得与(b)相同的方程刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。2.1.2单自由度体系自由振动微分方程解答)......(..............................0bkyym改写为0ymky02yy其中mk2它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：tCtCtycossin)(21积分常数C1，C2由初始条件确定Page8m静平衡位置I(t)).....(cossin)(21dtCtCty设t=0时vyyy)0()0(vCyC12..（d）式可以写成)......(..........sincos)(etvtyty由式可知，位移是由初位移y引起的余弦运动和由初速度v引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动,令cos,sinAvAy(e)式改写成)...(..........).........sin()(ftAty它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和可由下式确定).........(....................122gvytgvyA振幅相位角Page9)......(..........sincos)(etvtyty).....(..........).........sin()(ftAtyy0ty-yTTTvvyt0yt0A-AtycostvsintAsinPage102.1.3结构的自振周期和自振频率由式)sin()(tAty及图可见位移方程是一个周期函数。Tyt0A-A周期,2T频率21Tf圆频率Tf22计算频率和周期的几种形式stgWgmmk1gkmTst22频率和周期的讨论1.只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关；2.Ｔ与m的平方根成正比，与k成反比，据此可改变周期；3.是结构动力特性的重要数量标志。Page11例1.计算图示结构的频率和周期。mEIl/2l/21EIl483348mlEIEImlT4823例2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。mlA,E,IHE,I1HHm1E,A1VVVm1IIEI1=mh1k26hEI26hEI26hEI26hEI例2.计算图示刚架的频率和周期。312hEI312hEI由截面平衡324hEIk324mhEImkEImhT223Page12例3.计算图示体系的自振频率。ABCDEI=l/2l/2lmm1mm312kBCk1m2m..A1..A2lk1I2I解：单自由度体系，以表示位移参数的幅值,各质点上所受的力为：221211lmAmIlmlmAmI222222212331建立力矩平衡方程0BM023221llklIlI0232122122llkllmllm化简后得km2mkPage132.1.4阻尼对自由振动的影响mky1)不考虑阻尼aamky=0c2)考虑阻尼阻尼是客观存在的振幅随时间减小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗，称为阻尼。（1）产生阻尼的原因1)结构与支承之间的外摩擦2)材料之间的内摩擦3)周围介质的阻力（2）阻尼力的确定1)与质点速度成正比2)与质点速度平方成正比3)与质点速度无关粘滞阻尼()RtcyPage14取质量m为隔离体建立动平衡方程：y(t)mykymykmccy有阻尼模型0ymkymcy0kyycym令mc2mk2及022yyy特征方程0222),1(22,1特征值一般解tteBeBty2121)(设解为：tBeyPage15讨论:111、、小阻尼、临界阻尼、过阻尼的自由振动Page16（1）低阻尼情形(1)令则此时，微分方程的解为由初始条件21r,122,1i)sincos()(21tCtCetyrrt得ryvCyC21Page17也可写成其中我们再根据以上解答，对低阻尼自由振动做如下讨论：)sin)(tAetyrt(yvytgyvyArr122Page181）是一种衰减振动2）对自振频率的影响当ξ0.2时,则0.9798ωr/ω1.0在工程结构问题中0.01ξ0.1此时，阻尼的影响可以忽略。tyyktyaeyk+1tkTPage193）对振幅的影响振幅为，相邻两个振幅的比为：tae()1kktTTktkyaeeyae常数Page204）阻尼比的测定取对数设yk和yk+n相隔n个周期，则：因此，在测到了两个振幅yk+1和yk+n后，便可由上式推算出值。12lnkkryTy0.21r当，则1111lnln22kkrkkyyyy1ln2kknynyPage21（临界阻尼）体系不出现振动，很少遇到，不予讨论。（2）1解为：则微分方程通解为：12tyCCte再由初始条件得：00[(1)]tyyttetyy0θ000tg（重根）这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。临界阻尼常数为：12rcm临界阻尼比为：rcc（3）1(超阻尼）Page222.2.1单自由度体系强迫振动微分方程的建立2.2单自由度体系的强迫振动2.2.2简谐荷载作用下结构的动力反应2.2.3一般荷载作用下结构的动力反应2.2.4阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响2.2.5有阻尼时的杜哈梅积分Page23强迫振动：结构在动力荷载作用下的振动2.2.1单自由度体系强迫振动微分方程的建立以一悬臂柱为例：mky模型1()Pty(t)kmym模型2隔离体()Pt()Pt1）柔度法：()[()()]ytmytPt以柱子为对象2）刚度法：()()()mytkytPt以质点为对象2()Ptyym等效弹簧－小车kymykykymy()Pt建立方程Page242.2.2简谐荷载作用下结构的动力反应简谐荷载：()sinPtFt解的形式：yyy运动方程：2sinFyytm22()sinsinFAttm22()FAm22sin()Fytm12sincosyCtCtsinyAt齐次解：特解：是一个二阶常系数非齐次微分方程方程通解：1222sincossin()FyCtCttmPage2512220()FCCm，方程全解：2222sinsin()()FFyttmm12CC、(0)0,(0)0yy由初始条件确定，若：其中：按结构的自振频率振动，由于阻尼的存在是过渡阶段。按动力荷载的频率振动，是平稳的振动阶段。下面定义简谐荷载的动力系数：Page26222221()sinsin()(1)FFytttmm平稳阶段：21kmm2stFFymmax221[()]1styty2211max[()]=styty动力系数：1023123共振静位移最大动位移101111Page272.2.3一般荷载作用下结构的动力反应Δttτt't't()PtSPt0SPtmv0SPtvmm()sinSyttmP'()sinsin()SSytttmm(0)t0t()yt()t瞬时冲量00()cossinvytyttt()yt讨论分两步：先讨论瞬时冲量的动力反应，然后在此基础上讨论一般动力荷载的反应。Page28τd()dSPd()sin()Pddytm01()()sin()tytPtdm(Duhamel积分)初始位移y0和初始速度v0不为零0001()cossin()sin()tvytyttPtdmt时刻τ的微分冲量对t瞬时(tτ)引起的动力反应微分冲量01()()sin()tytPtdm一般动荷载的动力反应:杜哈梅积分初始位移y0和初始速度v0为零Page29（1）突加荷载P(t)tPo001()sin()tytPtdm02(1cos)(1cos)stPtytmyst质点围绕静力平衡位置作简谐振动ystyst举例说明000()0tPtPt01()()sin()tytPtdm下面讨论两种动荷载作用时的动力反应：max[()]2styty动力系数：Page30（2）线性渐增荷载000()rrrPttttPtPtt当当P(t)tP0trsin()()11[sinsin()]strrstrrrytttttytytttttt当当对于这种线性渐增荷载，其动力反应与升载时间tr的长短有很大的关系。Page31000()rrrPttttPtPtt当当P(t)tP0tr01.02.03.04.0rtT1.41.21.01.61.82.0β动力系数反应谱β(T,tr)讨论：β与tr的关系Page322.2.4阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响计算简图:建立平衡方程：()mycykyPt简谐荷载：22sinFyyytm()sinPtFt方程的解：齐次解（）＋特解（）rsin()yat振幅：2222221(1)4stay