2018年浙江专升本高等数学真题

WORD格式整理专业知识分享2018年浙江专升本高数考试真题答案一、选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。1、设00,,sin)(xxxxxxf，则)(xf在)1,1(内（C）A、有可去间断点B、连续点C、有跳跃间断点D、有第二间断点解析：1sinlim)(lim,0lim)(lim0000xxxfxxfxxxx)(lim)(lim00xfxfxx，但是又存在，0x是跳跃间断点2、当0x时，xxxcossin是2x的（D）无穷小A、低阶B、等阶C、同阶D、高阶解析：02sinlim2sincoscoslimcossinlim0020xxxxxxxxxxxxx高阶无穷小3、设)(xf二阶可导，在0xx处0)(0xf，0)(lim00xxxfxx，则)(xf在0xx处（B）A、取得极小值B、取得极大值C、不是极值D、)(0,0xfx是拐点解析：0000)()(lim)(,0)(lim00xxxfxfxfxxxfxxxx，则其0)(,0)(00xfxf，0x为驻点，又000)(xxxf是极大值点。4、已知)(xf在ba,上连续，则下列说法不正确的是（B）A、已知badxxf0)(2，则在ba,上，0)(xfB、xxxfxfdttfdxd2)()2()(，其中baxx,2,C、0)()(bfaf，则ba,内有使得0)(fD、)(xfy在ba,上有最大值M和最小值m，则baabMdxxfabm)()()(解析：A.由定积分几何意义可知，0)(2xf，dxxfba)(2为)(2xf在ba,上与x轴围成的面积，该面积为00)(2xf，事实上若)(xf满足WORD格式整理专业知识分享)(0)(0)(bxaxfdxxfba非负连续B.)()2(2)(2xfxfdxxfdxdxxC.有零点定理知结论正确D.由积分估值定理可知，bax,，Mxfm)(，则)()()()(abMdxxfabmMdxdxxfmdxbabababa5、下列级数绝对收敛的是（C）A、111)1(nnnB、11)1ln()1(nnnC、139cosnnnD、11nn解析：A.1111limnnn，由11nn发散11n发散B.011lim)1ln(lim)1ln(11limnnnnnnnn，由11nn发散1)1ln(1nn发散C.919cos22nnn，而232191limnnn=1，由1231nn收敛912n收敛9cos2nn收敛D.11nn发散二、填空题6、axxexa10)sin1(lim解析：axaxaxxaxaxxxxeeeexaxx1cossin11lim)sin1ln(lim)sin1ln(101000lim)sin1(lim7、3sin)23()3(lim0xxffx，则23)3(f解析：3)3(22)3()23(lim2sin)23()3(lim00fxfxfxxffxxWORD格式整理专业知识分享8、若常数ba,使得5)(cossinlim20bxaexxx，则9b解析：5)(coslim)(cossinlim2020aebxxbxaexxxxx所以根据洛必达法则可知：1,01aa212coslim2)(coslim00bbxxbxxxx9,521bb9、设ttytxarctan)1ln(，则11tdxdy解析：2221)1(11111tttttdtdxdtdydxdy，11tdxdy10、)(xfy是0122yx所确定的隐函数，则32222yxydxyd解析：方程两边同时求导，得：022yyx，yxy，方程022yyx同时求导，得：0)(12yyy，将yxy带入，则得，0)(12yyyx，32232221yxyyxyydxyd11、求21xxy的单增区间是)1,1(解析：2222222)1(1)1(21xxxxxy令0y，则12x，11x12、求已知Cedxxfx2)(，则)(1lim10nkfnnkn1e解析：1)()()()(1lim101010102eCedxxfdxxfnkfnxnkn13、dxxxe2)(ln11WORD格式整理专业知识分享解析：1ln1ln)(ln1)(ln122eeexxdxdxxx14、由2xy：2,1xy围成的图形面积为34解析：34)31()1(212132xxdxxA15、常系数齐次线性微分方程02yyy的通解为xexCCy)(21（21CC为任意常数）解析：特征方程：0122rr，特征根：121rr通解为xexCCy)(21（21CC为任意常数）三、计算题（本大题共8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分）16、求)sin1ln(lim0xeexxx解析：22limsin2lim)sin1ln(1lim)sin1ln(lim00200xxxxxeexeexxxxxxxx17、设xxxy)sin1()(，求