《大学物理教程》郭振平主编第四章 光的衍射

第四章光的衍射一、基本知识点光的衍射：当光遇到小孔、狭缝或其他的很小障碍物时，传播方向将发生偏转，而绕过障碍物继续前行，并在光屏上形成明暗相间的圆环或条纹。光波的这种现象称为光的衍射。菲涅耳衍射：光源、观察屏（或者是两者之一）到衍射屏的距离是有限的，这类衍射又称为近场衍射。夫琅禾费衍射：光源、观察屏到衍射屏的距离均为无限远，这类衍射也称为远场衍射。惠更斯－菲涅耳原理：光波在空间传播到的各点，都可以看作一个子波源，发出新的子波，在传播到空间某一点时，各个子波之间可以相互叠加。这称为惠更斯－菲涅耳原理。菲涅耳半波带法：将宽度为a的缝AB沿着与狭缝平行方向分成一系列宽度相等的窄条，1AA，12AA，…，kAB，对于衍射角为的各条光线，相邻窄条对应点发出的光线到达观察屏的光程差为半个波长，这样等宽的窄条称为半波带。这种分析方法称为菲涅耳半波带法。单缝夫琅禾费衍射明纹条件：sin(21)(1,2,...)2akk单缝夫琅禾费衍射暗纹条件：sin(1,2,...)akk在近轴条件下，很小，sin,则第一级暗纹的衍射角为1a第一级暗纹离开中心轴的距离为11xffa,式中f为透镜的焦距。中央明纹的角宽度为112a中央明纹的线宽度为002tan2lfffa衍射图样的特征：①中央明纹的宽度是各级明纹的宽度的两倍，且绝大部分光能都落在中央明纹上。②暗条纹是等间隔的。③当入射光为白光时，除中央明区为白色条纹外，两侧为由紫到红排列的彩色的衍射光谱。④当波长一定时，狭缝的宽度愈小，衍射愈显著。光栅:具有周期性空间结构或光学性能（透射率，反射率和折射率等）的衍射屏，统称为光栅。光栅常数:每两条狭缝间距离dab称为光栅常数。a为透光部分的狭缝宽度，b为挡光部分的宽度。光栅衍射明纹的条件：()sin(0,1,2,...)abkk光栅光谱：用白色光照射光栅时，除了中央明纹外，将形成彩色的光栅条纹，叫做光栅光谱。缺级：屏上光栅衍射的某一级主极大刚好落在单缝的光强为零处，则光栅衍射图样上便缺少这一级明纹，这一现象称为缺级。缺极的条件：sinsinabkak发生缺极的主极大级次：(1,2,)abkkka圆孔衍射:中央亮斑（艾里斑）外面出现一些明暗交替的同心圆环。光能的84％集中在中央亮斑。第一暗环对应的衍射角:1.22D,式中是光波的波长，D是圆孔的直径。瑞利判据:两个点光源经圆孔衍射后形成两个衍射花样。能够区分两点的极限是，一个点的衍射图样的中央极大值与另一点的衍射图样的第一极小值重合，这时由两个衍射图样合成后的光强分布曲线仍有两个极大值。该判据叫做瑞利判据。眼睛的最小分辨角：1.221.22dnd，式中是光在真空中的波长，n是眼内物质的折射率，d是瞳孔的直径，是光在眼内的波长。理想光学系统的极限分辨角:1.22D,式中D为光学系统（如透镜）的直径。二、典型习题解题指导4-1在单缝夫琅和费衍射实验中，波长为1的单色光的第三级亮纹与2630nm的单色光的第二级亮纹恰好重合，计算1的值。解：根据单缝衍射的明纹条件可知：sin(21)(1,2,...)2akk依题意，有1sin(231)2a2sin(221)2a将两式相除，代入2630nm得1450nm4-2用波长为的平行单色光进行单缝夫琅和费衍射实验，已知缝宽为5a，会聚透镜的焦距400fmm，分别求出中央明条纹和第2级明条纹的宽度。解：（1）中央明纹的角宽度为12，依据单缝衍射的暗纹条件可知1sina1sin0.2a中央明纹的宽度011122tan2sin160xxffmm（2）第2级明条纹宽度即第2级暗条纹中心与第3级暗纹中心的距离32232tantanxxxf明暗暗已知22sin0.4a，33sin0.6a可得2tan0.436，3tan0.75322tantan4000.750.436125.6xfmm明4-3某种单色平行光垂直入射在单缝上，单缝宽为0.15amm，缝后放一个焦距为400fmm的凸透镜，在透镜的焦平面上，测得中央明条纹两个第三级暗条纹之间的距离为8.0mm，求入射光的波长。解：依题意，中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离是中央明纹宽度的3倍，因此有328.0fmma可得500nm4-4单缝夫琅禾费衍射实验，若想将第三级暗纹处变为第一级明纹，不改变实验装置部件和入射光波长，只调整缝宽，则调整后缝宽与原来缝宽之比值为多少？解：设调整前后缝的宽度分别为1a、2a，13sin3a2112sin12a依题意有13,因此2112aa4-5在圆孔的夫琅和费衍射中，设圆孔半径为0.10mm，透镜焦距为50cm，所用单色光波长为500nm，求在透镜焦平面处屏幕上呈现的艾里斑半径。解：根据圆孔衍射的公式93350010sin1.221.223.05100.2010D当很小时，有tan而tanRf，所以234tan50103.05101.525100.153Rfmmm4-6月球距离地面约53.8610km，设月光波长为550nm，问月球表面距离为多远的两点才能直接被地面上直径为5Dm的天文望远镜所分辨？解：1.22D9855010tan3.86101.2251.85dffm4-7波长为589nm的单色光垂直照射到宽度为0.40mm的单缝上，紧贴缝后放一个焦距为1.0fm的凸透镜，使衍射光射于放在透镜焦平面处的屏上。