1(10)闭区间上连续函数

1第十节闭区间上连续函数的性质介值定理(intermediatevaluetheorem)小结思考题作业最大值(maximum)和最小值(minimum)定理在闭区间上的连续函数有一些重要的性质,这些性质主要应用于分析和论证某些问题时作为理论的根据.这些性质的几何意义很明显.第一章函数与极限2定义)()(xff例,sgnxy,),(上在,2maxy;1miny,),0(上在.1maxy,sin1xy,]2,0[上在;0miny,1maxy设f(x)在区间I上有定义,,I使得当,时Ix恒有若存在点)),()((fxf为函数f(x)在区间I上的)(f最小值,记为则称)(min)(xffIx)).(max)((xffIx(大)miny一、最大值和最小值定理闭区间上连续函数的性质3在闭区间上连续的],,[)(baCxf若注(1)定理1中的条件“闭区间”和“连续性”定理1(最大值和最小值定理)函数一定有最大值和最小值.],,[,21ba则],,[bax使得),()(1xff有).()(2xff是不可少的.闭区间上连续函数的性质xyO)(xfyab214xyO211在开区间(0,1)内连续,2xy在(0,1)内又如:21,3,1,1,10,1)(xxxxxxfy在闭区间[0,2]上有函数f(x)在[0,2]上既没有最大值,如:函数没有最大值或最小值.也没有最小值.间断点函数闭区间上连续函数的性质)(xfy,1x2xy5(2)“闭区间”和“连续性”在开区间xysin)2,0(取得最小值2x处在23x函数0,10],1,1[,)(xxxxxf处取得最大值1.而不是必要条件.如函数内连续,但它在处取得最大值1;.1又如在闭区间]1,1[上有间断点取得最小值但它在处1x;1仅是定理的充分条件,闭区间上连续函数的性质,0x1,0x在6证],,[bax,)(Mxfm},max{.)(Kxf.],[)(上有界在函数baxf由定理1(最值定理),定理2(有界性定理)有||M|,|m取K则有],,[)(baCxf设.],[)(上有界在则baxf],,[)(baCxf设闭区间上连续函数的性质7的零点.,0)(的根是方程xf)(xfy又称为函数定理3(方程实根的存在定理)],,[)(baCxf设),(af且,)(异号bf则至少存在一点),,(ba使得,0)(f).,(ba零点定理几何意义:如图所示.二、介值定理闭区间上连续函数的性质xyO)(xfyba8定理4(介值定理)],,[)(baCxf设),()(bfaf,)(,)(BbfAaf且),,(ba则至少存在一点使得,)(Cf).,(ba证,)()(Cxfx],,[)(baCx则Cafa)()(且,CACbfb)()(,CB,0)()(ba使),,(ba,0)(,0)()(Cf即.)(Cf零点定理闭区间上连续函数的性质辅助函数,,之间的任一数为介于BAC9几何意义:Cyxfy与水平直线连续曲线弧)(至少有一个交点.闭区间上连续函数的性质xyO)(xfy1ABCba231P2P3P10几何意义:之间的任何值(不会有任何遗漏).Mm推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值闭区间上连续函数的性质xyO)(xfyba1C231P2P3P2x1xMm11注闭区间上连续函数的性质常用于:证明某些等式或不等式;判断某些方程根的存在性或实根的范围.闭区间上连续函数的性质12例.)1,0(0183至少有一根内在区间证明方程xx证,18)(3xxxf令,]1,0[)(上连续在则xf,01)0(f又,06)1(f由零点定理,),1,0(,0)(f使,0183即.)1,0(0183内至少有一根在方程xx闭区间上连续函数的性质13例,],[)(上连续在区间设函数baxf证,)()(xxfxF令,],[)(上连续在则baxFaafaF)()(而,0由零点定理,),,(ba)()(fFbbfbF)()(,0.)(f即使,0,)(aaf且.)(bbf.)(),,(fba使得证明辅助函数闭区间上连续函数的性质14,],[)()(上连续在和设baxgxf),()()(xgxfxF设,],[)(上连续在baxF)()()(bgbfbF),,(ba).()(gf即证则)()()(agafaF;0.0,0)(F使零点定理),()(agaf且),()(bgbf).()(],,[:gfba使证明且闭区间上连续函数的性质15内容小结在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在上有界;在在注意条件1.闭区间;2.连续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．