)(xy在x处的微分解析：xxxy)sin1()()sin1ln(lnxxyxxxxysin1cos)sin1ln(y1dxxxxxxx)sin1](sin1cos)sin1[ln(dy将x代入上式，得微分dxdy18、求502cos1dxx解析：502cos1dxxπ50|sin|dxx43542320sin)sinsin)sinsinxdxdxxxdxdxxxdx（（π10|cos|cos|cos|cos|cos54433220xxxxxWORD格式整理专业知识分享19、求dxxarctan解析：2txtx，则令，tdtdx22tanarctdttdttttanarctanarc22dttttt22211tanarcdttttt222111tanarcdtttt）（22111tanarcctttttanarctanarc2cxxxxtanarctanarc则原式20、dxxxxxx11-41cos45）（解析：41cosxxx为奇函数，该式不代入计算45452txxt，则令tdtdx21dtttt)21(145132该式312)581dtt（61|)31581313tt（21、已知0),1ln(0,2)(xaxxbxxf在0x处可导，求ba,解析：WORD格式整理专业知识分享0)(lim,0)(lim)0()(lim)(lim0)(0)(0000bbxfxffxfxfxxfxxfxxxx处连续在处可导在)(lim)(lim00xfxfxxaxaxxfxx00)1ln(lim)(lim002002lim)(lim00xxxfxx2a22、求过点)1,2,1(A且平行于0732zyx又与直线tztytx231相交的直线方程。直线过点)1,2,1(A，因为直线平行于平面，所以nS，)1,3,2(n，设两条直线的交点)2,3,1(tttP，所以)12,1,(tttPAS，所以012332ttt，4t，)8,7,3(P，所以)7,5,4(PA，所以直线方程为715241zyx。23、讨论13231)(23xxxxf极值和拐点解析：13231)(23xxxxf（1）)(xf的极值34)('2xxxf令0)('xf，则3,121xx列表如下：所以极大值为x），（11），（313），（3)('xf+0-0+)(xf极大值极小值WORD格式整理专业知识分享3713231)1(f，极小值1)3(f（2）)(xf的拐点42)(xxf令0)(xf则2x列表如下：拐点为35,2。四、综合题（本大题共3大题，每小题10分，共30分）24、利用nnnxx0)1(11，（1）将函数)1ln(x展开成x的幂级数（2）将函数)3ln(x展开成2x的幂级数解析：（1）令)1ln()(xxf，xxf11)(，当)1,1(x时，nnnxx0)1(111)1()1(11)0()()(100000nxdttdttfdttfxfnnnnxnnxx当1x时，级数发散；当1x时，级数收敛，故收敛域为1,1。（2）)521ln(5ln)]521(5ln[)]2(5ln[)3ln(xxxx01)52(11)1(5lnnnnxn011)1(5)2()1(5lnnnnnnx其中，731521xx。25、)(xf在，1上导函数连续，0)(xf，已知曲线)(xf与直线)1(,1ttxx及x=1（1t）及x轴所围成的去边梯形绕x轴所围成的旋转体体积是该曲边梯形的t倍，x），（22），（2)('xf-0+)(xf凸拐点凹WORD格式整理专业知识分享求)(xf解析：tdxxfS1)(，dxxfVt)(12由题意知，ttdxxftdxxf112)()(，求导得，得)()()(12ttfdxxftft再求导，得)()()()()(2tfttftftftf即)()(2)()(2tftftfttf，则yyyty22，ytyy)2(2，dydtyty22，121tydydt，yyP21)(，1)(yQ，)32(1)(23121121CyyCdyeetdyydyy,由1)1()1()1(2fff，带入得31C，故曲线方程为yyx123。26、)(xf在ba,连续且）（)(,afa和）（)(,bfb的直线与曲线交于)))((,bxacfc（，证明：（1）存在)()(21ff（2）在),(ba存在0)(f解析：解法一：（1）过))(,()),(,(bfbafa的直线方程可设为：)()()()(cxabafbfcfy所以可构造函数：xxfxF)()(所以)()()(cFbFaF又因为)(xf在ca,bc,连续可导的，则)(xF在bcca,,连续可导，所以根据罗尔定理可得存在),,(),,(21bcca0)()(21FF,使)()(21ff。（2）由（1）知)()(21ff，又)(xf二阶可导，存在且连续，故由罗尔定理可知，),(),(21ba，使得0)(f。WORD格式整理专业知识分享解法二：（1）考虑)(xf在ca,及bc,上的格拉朗日中值定理有：ca,1，),(2bc