求：1）光屏上第一级暗条纹离中心的距离。2）光屏上第二级明条纹离中心的距离。3）如果单色光以入射角i＝30°斜射到单缝上，第二级明条纹离中央明纹中心距离。〔提示：注意sintan的条件是否满足。〕解：1）由单缝衍射的暗纹条件sin(1,2,...)akk得第一级（k＝1）暗纹满足1sina，即1sina当很小时，tansin，因此光屏上第一级暗条纹离中心的距离9311131.058910tansin1.47100.410xfffma2）由明纹条件sin(21)(1,2,...)2akk，得第二级（k＝2）明纹2sin2212a，即25sin2a第二级明纹距中心的距离为3322215551.4710tansin3.6810222xfffxma3）单色光倾斜入射到达单缝时，其上下两列边界光线之间已存在光程差sinai，对应等光程的中央主极大将移至点O′（如图4-1所示），此时θ＝i＝30°。它距中心点O的距离为m5770tan30o0.fx。这时，衍射条纹不但相对点O不对称，而且相对中央主极大的点O′也不再严格对称了。对于点O′上方的条纹（此时入射光与衍射光位于法线两侧，且θ＞i），满足21/2sinsinkaik明条纹暗条纹对于点O下方的条纹（此时入射光与衍射光位于法线同侧），满足21/2sinsinkaik明条纹暗条纹对于点O′与O之间的条纹（此时入射光与衍射光位于法线两侧，但θ＜i），满足21/2sinsinkaik明条纹暗条纹需要说明的是，点O′与O之间的条纹与点O下方的条纹属于中央主极大同一侧的各级条纹，不同的是前者k值较小，后者k值较大，且k值在点O附近连续变化。图4-1①先计算点O′上方第二级明纹的位置：由o25sin30sin2a，得25sin0.52a该明纹距中心O的距离225tantanarcsin0.50.583m2xffb离中央明纹中心距离2200.5830.5770.006mxxx②再计算O′点下方第二级明纹的位置：由于所求k值较小，可考虑条纹处在O′与O之间，有o25sin30sin2a，即25sin0.52a该明纹距中心的距离225tantanarcsin0.50.572m2xffb离中央明纹中心距离2200.5720.5770.005mxxx4-8一衍射光栅，每厘米有200条透光缝，每条透光缝宽为3210acm，在光栅后放一焦距为1fm的凸透镜。现以600nm的单色平行光垂直照射光栅，求：1）透光缝a的单缝衍射中央明纹宽度为多少？2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？解：（1）1120.06xxxfma（2）光栅方程sin(0,1,2,...)dkk其中2110200dm1sindk，而1sina因此1dka，2.5k，即单缝衍射的第一级暗纹处介于光栅衍射的第二级与第三级之间，故单缝衍射中央明纹宽度内出现'0,1,2k这5个光栅衍射主极大条纹。4-9用白光（波长400760nmnm）垂直照射每厘米2000条刻线的光栅，光栅后放一个焦距为200cm的凸透镜，求第一、第二级光谱的宽度。解：光栅方程sin(0,1,2,...)dkk，21102000dm（1）第一级光谱满足1sind1sind紫，'1sind红白光第一级光谱的宽度为''1111tantansinsin14.4xfffdcm红紫－（2）第二级光谱遵从1sin2d白光第二级光谱的宽度为''2222tantansinsin228.8xfffdcm红紫－4-10复色光由波长为1600nm与2400nm的单色光组成，垂直入射到光栅上，测得屏幕上距离中央明纹中心5cm处的1的m级谱线与2的1m级谱线重合，若会聚透镜的焦距50fcm，求：1）m的值。2）光栅常数d。解：（1）光栅方程sin(0,1,2,...)dkk，依题意，有12sinsin1dmdm解得2m（2）设m级的衍射角m1tan10mxfm很小时，sintanmmm因此1sinmdm9512600101.2101sin10mmdm4-11波长为600nm的单色光垂直入射在一个光栅上，第二、第三级明条纹分别出现在衍射角满足in0.2s与in0.3s处，第四级缺级，试问：1）光栅上相邻两缝的间距是多大？2)光栅狭缝的最小可能宽度a是多大？3）按上述选定的a、d值，试列出屏幕上可能呈现的全部级数。解：（1）sin(0,1,2,...)dkk因此sin2ab，42610sindabcm（2）由缺级条件'sin(0,1,2,...)sin('1,2,...)dkkakk得'dkak411.5104adcm（3）最大级次为696101060010dk即0,1,2,3,5,6,7,9,10k10k在090，实际不可见。4-12用白光E入射每厘米中有6500条刻线的平面光栅上，求第三级光谱张角。（白光：4000~7600A）解：用白光照射光栅，除中央明纹为白光外，其余处出现一系列光谱带，称为光栅光谱。每个光谱带是由同一级次不同波长的明纹依次排列而成。所谓第三级光谱的张角是指入射光中最小波长（取nm400min）和最大波长（取nm760max）的第三级明